Математика. Профильный уровень. Единый государственный экзамен. Готовимся к итоговой аттестации

МОСКОВСКИЙ ЦЕНТР НЕПРЕРЫВНОГО
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

А. В. Семёнов, А. С. Трепалин, И. В. Ященко, 
И. P. Высоцкий, П. И. Захаров

МАТЕМАТИКА

ПPОФИЛЬНЫЙ УPОВЕНЬ

ЕДИНЫЙ ГОСУДАPСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН

ГОТОВИМСЯ К ИТОГОВОЙ АТТЕСТАЦИИ

Москва
Издательство «ИнтеллектЦентр»
2021

Электронное издание 

УДК
ББК
373.167.1:51(075.3)
22.1я721
М34

Под общей редакцией научного руководителя Центра педагогического мастерства И. В. Ященко

В сборнике использованы задачи, предложенные И. Р. Высоцким, Д. Д. Гущиным, П. И. Захаровым, М. А. Посицельской, 
С. Е. Посицельским, А. В. Семеновым, В. А. Смирновым, А. С. Трепалиным, С. А. Шостаковым, Д. Э. Шнолем, 
И.В. Ященко

М34
Математика. Профильный уровень. Единый государственный экзамен. Готовимся к итоговой аттестации / 
А. В. Семёнов, А. С. Трепалин, И. Р. Высоцкий, П. И. Захаров и др. ; под ред. И. В. Ященко ; МЦНМО. — 
Эл. изд. — 1 файл pdf : 227 с. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2021. — (Единый государственный экзамен). — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : 
электронный.

ISBN 978-5-907339-68-2

Данное пособие предназначено для подготовки к Единому государственному экзамену по математике профильного 
уровня. Издание включает типовые задания по всем содержательным линиям экзаменационной работы, а также 30 примерных вариантов в формате ЕГЭ 2021 года.
Пособие поможет школьникам проверить свои знания и умения по предмету, а учителям — оценить степень достижения 
требований образовательных стандартов отдельными учащимися и обеспечить их целенаправленную подготовку к экзамену.

УДК 373.167.1:51(075.3) 
ББК 22.1я721

Электронное издание на основе печатного издания: Математика. Профильный уровень. Единый государственный 
экзамен. Готовимся к итоговой аттестации / А. В. Семёнов, А. С. Трепалин, И. Р. Высоцкий, П. И. Захаров и др. ; под ред. 
И. В. Ященко ; МЦНМО. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2021. — 224 с. — (Единый государственный 
экзамен). — ISBN 978-5-907339-14-9. — Текст : непосредственный.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-907339-68-2
© ООО «Издательство «Интеллект-Центр», 2021
© МЦНМО, 2018

ВВЕДЕНИЕ 

Государственная итоговая аттестация по математике в форме Единого государственного 
экзамена с 2015 года проводится на базовом и профильном уровнях. Содержание заданий 
с кратким ответом контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 
базового и профильного уровней в 2021 году не будут принципиально отличаться от содержания соответствующих вариантов 2020 года. С окончательной структурой варианта можно ознакомиться на сайте Федерального института педагогических измерений (www.fipi.ru) в разделе 
4ЕГЭ: демоверсии, спецификации, кодификаторы•. В рамках спецификации продолжается расширение тематики задач, особенно это касается геометрической части экзамена, а также заданий по началам математического анализа. Указанные изменения нашли свое отражение в книге, которую вы держите в руках. 

В контрольных измерительных материалах единого государственного экзамена на профильном уровне задания с кратким ответом проверяют уровень освоения ФГОС на базовом и повышенном уровнях. В первой части задания с кратким ответом даются на базовом уровне 
сложности, а во второй части задания с кратким ответом даются уже на повышенном уровне 
сложности. Основной акцент в большей части таких заданий сделан на проверку освоения математических компетенций (в первую очередь на применение математических знаний к решению практических задач). Ответом ко всем заданиям с кратким ответом должно быть целое 
число или конечная десятичная дробь. Эти ответы нужно записывать в Бланке ответов No 1 
в соответствии с прилагаемой инструкцией заполнения бланка. Особенностью проверки правильности выполнения таких задач является проверка только ответов (решения не проверяются). Все задания с кратким ответом берутся из открытого банка заданий ЕГЭ Федерального института педагогических измерений. Большой банк математических задач, из которого формируется банк ФИПИ, содержится на сайте www.mathege.ru. 

Вторая часть варианта экзамена по математике содержит задания повышенного и высокого 
уровней сложности и предназначается прежде всего для дифференциации по уровню подготовки будущих абитуриентов. Задания с кратким ответом второй части проверяют профильный 
уровень математической подготовки. Задания с развернутым ответом проверяют уровень 
освоения ФГОС на повышенном уровне. Все решения заданий с развернутым ответом должны 
быть записаны в Бланке ответом No 2 (дополнительном бланке ответов No 2). Обоснованность 
и полноту решения этих заданий устанавливают эксперты и выставляют баллы в соответствии 
с Критериями оценивания заданий с развернутым ответом (демонстрационный вариант ЕГЭ 
по математике на сайте ФИПИ). 

В контрольных измерительных материалах единого государственного экзамена на базовом 
уровне задания проверяют базовые вычислительные и логические умения и навыки, умение 
анализировать информацию, представленную на графиках и в таблицах, использовать простейшие вероятностные и статистические модели, ориентироваться в простейших геометрических 
конструкциях. В экзаменационную работу включены задания базового уровня по всем основным предметным разделам: геометрия (планиметрия и стереометрия), алгебра, начала математического анализа, теория вероятностей и статистика. 

Учебное пособие 
•Математика. 
Профильный 
уровень. 
ЕГЭ. 
Готовимся 
к 
итоговой 
аттестации• создан на основе Открытого банка заданий по математике профильного уровня и 
Открытого банка заданий по математике базового уровня. Использование пособия 4Математика. Профильный уровень. ЕГЭ. Готовимся к итоговой аттестации• позволяет выпускникам и 
учителям заранее выбрать уровень итоговой аттестации, осуществлять диагностику проблемных зон, эффективно встраивать стратегию и тактику итогового повторения и подготовку к 
экзамену. 

Опыт проведения экзамена с использованием открытого банка заданий по математике 
в 2010-2020 годах показывает, что наименее эффективны, к сожалению, наиболее популярные 
стратегии подготовки - прорешивать, начиная с сентября месяца, подряд все задания открытого банка (в котором более 50 ООО математических заданий) или прорешивать имеющиеся 

3 

в большом 
количестве 
варианты, аналогичвые демонстрационному варианту ЕГЭ (либо 

из опубликованных пособий, либо составленные с использованием открытого банка). 

Залог успеха на экзамене - регулярные занятия математикой в течение всего периода обучения в школе, своевременное выявление и ликвидация возникающих (неизбежно!) проблем. 

Поэтому настоящая книга позволит учителю включать задания, аналогичные заданиям ЕГЭ, 

в текущий учебный процесс, начиная с 6 класса. 

Учителя и учашиеся при организации итогового повторения и подготовки к экзамену с помощью этой книги имеют возможность повторить задания основных тем курсов алгебра, алгебры и начал математического анализ, геометрии, теории вероятностей и статистики. 

Авторы пособия много лет анализируют выполнение заданий экзамена и •вынуждены• рекомендовать определенные подготовительные задания, те задания, которые в явном виде и 

не даются на экзамене, но без правильного выполнения таких простых заданий нельзя получить правильный ответ в более сложных экзаменационных заданиях. 

Раздел •Алгебра• включает в себя задания на рациональные, иррациональные, степенные, 

тригонометрические и логарифмические уравнения и выражения. 

В пункт •Рациональные уравнения и выражения• собраны задания с разных позиций варианта, есть и подготовительные задания: линейные уравнения, простейшие дробно-рациональные 

уравнения, квадратные - это те уравнения, в которых участники экзамена допускают много 

ошибок. В этом пункте присутствуют задания на вычисление по формулам, традиционные текстовые задачи на совместную работу, движение, проценты, концентрацию растворов и сплавов. 

В пункт «Иррациональные уравнения и выражения• собраны задания с разных позиций варианта, но объединяет эти задания наличие радикала (корня). В начале пункта даются задания 

на преобразование числовых выражений, содержащих корень, в таких вычислениях делается 

много ошибок участниками экзамена. Авторы рекомендуют при выполнении этих заданий 

не прибегать к помощи калькулятора, поскольку на экзамене использование калькулятора 

не предусмотрено. Очень много досадных ошибок допускается в простейших иррациональных 

уравнениях, поэтому таких уравнений в пособии дается много. Задания на вычисления по формулам, содержаших радикал, также включены в этот пункт. 

В пункт •Степенные уравнения и выражения• собраны задания с разных позиций варианта. 
В начале пункта дается большое количество заданий на преобразование числовых выражений, 

содержащих степень. Простейшие показательные уравнения есть в вариантах экзамена, поэтому таких уравнений в пособии дается много. Задания на вычисления по формулам, содержащих степень, также включены в этот пункт. 

В пункт •Тригонометрические уравнения и выражения• собраны задания с разных позиций 

варианта, но объединяет эти задания наличие тригонометрических функций. В начале пункта 

даются задания на нахождение по одной тригонометрической функции других тригонометрических функций, в пособии дается очень большое количество заданий на преобразование тригонометрических выражений с использованием основного тригонометрического тождества, 

формул приведения, тригонометрических формул двойного угла, знание табличных значений 

тригонометрических функций. В этот пункт включены также простейшие тригонометрические 

уравнения, без правильного решения которых нельзя получить правильный ответ в заданиях 

повышенного уровня. Задания на вычисления по формулам, содержаших тригонометрические 

функции, также включены в этот пункт. 

В пункт •Логарифмические уравнения и выражения• собраны задания с разных позиций 

варианта, но объединяет эти задания наличие логарифма. В начале пункта даются задания 

на нахождение значений выражений, содержаших логарифм. Задания подобраны так, чтобы учащийся с помощью этого банка заданий имел возможность повторить все свойства логарифмов. 
В этот пункт включены также простейшие логарифмические уравнения, без правильного решения которых нельзя получить правильный ответ в заданиях повышенного и высокого уровней. 

Задания на вычисления по формулам, содержащих логарифм, также включены в этот пункт. 

Раздел «Практико-ориентированные задачи• включают в себя текстовые задачи, задания на диаграммы и графики зависимостей, а так же задания курса «Теория вероятностей и статистика•. 

В пункт «Текстовые задачи• собраны задания с разных позиций варианта. Для решения задач 

этого пункта не нужно составлять уравнений, чаще всего эти задачи решаются по действиям, 

иногда устно. Это задачи, в которых нужно посчитать плату за электроэнергию по показаниям 
счётчика, посчитать сдачу, которую должен получить покупатель, рассчитать наиболее выгодный 

4 

тарифный шшн и т.д. Прежде всего, это задания на вычисления, которые возникают в различных реальных ситуациях. 

В пункт •Графики и диаграммы• включены задания на чтение диаграмм. В этом пункте даны диаграммы выпадения осадков, температур, различных курсов денежных единиц, цен металлов, нефти. По этим диаграммам нужно ответить на разного рода вопросы. Казалось бы, что 
может быть проще, но на экзамене каждый десятый выпускник не дает верного ответа на эти 

простые вопросы. 
В пункте •Вероятность• собрано большое количество заданий, в которых нужно вычислить 

вероятность наступления или не наступления события. Наряду с простыми заданиями в этот 

пункт включены и сложные задания. 

Раздел •Геометрия• включает в себя задания стереометрии и задания планиметрии, разбитые по темам: длины, углы, тригонометрия, площади. 
В пункте •длины• собрано большое количество заданий, в которых нужно вычислить длину 
отрезка. Это может быть и треугольник, и четырёхугольник. В этот пункт включено много подготовительных задач - простых планиметрических задач на какой-то один геометрический факт. 

Для решения таких заданий авторы рекомендуют обязательно сделать рисунок. Иногда такие 

задания можно решать практически устно, применяя известные соотношения, иногда для решения задачи нужно составить уравнение или систему уравнений. Наряду с простыми заданиями 
в этот пункт включены и сложные задания. 

В пункте •Углы• собрано большое количество заданий, в которых нужно вычислить величину угла. Это может быть и угол в треугольнике или в четырёхугольнике, и вписанный или 

центральный угол. В этот пункт также включено много подготовительных задач - простых 

планиметрических задач на какой-то один геометрический факт. Для решения таких заданий 
авторы рекомендуют обязательно сделать рисунок. Иногда такие задания можно решать практически устно, применяя известные соотношения, иногда для решения задачи нужно составить уравнение. Наряду с простыми заданиями в этот пункт включены и сложные задания. 

Практически все задания пункта •Тригонометрия• носят подготовительный характер, потому что авторы специально большое количество заданий на тригонометрические соотношения 

дали для прямоугольного треугольника в качестве важного повторения. 
В пункте «Площади• собрано большое количество заданий, в которых нужно вычислить 

площадь фигуры. Это может быть и площадь треугольника, и площадь четырёхугольника (параллелограмма, трапеции), и площадь круга. Наряду с классическими задачами на эту тему 
в пункт включено большое количество геометрических задач на «клеточках• или в декартовой 

системе координат. 
В пункте «Стереометрия• собрано большое количество заданий, в которых нужно решить 

стереометрическую задачу. Это может быть и расстояние между вершинами многогранника, 
и длина ребра прямоугольного параллелепипеда, и высота правильной пирамиды, и площадь 

полной поверхности многогранника, и объём части конуса и т.д. В основном в этот пункт включены задания базового уровня сложности. 

Раздел •Начала математического анализа• включает задания на геометрический и физический смысл производной, технику дифференцирования и исследование функций, нахождение 

первообразной и применение первообразной для нахождения площади фигуры. 

В пункте «Геометрический и физический смысл производной• собрано большое количество 

заданий. В пункте есть классические задания на уравнение касательной, а есть и задания, когда 

по графикам функции и касательной нужно вычислить значение производной в точке. В этот 

пункт также включено большое количество заданий на рисунках: по графику производной указать какие-то свойства функции или по графику функции ответить на вопросы про производную этой функции. 

Практически все задания пункта «Техника дифференцирования• носят подготовительный 
характер, потому что авторы специально дали большое количество заданий на нахождение 

производной различных функций. Для выполнения этих заданий потребуется знание табличных производных и правил дифференцирования. 

В пункте «Исследование функций• собрано большое количество заданий. В этот пункт 
включено большое количество заданий на рисунках: по графику производной указать какие-то 

свойства функции (точка экстремума, скорость изменения) или по графику функции ответить 

на вопросы про производную этой функции. В этом пункте есть большое количество классических задач на нахождение точек экстремума (локального), наибольшего или наименьшего значения функции на заданном отрезке. 

5 

В пункте «Первообразная• даны задания, в которых есть понятие «первообразная•. В этот 
пункт вкточены задания на рисунках: по графику одной из первообразных указать какие-то 
свойства функции или по графику функции вычислить площадь фигуры или приращение первообразной. В этом пункте также даны классические задачи на первообразную базового уровня 
сложности. 
Раздел «Задачи повЫПiенной сложности• дает представления (не претендуя на полноту) о заданиях повьппенного и высокого уровня сложности с развернутым ответом: тригонометрические 
уравнения, системы неравенств, уравнения и неравенства с параметром, планиметрические 
и стереометрические задачи и задачи высокого уровня сложности по арифметике и алгебре. 

В пункте «Тригонометрические уравнения• дается набор уравнений повышенного уровня 
сложности, сводящихся к решению тригонометрических уравнений. Для того, чтобы прийти 
к простейшему тригонометрическому уравнению, нужно решить сначала или квадратное уравнение, или иррациональное уравнение, или показательное уравнение, или логарифмическое. 
Задания этого пункта даны на языке экзамена: решить уравнение и найти корни этого уравнения, принадЛежащие данному отрезку. 

В пункте «Неравенства и системы неравенств• дается неболыпой набор неравенств повЫПiенного уровня сложности. Здесь есть и рациональные неравенства, и показательные, и логарифмические. 

В пункте «Уравнения и неравенства с параметром• дается небольшой набор заданий с параметром высокого уровня сложности. 

В пункте «Планиметрия• дается небольшой набор геометрических заданий повышенного 
уровня сложности. Задания этого пункта даны на языке экзамена: доказать геометрический 
факт и что-то вычислить. 

В пункте «Стереометрия• дается небольшой набор геометрических заданий повышенного 
уровня сложности на нахождение расстояний от точки до прямой или плоскости, на нахождение угла между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями. 
Основное назначение пункта «Арифметика и алгебра• - дать представление о задачах высокого уровня сложности. 

В пункте «Экономические задачи• дается небольшой набор задач с экономическим содержанием. 
Учебное пособие «Математика. Профильный уровень. Единый государственный экзамен. 
Готовимся к итоговой аттестации• содержит 30 тренировочных вариантов, аналогичных заданиям 
государственной итоговой аттестации по математике в форме ЕГЭ, вошедших в обновленный 
открытый банк заданий ФИПИ. 
Предложенные тренировочные варианты помогут участнику экзамена выбрать свою стратегию 
сдачи экзамена. При решении тренировочных вариантов можно попробовать разные варианты 
планирования работы, обращая внимание на то, что условия работы должны быть такими же, 
как на экзамене: не допускается использование калькулятора, не следует отвлекаться в течение 
всего времени, отведенного на выполнение варианта. Перед выполнением заданий варианта 
обязательно прочитайте инструкцию (в пособии она дана). На экзамене (тренировке) следует 
пропускать те задания, которые на этапе подготовки, например, с помощью учебного пособия 
«Математика. Профильный уровень. Единый государственный экзамен. Готовимся к итоговой 
аттестации•, вызывали затруднения, и выполнять их после того, как будут решены те задания, 
в решении которых уверены. Каждый участник экзамена во время выполнения заданий каждой 
части может выделить больше времени на те задачи, которые он может решить: более подготовленный, быстро решив простые задачи, имеет возможность сосредоточиться на более сложных 
(задания второй части в вариантах профильного уровня), а менее подготовленный сможет все 
время потратить на решение заданий базового уровня сложности (задания первой части). 
Данный сборник позволяет учителю вести планомерную подготовку к итоговой аттестации 
по математике, включая задания сборника в классную и домашнюю работу. В основном одинаковые задания даются парами: одну задачу решили в классе, другую - дома. 
Учащиеся имеют возможность самостоятельно выстраивать тактику подготовки к экзамену 
с использованием материалов данного издания, открытого банка математических заданий 
с опорой на школьные учебники. 
Авторы выражают уверенность в том, что задания сборника позволят не только успешно 
подготовиться к экзамену, но и закрепить математические знания, которые пригодятся в обычной жизни и при продолжении образования. 

6 

1. АЛГЕБРА 

1.1. Рациональные уравнения и выражения 

1.1.1. Найдите корень уравнения 2 - 5х = 11 -2х. 

1.1.2. Найдите корень уравнения -4(3 - х) = 2х + 7. 

1.1.3. Найдите корень уравнения fx = 19t. 

1.1.4. Найдите корень уравнения %х = -1; . 

1.1.5. Найдите корень уравнения Sx 5 = 2. 

1.1.б. Найдите корень уравнения х 5 = t. 

1.1.7. Найдите корень уравнения х-44о = -5. 
х
1.1.8. Найдите корень уравнения ____!_2 = 3 1 6. 
7х+ 
х
1.1.9. Решите уравнение %х2 = 4,9. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней. 

1.1.10. Решите уравнение 1\ х2 = 9 /
1
. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе 

запишите больший из корней. 
1.1.11. Найдите корень уравнения х2 - 9х + 14 = О. Если уравнение имеет более одного 
корня, укажите больший из них. 

1.1.12. Найдите корень уравнения х2 - 4х - 45 = О. Если уравнение имеет более одного 
корня, укажите меньший из них. 
1.1.13. Решите уравнение (2х - 7)2 = (2х - 1)2. 
1.1.14. Найдите корень уравнения (х - 10)2 
= (х + 3)2. 

1.1.15. Найдите корень уравнения х2 -4 = (х- 2)2. 

1.1.16. Найдите корень уравнения х2 - 5 = (х + 1)2. 

1.1.17. Решите уравнение (х - 1)2 = -4х. 
1.1.18. Найдите корень уравнения (х- 2)2 
= -Вх. 

1.1.19. Решите уравнение 2 2 
= 1. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе зах + 1 

пишите меньший из корней. 

1.1.20. Решите уравнение 219Х = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе зах -5 
пишите больший из корней. 

-х-10 Е 
б 
1.1.21. Найдите корень уравнения х =  
6 . 
ели уравнение имеет олее одного корня, 
х+ 
в ответе укажите меньший из них. 

7 

-4х-7 
б 
1.1.22. Найдите корень уравнениях = х-12 . Если уравнение имеет олее одного корня, 

в ответе укажите меньший из них. 

1.1.23. Найдите корень уравнения 
2 10 
= 1. Если уравнение имеет более одного корня, 
х -15 
в ответе запишите больший из корней. 

1.1.24. Найдите корень уравнения 
28 
= 1. Если уравнение имеет более одного корня, 
х -8 
в ответе запишите больший из корней. 

н "  
х-4 
х-4 
1.1.25. 
аидите корень уравнения 4х_1 

= Зх-10. Если уравнение имеет более одного 

корня, в ответе запишите больший из корней. 

1 1 26 н "  
х-8 х-8 Е 
б 
• 
• 
• 
аидите корень уравнения 1 х _ 2 = бх _ 1 . 
ели уравнение имеет 
олее одного 

корня, в ответе запишите больший из корней. 

1.1.27. Найдите корень уравнения (х + 4)9 = 512. 

1.1.28. Найдите корень уравнения (х - 7)3 
= -216. 
1.1.29. Решите уравнение хз - 7х + 6 = О. Если уравнение имеет более одного корня, 
в ответе запишите больший из корней. 
1.1.30. Решите уравнение х4 + х2 - 2 = О. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней. 

1.1.31. При температуре 0°С рельс имеет длину 10 = 10 м. При возрастании температуры 

происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t°) = 10(1 + a·t"), где а =  1,2 · 10-5 (0СГ1 

- коэффициент теплового расширения, t° - температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 9 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия. 

1.1.32. При температуре 0°С рельс имеет длину 10 = 10 м. При возрастании температуры 

происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t°) = 10(1 + a·t"), где а =  1,2· 10-5 (0СГ1 

- коэффициент теплового расширения, t° - температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия. 
1.1.33. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены р (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой q = 110 -5р. Выручка предприятия r 

(в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле r(p) = q ·р. Определите наибольшую цену р, при 

которой месячная выручка r(p) составит не менее 600 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. за ед. 
1.1.34. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены р (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой q = 100 - 4р. Выручка предприятия r 

(в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле r(p) = q · р. Определите наибольшую цену р, при 

которой месячная выручка r(p) составит не менее 600 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. за ед. 

1.1.35. Некоторая компания продает свою продукцию по цене р = 400 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 200 руб., постоянные расходы предприятия f = 500 ООО руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле it(q) = q(p- v) -f. Определите месячный объём 
производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 300 ООО руб. 

8 

1.1.36. Некоторая компания продает свою продукпию по цене р = 500 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 200 руб" постоянные расходы предприятия f = 900000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле it(q) = q(p- v) -f. Определите месячный объём 
производства q (единиц продукпии), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 600 ООО руб. 
1.1.37. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время 
t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле 
h = 5t2, где h - расстояние (в метрах), t - время падения (в секундах). До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, 
чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах. 
1.1.38. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время 
t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле 
h = 5t2, где h - расстояние (в метрах), t - время падения (в секундах). До дождя время падения камешков составляло 1 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы 
измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах. 
1.1.39. Высота 
над 
землеи 
подброшенного 
вверх 
мяча 
меняется 
по 
закону 
h(t) = 1,2 + 10t- 5t2, где h - высота (в метрах), t - время (в секундах), прошедшее с момента 
броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров? 
1.1.40. Высота 
над 
землеи 
подброшенного 
вверх 
мяча 
меняется 
по 
закону 
h(t) = 1,6 + 8t- 5t2, где h - высота (в метрах), t - время (в секундах), прошедшее с момента 
броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров? 
1.1.41. Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со време5 
нем по закону q> = rot + 2, где t - время (в минутах), ro = 7 ° /мин - начальная угловая ско
рость врашения катушки, а = 10°/мин2 - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки q> 
достигнет 2250°. Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий 
должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах. 
1.1.42. Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону q> = rot + 2 , где t - время (в минутах), ro = 50° /мин - начальная угловая ско
рость врашения катушки, а = 10°/мин2 - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки q> 
достиmет 1000°. Определите время после начала работы лебёдки, не позже которого рабочий 
должен проверить её работу. Ответ выразите в минутах. 
1.1.43. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v0 = 58 км/ч, выезжает из него 
и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением а =  16 км/ч2. Расстояние 
at2 
от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением S = v0t + 2. 

Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем 
в 48 км от города. Ответ выразите в минутах. 
1.1.44. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v0 = 55 км/ч, выезжает из него 
и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением а = 2 км/ч2. Расстояние 
at2 
от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением S = v0t + 2. 

Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем 
в 56 км от города. Ответ выразите в минутах. 

9 

1.1.45. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением 

электроприбора по закону Ома: I = · где U - напряжение (в вольтах), R - сопротивление 

электроприбора (в омах). В электросеть включён предохранитель, который плавится, если сила 
тока превышает 4 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах. 

1.1.46. Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением 

электроприбора по закону Ома: I = · где U - напряжение (в вольтах), R - сопротивление 

электроприбора (в омах). В электросеть включён предохранитель, который плавится, если сила 
тока превышает 5 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах. 

1.1.47. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R1 = 25 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R2 этого электрообогревателя, если 
известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R1 Ом 

и R2 Ом их общее сопротивление задаётся формулой Rобщ = R
R1 R(Ом), а для нормального 
1 + 2 
функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. 
Ответ выразите в омах. 

1.1.48. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R1 = 63 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление R2 этого электрообогревателя, если 
известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R1 Ом 

и R2 Ом их общее сопротивление задаётся формулой Rобщ = R
R1 R(Ом), а для нормального 
1 + 2 
функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 36 Ом. 
Ответ выразите в омах. 

1.1.49. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формуТ1 -Т2 

лай 11 = 

Т 

· 100%, где Т1 - температура нагревателя (в градусах Кельвина), Т2 - темпера1 
тура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя Т1 
КПД этого двигателя будет не меньше 20%, если температура холодильника Т2 = 320 К? Ответ 
выразите в градусах Кельвина. 

1.1.50. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формуТ1 -Т2 

лай 11 = 

Т 

· 100%, где Т1 - температура нагревателя (в градусах Кельвина), Т2 - темпера1 
тура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя Т1 
КПД этого двигателя будет не меньше 65%, если температура холодильника Т2 = 301 К? Ответ 
выразите в градусах Кельвина. 

1.1.51. Зависимость температуры (в Кельвинах) от времени для нагревательного элемента 
некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интервале температур вычисляется по формуле T(t) = Т0 + bt + at2, где t - время в минутах, Т0 = 1400 К, а = -50 К/мин2, 
Ь = 400 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1750 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала 
работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах. 

10