Сборник задач по алгебре. 8 класс

СБОРНИК ЗАДАЧ  
ПО АЛГЕБРЕ

8 класс

А.Н. РУРУКИН, Н.Н. ГУСЕВА,  
Е.А. ШУВАЕВА

С

О

О

Т

В

Е

Т

С

Т

В

У

Е

Т

 

Т

Р

Е

Б

О

В

А

Н

И

Я

М

едерального

государственного
образовательного
стандарта

2-е  и з д а н и е,  э л е к т р о н н о е

МОСКВА 
 2020

Р е ц е н з е н т  –  учитель математики ГБОУ лицей 1501 СП № 1388  
высшей квалификационной категории Г.В. Миронова.

6+

Издание допущено к использованию в образовательном процессе  
на основании приказа Министерства образования и науки РФ от 09.06.2016 № 699.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных 
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от 
нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-408-05260-8

Рурукин А.Н.
Сборник задач по алгебре. 8 класс / А.Н. Рурукин, Н.Н. Гусева, 
Е.А. Шуваева. – 2-е изд., эл. – 1 файл pdf : 82 с. – Москва : ВАКО, 2020. – 
Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; 
экран 10″. – Текст : электронный.

ISBN 978-5-408-05260-8

Пособие составлено в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта и программы по математике для 8 класса общеобразовательной школы. Расположение задач соответствует структуре программы и учебнику 
под редакцией Ю.Н. Макарычева. Дополнительно включены задачи, соответствующие 
УМК под редакцией А.Г. Мордковича. Приведены задачи трех уровней сложности – от 
элементарных и базовых до задач повышенной сложности, конкурсных и олимпиадных. Ко всем задачам приведены ответы, к наиболее сложным даны методические 
указания.
Пособие предназначено для учащихся и преподавателей общеобразовательных 
школ для классной и домашней работы, проведения самостоятельных, контрольных 
и зачетных работ, подготовки к олимпиадам.

Р87

Электронное издание на основе печатного издания: Сборник задач по алгебре. 
8 класс / А.Н. Рурукин, Н.Н. Гусева, Е.А. Шуваева. – Москва : ВАКО, 2016. – 80 с. – 
ISBN 978-5-408-02694-4. – Текст : непосредственный.

УДК 373.5
ББК 22.14

УДК 373.5
ББК 22.14

Р87

© ООО «ВАКО», 2016

Предисловие

Пособие составлено в соответствии с требованиями Федерального 
государственного образовательного стандарта и программы по алгебре 
для 8 класса общеобразовательной школы. В сборник включены задачи по всем разделам алгебры, изучаемым в 8 классе средней школы. 
Содержит более 450 задач трех уровней сложности. В уровень А включены простые задачи, предназначенные для отработки элементарных 
навыков решения задач. В уровне B представлены базовые задачи, соответствующие обязательному уровню программы. В уровень C входят 
задачи повышенной сложности, олимпиадные и конкурсные задачи. 
Как правило, представлены парные задачи, позволяющие отрабатывать пройденный материал в школе и закреплять его дома. В конце 
пособия приведены ответы, к наиболее сложным задачам даны и методические указания.
Все задачи данного сборника сгруппированы по темам:
I. Рациональные дроби.
1. Рациональные дроби и их свойства.
2. Сумма и разность дробей.
3. Произведение и частное дробей.
II. Квадратные корни.
4. Действительные числа.
5. Арифметический квадратный корень.
6. Свойства арифметического квадратного корня.
7. Применение свойств арифметического квадратного корня.
III. Квадратные уравнения.
8. Квадратное уравнение и его корни.
9. Дробные рациональные уравнения.
IV. Неравенства.
10. Числовые неравенства и их свойства.
11. Неравенства с одной переменной и их системы.
V. Степень с целым показателем. Элементы статистики.
12. Степень с целым показателем и ее свойства.
13. Элементы статистики.
Задачник предназначен для учеников и учителей общеобразовательных и профильных школ. Наличие в пособии задач разного уровня сложности позволяет использовать его для классной и домашней 
работы, проведения самостоятельных, контрольных и зачетных работ, 
подготовки к олимпиадам и ОГЭ. Сборник задач апробирован в общеобразовательных классах и в классах с углубленным изучением математики.

I. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

1. Рациональные дроби и их свойства

У р о в е н ь  А

1. Определите, при каких значениях переменной не имеет смысла 
дробь:

а) 
−
a
a
3
2;
д) (
)(
)
+
+
−

x

x
x

2
5
2
3 3
8 ;
3

б) 
+
+
a
a
1
2
7;
е) (
)(
)
−
+
−
y
y
y
16
4 2
11 ;

2

в) 
−
b
b

3

4;
2

2
ж) (
)(
)
−
−
+
c
c
c

12
3
5 2
9 ;
2

г) (
)(
)
−
−
+
d
d
d
9

3
4 ;
2

з) (
)
−
+
z
z z

8
3 .
3

2. Найдите все значения переменной, при которых определено выражение:

а) 
+
−
+
x
x
x
2
3
1 ;
г) (
)
(
)
+
+
−
−
x
x
x
x x

5
1

2
3

7

1 ;

б) 
−
+
−
x
x
x
3
2
6
2
;
д) 
+
−
+
y

y

y

17
25
2

3 ;

в) 
−
−
x
x
4
12
3
5 ;
2

е) 
−
+
+
y
y
9
11
2
16
15
.

2
3

3. Найдите все значения переменной, при которых значение дроби 
равно 0:

а) 
+
−
x
x
2
8
3
5;
в) (
)
+
−
x x
x
1
1 ;
2
д) 
−
−
x
x
x
3
9 ;
3
2

2

б) 
−
−
x
x
3
6
12;
2
г) 
−
x
x
x
5 ;
2

2
е) 
+
−
x
x
x
x
7
3 .
2

2

4. Найдите значение дроби при заданных значениях переменных:

а) 
+
x
y
x
2
3

2
 при x = 2, y = 4;
в) 
+
−
x
x
x
3
2
5
2
 при x = 1;

б) 
−
+
x

y

5
2
1

2

 при x = 4, y = 2;
г) (
)
+

+

x y

x
y

1
2

2
 при x = 5, y = 2.

5. Является ли заданное равенство тождеством при всех допустимых 
значениях переменных:

а) 
+
=
+
a
a
b
ac
ac
bc
5
2
3
5
2
3
;
в) 
+
+
=
ab
cd
ab
cd
7
3
11
3
7
11
;

б) 
+
+
=
+
+
a
b
a
b
b
b
2
3
5
3
2
3
5
3 ;
2

2
г) 
+
+
=
+
+
a
a
a b
ab
a
a b
b
7
3
7
1
3
?
2

3
2
2
2

6. Сократите дробь:

а) 
x y
x y

15
10
;

2

3
2
в) 
a c
a c
36
48
;
5 2

4 5
д) −
a b
a b
35
49
;
5
3

7
2

б) 
ab
b
12
84
;
3

7
г) 
a x
ax
27
63
;
2
3

5
е) 
x y
x y

28
35
.

11
9

7
15

7. Сократите дробь и укажите, при каких значениях переменных это 
возможно:

а) 
−
−
x
xy

xy
x y
2
4
6
3
;

2

2
2
в) 
−
+
a
a
ab
b

4
2
;
3

2
2

б) 
(
)
(
)
(
)
(
)

+
−

−
−

x
y

x
y

3
2
1

2
5
1

;
2
г) (
)
(
)

(
)

(
)

−
+

−
−

a
b

a
b
b

9
7

3
49

.

2

3

8. Представьте частное в виде дроби и сократите ее:

а) 25a2x11 : (45a5x7);

б) 72y15x9z7 : (162y17x15);

в) 33b4z8 : (24b2z17);

г) 54a7b12c5 : (42a3b15c3).

9. Приведите заданные дроби к знаменателю 36a3x5y2:

а) 
ax
x y
5
3
;
2

3
2
б) 
y
a x
7
12
;

3

2
3
в) 
x y

a x y

84
14
;

12
4

3
17
6
г) 
a xy
a x y

32
72
.

2
3

5
4
5

10. Приведите заданные пары алгебраических дробей к наименьшему 
общему знаменателю:

а) 
x

ax y
2

3
2
3  и 
ax
x y

4
20
;
2

4
5
в) ay

x y
9

2

3
7  и a x y

x y

2
36
;

3
2

5
6

б) ab

b c
3
5

2

3 5  и 
ac
b c

2
45
;
3

7
9
г) 
b c
b c
24

2

3 5  и 
bc
b c

3

72
.
2

4 7

11. Определите наименьший общий знаменатель заданных дробей:

а) 
mn
5
12
2  и 
m
m n
7
4
;
2

5
в) 
−
−
x
x
x
3
6
5
20

2

2
 и 
+
+
x
x
x
5
1
40
8 ;
2

б) 
mx
m x
3
14
3
5  и 
x
mx
2
7
;
5

9
г) 
+
−
x
x
x
x
2
4
4

3
2

7
5  и 
−
x
x
x
3
4
8 .
2

12. Сократите дробь:

а) 
(
)
(
)(
)
−

+
−
a

a
a

2
5
1 5
2

;

2

3
д) (
)
(
)
(
)
−
+
−

a

a
a

3
3
9
9
1

;

2

2
3

б) (
) (
)
−
+
−
+
a
a
a
a
6
9
3
2
;
2

2
е) 
−
+
b
b
36
4
24;
2

в) (
)(
)
(
)
+

−
+
+
b
b
b
b
3

9
6
9

;

4

2
2
ж) (
)
−
−
⋅
ac
ac
c
a
2
4

6
3
4

;
2

2
2

г) 
(
)
(
)
−
+
−
−

a
a

a
a

3
30
75
9
45 25

;
2

2
з) (
)
−
+
−
⋅

b d
b d
b
d

15
45
3
9
5

.
3
2

3
2

13. Постройте график функции:

а) 
=
−
+
y
x
x
4
2 ;
2

д) 
=
−
y
x
x
x
;
3
2

2
и) 
=
−
−
y
x
x
1
1;
2

б) 
=
−
−
y
x
x
9
3 ;
2

е) 
=
+
y
x
x
x
;
3
2

2
к) 
=
−
+
y
x
x
1
1;
2

в) 
=
−
+
−
y
x
x
x
2
1
1
;
2

ж) 
=
+
y
x
x
x
;
3

л) 
=
−
+
y
x
x
4
2 ;
2

г) 
=
+
+
+
y
x
x
x
4
4
2
;
2

з) 
=
−
y
x
x
x
;
3

м) 
=
−
−
y
x

x
9

3 .
2

У р о в е н ь  B

14. Определите, при каких значениях переменной не имеет смысла 
дробь:

а) 
+
−
x
x
2
3
2
5;
г) 
(
)
−
−
+
−
a

a
a
a
5

2
3
6
4 ;
2

б) 
(
)
−

+
⋅
−

x

x
x
4

2
9
;
2

2
д) (
)
+

+
−
−

y
y
y y
y
3
2
3
6;

2

в) (
) (
)
−
−
+
x
x
x

2
5
1
2
7

;
3

2
е) 
+
+
x
x
x
x
7 .
2

2

15. Найдите все значения переменной, при которых значение дроби 
равно 0:

а) (
)(
)
−
+
−
x
x
x
2
3
9
;
2
г) (
)(
)
+
−
−

−
+

x
x

x

2
3
5

2
15

5

;

б) 
(
)
−
+
−
+

x
x

x
x x
2
2
3
1 ;

2

д) (
)(
)
−
+

−

x
x x

x

2
3

1
2
;

2

в) (
)
(
)
+
−
+
−
x
x
x
x
3
6
5
2
4
;
2
е) (
)(
)
−
+

−
−

x
x

x

9
1

4

3
1

.

2

16. Сократите дробь:

а) 
+
+
−
a b
ab
b
a b
b
4
2
8
;
2

3
3
3
в) 
−
+
−
−
+
−
a
a
a
a
a
a
8
20
16
6
12
8 ;
3
2

3
2

б) 
(
)
+
−
+

c d
d

d
c
c

2
54
6
3
9

;
3
2
2

3
2
г) 
−
+
−
−
+
−
a
a
a
a
a
a
1
3
3
4
5
2.
2
3

3
2

17. Найдите значение выражения:

а) 
⋅
⋅
2
3
9
4
;
12
15

7
7
в) 
⋅
⋅
⋅
36
49
7
81
2
;
7
8

16
4
13

б) 
⋅
⋅
⋅
12
5
25
9
8
;
17
12

6
9
11
г) (
)
+
⋅
+
⋅

⋅
⋅

1
2 27
27
3

49
36
17
.

2 3
12

3
6

18. Найдите значение дроби при заданных значениях переменных:

а) 
(
)(
)
(
)
(
)

−
−

+
−
+

a
b
ab
b

a
b
a
a b
ab

9
4
9
6

6
4
9
12
4

2
2
2

3
2
2  при 
=
a
1
4;
=
b
1
3;

б) 
(
)
(
)
(
)
(
)
+
−
−
+
−
+
+
−
x
x
y
x

y
y
x
y
6
10
3
2 3
5

3
6
2
2 2
1

2

2
 при 
=
x
2
3;
=
y
5
2.

19. Найдите значение выражения:

а) 
+
−
a
b
a
b
3
15
0,2
5
,
2
2  если a - 5b = 0,4;

б) 
−
−
a
b
a
b
7
14
0,125
0,5
,
2
2  если a + 2b = 14;

в) 
(
)
−
+
−

−

x
x
y x

x y
y

2
6
3
3

4
12
,

3
2

2
 если 
=
x
y
0,5;

г) 
(
)
+
−
−

+

x
y
y
y

xy
x

3
2
5
2
5

4
10
,

2
3

2
 если 
=
x
y

1
7.

20. Докажите, что заданная функция является линейной:

а) 
=
+
−
−
+
y
x
x
x

x

3
4
15
20

3
4
;
3
2

2
б) 
=
+
+
+
+
y
x
x
x

x

14
2
28

1,5
21
.
3
2

2

21. Сократите дробь (n ∈ N):

а) (
)
+

⋅

+
−
3
3

100 3
;

n
n

n

1
1 2

2
б) (
)
+

⋅

+
−
2
2

81 2
.

n
n

n

2
1 2

2

22. Докажите, что если 
=
a
b
b
c, то:

а) 
+
+
=
a
b
b
c
a
c ;
2
2

2
2
б) 
+
+
+
+
=
a
ab
b
b
b c
c
a
c
2
3
2
3
.
2
2
2

2
2
2

У р о в е н ь  С

23. Сократите дробь:

а) 
+
−
+
a
a
a
a
4
2
2 ;
4

3
2
в) 
+
+
+
+
+
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
...
1;
14
13

5
4
3
2

б) 
+
+
+
+
b
b
b
b
b
1
2
2
2 ;
4
2

3
2
г) 
+
+
+
+
+
x
x
x
x
x
x
...
.
2013
2012
2008

2014
2012
2010

24. Докажите, что значение дроби не зависит от n (n ∈ N):

а) 
(
)
⋅
−
⋅

−

5 81
10 27
3
2
3

;
n
n

n
n
3
б) 
(
)
(
)(
)
(
)

−
−

+
−
⋅
+

2 7
5
49
25

3 7
5
7
2 35
5

.

n
n
n
n

n
n
n
n
n
2
2

25. Найдите значение выражения при заданном условии:

а) 
+
+
−

x
xy
y
x
y
3
2
5
,

2
2

2
2
 если 
+
=
x
y
y
2
5;

б) 
+
+
−

x
y

x
xy
y

2
3

3
2
5
,

2
2

2
2  если 
+
=
x
y
y
2
3
9.

26. Постройте график функции:

а) 
=
−
+
−
−
+
−
y
x
x
x
x
x
25
5
4
12
9
2
3
;
2
2

б) 
=
−
+
−
−
+
−
y
x
x
x
x
x
2
32
4
14
49
7
.
2
2

27. Число 100!
6100  записали в виде несократимой дроби. Найдите ее зна
менатель (100! = 1 ∙ 2 ∙ … ∙ 100).

28. Число 300!
15300  записали в виде несократимой дроби. На какое число 

сократили дробь?

29. Найдите такие значения a и b, при которых для всех допустимых 
значений x будет тождественно верным равенство:

а) 
+
+
+
=
−
ax
x
b
x
x
2

2
3
4;
2

б) 
−
+
−
=
+
ax
x
b
x
x
3
2
5.
2

30. Докажите, что если в дроби 
−
+
−
x
y

x
x y
xy

2
3
3
2
4

3
3

3
2
2 переменные x и y за
менить соответственно на kx и ky, то получится дробь, тождественно 
равная данной (k ≠ 0). Используя доказанное тождество, найдите значение дроби при:

а) 
=
x
3
119;
=
y
2
119;
б) x = 126; y = 87.

2. Сумма и разность дробей

У р о в е н ь  А

31. Выполните действия:

а) 
+
a
b
7
2
7 ;
ж) 
+
+
a
b
a
b
1
2
3
2 ;

б) 
+
+
y
y
3
5
2
5 ;
з) 
+
+
+
x
y
x

y
3

2

3;

в) 
+
−
−
x
a
x
a
2
9
3
9
;
и) 
−
−
+
+
−
b
c
b
c
2
5
3
5;

г) 
+
−
−
c
d
c
d
3
2
3
3
;
к) 
+
−
−
+
−
x
y
x
y
3
2
2
2
3
2 ;

д) 
−
+
a
b
3
5
2
1
5
;
л) 
−
+
−
−
+
a
x
a
x
2
5
3
1
4
3
1;

е) 
+
−
a
a
2
3
2
2
;
м) 
−
−
+
−
x
y
x
y
7
2
3
2
1
2
3.

32. Представьте в виде дроби:

а) 
−
+
x
a
a
3
6
6;
г) 
−
+
−
xy
z
x
z
xy
x
7
5
12
5
3
12
;

2

3

2

3

б) 
+
−
x
a
a
2
3
14
3
14 ;
д) 
+
+
xy
y
x
y
x
5
3
15
2
15
;
2
2

в) 
+
−
y
b

y
b
y

3
2

5
2
5 ;

2

е) 
−
−
−
−
a b
ab
ab
ab
ab
9
5
6
12
4
6
12.
2

33. Упростите выражение:

а) 
+
a
bc
a
bc
2
3 ;
ж) 
+
+
−
xy
x
xy
x
5
3
2
7
3
2
;
2
2

б) 
−
+
a
c
c
2
3
4
3 ;
з) 
+
−
+
a
a
bc
a
a
bc
7
9
2
;
2
2

в) 
+
−
+
p

pq

p

pq

7
7
2 ;
и) 
+
−
a b
b
a b
4
3
4;
2
2

г) 
+
−
x

xy
xy

4

3

4

3
;
2

к) 
−
−
−
m n
mn
m n
mn
3
2
4
3
2
;
2

2

2

2

д) 
−
m
n
m
n
5
2
3
2
;
3

2

3

2
л) 
+
x
y

x
y

7
5

3
5
;
3

2

3

2

е) 
−
−
b
ac

b

ac
6
5
3
2
5
;
4
4

м) 
+
−
ab
c
ab
c
3
1
4
2
4
.

34. Найдите значение выражения:

а) 
−
+
−
a
a
a
a
3
2
2
2
2  при 
=
a
1
7;

б) 
(
)
(
)
+
−
−
−
a
b
a
b
a
2
3
4
7
17
4
7
2
2
 при a = 2; 
=
b
1
3;

в) 
+
+
−
b
a

ab
a
b
ab

3
5

4
3
3
4

2

3

2

3
 при 
=
a
1
7; b = 2;

г) 
−
−
−
cd
d

c

cd
d

c

3

5
3
3
5

2

2

2

2
 при 
=
c
1
5;
=
d
1
3;

д) 
−
+
+
−
+

xy
y
x
y

y
xy

x
y
4
5

2

3
8

2

2
2

 при 
=
x
1
17;
=
y
3
8.

35. Упростите выражение:

а) 
−
−
−
−
−
+
−
−
a
a
a
a
a
a
3
15
35
1
15
35
3
15
35;

б) (
)
(
)
(
)
+
−
+
−
−
+
−
−
b

c
b

b

c
b

b

c
b

2
1

5
6

7
3

5
6

10
5
6 ;

в) (
)
(
)
(
)
+
+

−
−
+

+
+
+
x

b x

x
x

b x

x

b x
2
3
7
12
7

2
46
7

;
2

2

2

2
2

г) y
y
a y
y
y

a y

y

a y
3
5
3
4
3
18
3
3

;

2

2

2

2
2
(
)
(
)
(
)
−
−
−
+
−
+
−
−

д) 
+
−
−
−
−
−
+
−
x
y

x
y

x
y

x
y

x
y
x
y
3
7
2
3
7
2

5
2
7
2 .

36. Преобразуйте выражение, представив его в виде дроби:

а) 
+
−
+
+
−
−
+
xy

xy
x

xy

xy
x

xy

2

3
4

3

3
4

2
3
3
4 ;
в) 
+
−
+
−
−
−
+
−
p

p
p

p

p
p

p
p
p
3
7
3

4
5
3

2
2
3 ;
2
2
2

б) 
−
+
−
−
+
−
−
a
a
a
a
a
a
a
a

3

2
5
2
5
3
2
2
5 ;
2
2
2

г) 
−
+
−
+
+
+
−
+
p
q

q
q

p
q

q
q

q
p
q
q

4
3
2
7
2
7

5
3
2
7 .

2

2

2

2

2

2