Геометрия. 7-9 классы. Практикум по планиметрии. Готовимся к ОГЭ

Ю.А. Глазков, М.В. Егупова 
Геометрия  
7—9 классы 
Практикум по планиметрии  
Готовимся к ОГЭ 
2-е издание, электронное
Москва 
Издательство «Интеллект-Центр» 
2021 

УДК 514(075.3)
ББК 22.12я721
Г52
Г52
Глазков, Ю. А.
Геометрия. 7–9 классы. Практикум по планиметрии. Готовимся к ОГЭ / Ю. А. Глазков, 
М. В. Егупова. — 2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 75 с. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 
2021. — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : 
электронный.
ISBN 978-5-907339-85-9
Пособие предназначено для обобщающего повторения курса планиметрии при подготовке к ОГЭ. В него 
включены справочные материалы, рекомендации по осуществлению поиска способов решений задач, многочисленные подробные примеры решений, большое количество задач для самостоятельной работы. Пособие 
может быть полезно не только учащимся 7–9 классов, но и старшеклассникам при подготовке к ЕГЭ, а также 
учителям и репетиторам. Авторы пособия — профессора Московского педагогического государственного 
университета Ю. А. Глазков и М. В. Егупова, имеющие большой опыт подготовки учебных пособий по математике для школьников.
УДК 514(075.3) 
ББК 22.12я721
Электронное издание на основе печатного издания: Геометрия. 7–9 классы. Практикум по планиметрии. 
Готовимся к ОГЭ / Ю. А. Глазков, М. В. Егупова. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2019. — 
72 с. — ISBN 978-5-907157-34-7. — Текст : непосредственный.
В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских 
прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.
ISBN 978-5-907339-85-9
© ООО «Издательство «Интеллект-Центр», 2019
© Ю. А. Глазков, М. В. Егупова, 2019

Содержание 
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................... 4 
АНАЛИЗИРУЕМ ............................................................................................ 5 
ВЫЧИСЛЯЕМ ................................................................................................ 13 
Треугольники .......................................................................................... 15 
Многоугольники ...................................................................................... 27 
Окружности ............................................................................................ 37 
МОДЕЛИРУЕМ ................................................................................................54 
ДОКАЗЫВАЕМ .............................................................................................. 65 
ОТВЕТЫ .........................................................................................................70 
 
 
3

ВВЕДЕНИЕ 
Проверке уровня усвоения геометрического материала учащимися, оканчивающими 
9 класс, уделяется серьёзное внимание. Каждая третья задача контрольных измерительных материалов (КИМ) основного государственного экзамена (ОГЭ) геометрическая. 
Шесть из девяти геометрических задач — базового (простейшего) уровня трудности, две — 
повышенного и одна — высокого уровня трудности. Решения задач базового уровня 
предъявлять не требуется, нужно только записать ответ. Решения задач более высокого 
уровня необходимо записать. 
При проверке базового уровня математической подготовки учащиеся должны продемонстрировать: владение основными приемами решения задач, знание и понимание 
ключевых элементов содержания (математических понятий, их признаков и свойств), 
умение пользоваться математической записью, а также применять математические знания в простейших практических ситуациях.  
Проверка владения материалом на повышенном уровне должна помочь выявить 
наиболее подготовленную часть выпускников, что важно при создании профильных 
классов.  
Большинство геометрических задач ОГЭ можно отнести к одной из следующих тем: 
1) треугольники;
2) многоугольники;
3) окружности.
В ходе решения задач учащиеся должны показать следующие умения: 
• оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные
заключения; 
• выполнять действия с геометрическими фигурами;
• описывать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные
модели с использованием геометрических понятий и теорем, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин;
• проводить доказательные рассуждения.
В соответствии с этим пособие содержит следующие разделы: 
Анализируем (задачи типа «верно ли …»). 
Вычисляем (длины, площади, углы). 
Моделируем (практико-ориентированные задачи). 
Доказываем (задачи на доказательство). 
При подготовке к ОГЭ учащиеся могут ставить перед собой разные цели:  
а) сдать экзамен хотя бы на «3», чтобы получить свидетельство об окончании основной школы; 
б) сдать экзамен, как минимум, на «4», чтобы поступить в класс выбранного 
профиля; 
в) систематизировать и обобщить знания по планиметрии, чтобы в 10—11 классах 
успешно освоить курс стереометрии. 
Данное учебное пособие поможет реализовать любую из перечисленных целей.  
Для достижения первой цели достаточно научиться решать задания первой части 
контрольно-измерительных материалов, т.е. задания базового уровня трудности. 
Для достижения второй и третьей целей нужно научиться решать задания второй 
части (повышенного и высокого уровня трудности). Но было бы неправильно ориентироваться при этом на задачи только тех типов, которые включены в базу, опубликованную на сайте www.fipi.ru. Поэтому в данное пособие включено большое количество задач, обеспечивающих возможность повторить и систематизировать теоретический материал, научиться решать любую задачу, которая может быть включена в контрольно-измерительные материалы ОГЭ.  
4

АНАЛИЗИРУЕМ 
 
 
Для решения геометрических задач необходимо, прежде всего, знать и уметь применять практически все изученные определения и теоремы.  
C
B
 
 
 
 
 
O
D
Ⱥ
 
 
 
 
 
 
Поскольку ВС = ВА, то треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС (определение равнобедренного треугольника). 
Так как диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся 
пополам (свойство параллелограмма), то в соответствии с условием задачи АО = ОС = 12 и 
ВО = OD = 5. 
Пример 1. Луч ÀÑ, содержащий диагональ параллелограмма ABCD, является биссектрисой угла À, длины диагоналей ÀÑ и BD равны 24 и 10 соответственно. Найдите периметр параллелограмма ABCD.
Решение. По условию задачи ÀÑ – биссектриса угла À,
следовательно, ‘BAC = ‘DAC (определение биссектрисы
угла). 
Четырёхугольник ABCD – параллелограмм, значит, 
AD || BC (определение параллелограмма). 
Следовательно, ‘BCA = ‘DAC (свойство накрест лежащих углов при пересечении параллельных прямых 
секущей). 
Из этого следует, что в треугольнике ÀÂÑ ‘BAC = ‘ÂCA, поэтому, ÂÑ = ÂÀ (свойство
сторон, лежащих против равных углов треугольника). 
Так как диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (свойство параллелограмма), то в соответствии с условием задачи ÀÎ = ÎÑ = 12 и 
ÂÎ = OD = 5. 
Поскольку ÂÀ = ÂÑ, то треугольник ÀÂÑ – равнобедренный с основанием ÀÑ (определение равнобедренного треугольника). 
В треугольнике ÀÂÑ ÀÎ = ÎÑ, следовательно, ÂÎ – его медиана (определение медианы треугольника). 
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, является высотой (свойство медианы равнобедренного треугольника). 
ÂÎ – высота треугольника ÀÂÑ, поэтому ‘ÂÎÀ = ‘ÂÎÑ = 90q (определение высоты
треугольника), значит, треугольник ÀÂÎ прямоугольный (определение прямоугольного 
треугольника).
В прямоугольном треугольнике ÀÂÑ
 

2
2
2
AB
AO
BO , следовательно, ÀÂ = 13 (теорема Пифагора). 
Так как ÂÑ = ÂÀ =13, а противоположные стороны параллелограмма равны, то и 
AD = CD =13 (свойство параллелограмма). 
По определению периметра многоугольника Ð = ÀÂ + ÂÑ + ÑD + DA = 52. 
Ответ: 52. 
D
A
C
B
P
Итак, даже при решении не очень сложной задачи приходится использовать несколько определений и теорем из 
разных разделов планиметрии (в данном случае, как минимум, 14).
Неточное знание геометрических утверждений, например, пропуск или замена даже одного слова, может полностью исказить их смысл, сделать неверной формулировку. 
А это, в свою очередь, приведёт к ошибкам в решении и, 
соответственно, к неверному ответу. 
N
K
Например, если в утверждении «Четырехугольник, противоположные стороны которого попарно равны, является параллелограммом» пропустить слово «противоположные», то оно становится неверным, т.к. могут быть равными и смежные стороны (см. рисунок), а такой четырехугольник параллелограммом 
не является (его называют «дельтоид»). 
M
Приведем еще один пример. Утверждение «Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого 
треугольника, то такие треугольники равны» (признак равенства треугольников) становится неверным, если пропустить слова «между ними». В утверждениях такого рода 
5
5

подразумевается, что речь идет о всех фигурах (в данном случае – парах треугольников), которые удовлетворяют заданным условиям: равенство соответствующих элементов. Если опустить слова «между ними», то равные углы могут лежать против пары 
равных сторон (см. рисунок).  
ȼ
ȼ1
ɫ
ɚ
ɫ
ɚ
J
ɋ1
Ⱥ1
Ⱥ
ɋ
J
Поэтому найдутся пары треугольников, имеющие перечисленные равные стороны и 
углы, но не равные друг другу, т.е. в этом случае утверждение неверно.  
И вообще, чтобы установить, что утверждение верно для любых фигур, удовлетворяющих его условию, требуется выполнить доказательство с опорой на определения и 
теоремы. Если же хотите доказать, что утверждение неверно, достаточно привести пример, когда оно не выполняется (так называемый контрпример). Именно такой контрпример и приведен выше. 
К ошибкам в утверждении кроме пропуска слов приводит и случайная, чаще всего 
неосознанная, замена одних понятий другими. Например, при замене в утверждении 
«Параллелограмм, две смежные стороны которого равны, является ромбом» слова «параллелограмм», словом «четырехугольник» получаем неверное утверждение «Четырехугольник, две смежные стороны которого равны, является ромбом» (на рисунке слева 
ÀÂ = BÑ, справа KM = MN). 
B 
C 
M
N
A
D 
K 
P
Разумеется, можно изобразить и параллелограмм с двумя равными смежными сторонами, и он действительно будет ромбом, но, как говорилось ранее, полученное утверждение должно быть верным для любого четырехугольника, две смежные стороны которого равны. А приведенные контрпримеры показывают, что требование «для любого»
не выполняется. 
Как было отмечено выше, надо точно помнить и уметь применять формулировки 
всех теорем и определений. Если ученик не помнит, например, что есть такая теорема: 
«В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон» (неравенство треугольника», то, он может неверно решить следующую задачу. 
                                ) 
Пример 2. Две стороны равнобедренного треугольника равны 7 и 15. Найдите его периметр. 
Решение. Т.к. в условии задачи не сказано, какая из сторон является основанием 
треугольника, а какая – боковой стороной, нужно рассмотреть два случая: 
1) основание равно 15, соответственно, боковая сторона равна 7; 
2) основание равно 7, а боковая сторона равна 15. 
В первом случае вторая боковая сторона треугольника также равна 7, поэтому сумма 
боковых сторон равна 14. Но 14<15, т.е. получилось, что сумма двух сторон треугольника меньше его третьей стороны, а это противоречит неравенству треугольника. Значит, треугольника с такими сторонами не существует. Именно этот факт учащиеся часто не учитывают. И поэтому получают «лишний», т.е. неверный результат. 
Во втором случае сумма боковых сторон треугольника больше его основания, следовательно, такой треугольник существует, и можно вычислить его периметр: 7 + 15 + 15 = 37. 
Ответ: 37. 
6
6

Задания для самостоятельной работы 
Определите, верны ли следующие утверждения. 
1.
Если угол равен 50q, то смежный с ним угол тоже равен 50q.
2.
Сумма смежных углов равна 180q.
3.
Если один из вертикальных углов равен 80q, то другой угол равен 100q.
4.
Если два угла с общей вершиной равны, то они вертикальные. 
5.
Если углы вертикальные, то они равны. 
6.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест 
лежащие углы равны. 
7.
Если при пересечении двух параллельных прямых третьей внутренние односторонние углы равны 55q, то прямые параллельны.  
8.
Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 
9.
Если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны. 
10. Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 
11. Если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого треугольника, то такие треугольники равны. 
12. Если гипотенуза одного прямоугольного треугольника равна гипотенузе второго 
треугольника, то такие треугольники равны. 
13. Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон. 
14. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. 
15. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. 
16. Сумма острых углов треугольника равна 90q.
17. Сумма углов треугольника равна 180q.
18. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 180q.
19. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360q.
20. Высота равнобедренного треугольника является его медианой. 
21. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, является 
высотой этого треугольника. 
22. Сумма противолежащих углов параллелограмма равна 180q.
23. Сумма противолежащих углов равнобедренной трапеции равна 180q.
24. Сумма углов трапеции, прилежащих к одной стороне, равна 180q.
25. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180q.
26. Четырёхугольник, две стороны которого параллельны, является параллелограммом. 
27. Четырёхугольник, две стороны которого параллельны, является параллелограммом 
или трапецией. 
28. Четырёхугольник, в котором две стороны параллельны и две стороны равны, является параллелограммом. 
29. Противоположные стороны трапеции попарно параллельны. 
30. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны. 
31. Диагонали равнобедренной трапеции пересекаются и точкой пересечения делятся 
пополам. 
32. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 
33. Диагонали равнобедренной трапеции равны. 
34. Параллелограмм, диагонали которого равны, является ромбом. 
35. Четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. 
36. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. 
37. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником. 
38. Диагонали прямоугольника равны. 
39. Если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 
40. Если радиус окружности равен 8, а расстояние от центра окружности до прямой 
равно 5, то прямая и окружность имеют две общие точки.  
7
7

 
 
 
 
 
 
 
41. Если радиусы двух окружностей равны 4 и 7, а расстояние между их центрами
равно 10, то они не имеют общих точек.
42. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон.
43. Площадь треугольника равна половине произведения длин стороны и высоты, проведенной к этой стороне.
44. Площадь параллелограмма равна произведению длин двух его смежных сторон.
45. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
46. Если центральный угол равен 40°, то дуга окружности, на которую он опирается,
равна 20°.
47. Сумма противоположных углов в любом вписанном четырёхугольнике равна 180°.
48. Суммы противолежащих сторон в любом описанном четырёхугольнике равны.
49. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
50. Центром окружности, вписанной в правильный треугольник, является точка пересечения его высот.
Выбор утверждения 
 
В одном из заданий контрольных измерительных материалов ОГЭ требуется указать, 
какие из перечисленных утверждений верны (неверны). Особенность такого задания в 
том, что оно считается правильно выполненным, если указаны все верные (или, если 
требуется, все неверные) утверждения. Если учащийся хотя бы раз ошибся, то задание 
оценивается нулём баллов. 
В одном из заданий контрольных измерительных материалов ГИА требуется указать, 
какие из перечисленных утверждений верны (неверны). Особенность такого задания в 
том, что оно считается правильно выполненным, если указаны все верные (или, если 
требуется, все неверные) утверждения. Если учащийся хотя бы раз ошибся, то задание 
оценивается нулём баллов. 
Задания для самостоятельной работы 
Замечание. При выполнении заданий будьте внимательны: какие именно утверждения нужно отмечать (верные или неверные).
51. Укажите номера неверных утверждений.
1) Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося
на ту же дугу.
2) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
3) Четырехугольник, два угла которого равны 110°, а два других – 70°, является
трапецией.
4) Если стороны треугольника равны 9, 12 и 16, то он прямоугольный.
52. Укажите номера верных утверждений.
1) Вписанный в окружность угол в 2 раза больше центрального угла, опирающегося
на ту же дугу.
2) Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
3) Если два угла четырехугольника равны 100°, а два других – 80°, то он является
равнобедренной трапецией.
4) Если стороны треугольника равны 13, 5 и 12, то он прямоугольный.
53. Укажите номера неверных утверждений.
1) Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла.
2) Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
3) Если два угла четырехугольника равны 120°, а два других – 60°, то он является
параллелограммом.
4) Если стороны треугольника равны 6, 8, 10, то он прямоугольный.
8
8