Математика. Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности

МОСКОВСКИЙ ЦЕНТP НЕПPЕPЫВНОГО
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБPАЗОВАНИЯ

А. В. Семёнов, И. В. Ященко, И. P. Высоцкий, А. С. Трепалин, Е. А. Кукса

КАК ПОЛУЧИТЬ МАКСИМАЛЬНЫЙ БАЛЛ НА ЕГЭ

МАТЕМАТИКА

Pешение заданий повышенного и высокого уpовня сложности

Москва
Издательство «ИнтеллектЦентр»

2021

2-е издание, электронное

УДК373.167.1:51(075.3)
ББК22.1я721
М34

М34
Семёнов, А. В.
Математика. Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности / А. В. Семёнов, И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, А. С. Трепалин и др. ; Московский центр непрерывного математического образования. — 2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 143 с. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2021. — (Как 
получить максимальный балл на ЕГЭ). — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital 
Editions 4.5 ; экран 12". — Текст : электронный.
ISBN 978-5-907339-59-0

В предлагаемом пособии дана характеристика основных типов заданий повышенного и высокого уровня сложности, 
испольлзуемых на ЕГЭ по математике. Особое внимание уделяется разбору заданий, вызвавших наибольшие затруднения. 
Для тренировки и самоподготовки к ЕГЭ предлагаются задания с развёрнутым ответом различного уровня сложности по 
всем содержательным блокам.
Пособие адресовано старшеклассникам, преподавателям и родителям. Оно поможет школьникам проверить свои знания 
и умения по предметам, а учителям — оценить степень достижения требований образовательных стандартов отдельными 
учащимися и обеспечить их целенаправленную подготовку к экзамену.

УДК 373.167.1:51(075.3) 
ББК 22.1я721

Электронное издание на основе печатного издания: Математика. Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности / А. В. Семёнов, И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, А. С. Трепалин и др. ; Московский центр непрерывного математического образования. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2019. — 144 с. — (Как получить максимальный балл на 
ЕГЭ). — ISBN 978-5-907033-93-1. — Текст : непосредственный.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских 
прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-907339-59-0
© ООО «Издательство «Интеллект-Центр», 2021
© МЦНМО, 2019

СОДЕРЖАНИЕ 

Введение .......................................... . 
4 

1. Уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5

1.1. Тригонометрические уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5 

1.2. Показательные уравнения 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
11 

1.3. Логарифмические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
17 

1.4. Комбинированные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

2. Неравенства и их системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
32

2.1. Рациональные неравенства 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 

2.2. Логарифмические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

2.3. Показательные неравенства 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 

2.4. Системы неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
50 

3. Задания с параметром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4. Стереометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
75

4.1. Параллелепипеды 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
75 

4.2. Призмы 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
78 

4.3. Треугольные пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 

4.4. Четырёхугольные пирамиды 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  86 

4.5. Тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 

5. Планиметрия .............................................. . 

5.1. Планиметрические задачи (одна конфигурация с окружностью) 

5.2. Планиметрические задачи (одна конфигурация без окружности) 

94 

94 

100 

5.3. Планиметрические задачи (две конфигурации) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  105 

6. Арифметика и алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7. Экономические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Ответы 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 137 

3 

ВВЕДЕНИЕ 

Содержание заданий с развёрнутым ответом контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2019 года не будет отличаться от содержания вариантов 2018 года. Со структурой варианта можно ознакомится на сайте Федерального института педагогических измерений (www.fipi.ru) в разделе •ЕГЭ: демоверсии, спецификации, кодификаторы•. В 

рамках спецификации экзамена по математике профильного уровня продолжается расширение 

тематики задач, особенно это касается геометрической части экзамена, а также заданий по началам математического анализа. Указанные изменения нашли своё отражение в книге, которую 

вы держите в руках. 

Вторая часть варианта экзамена по математике содержит задания с развёрнутым ответом 

повышенного и высокого уровней сложности и предназначается, прежде всего, для будуrnих 

абитуриентов технических, экономических, математических и других вузов, предъявляющих 

повышенные требования к уровню математической подготовки абитуриентов. Именно им и 

адресовано пособие •Решение заданий повышенного и высокого уровня сложности. Как получить максимальный балл на ЕГЭ•. 

Все решения заданий с развёрнутым ответом должны быть записаны в Бланке ответов No 2 

(дополнительном бланке ответов No 2). Обоснованность и полноту решения этих заданий устанавливают эксперты и выставляют баллы в соответствии с Критериями оценивания заданий с 

развёрнутым ответом (демонстрационный вариант ЕГЭ по математике на сайте ФИПИ). 

В пособии собраны задания, которые были в вариантах прошлых лет, диагностических работах. К этим заданиям даны решения, которые предлагались экспертам по проверке заданий 

с развёрнутым ответом. В каждом разделе сначала даны задания с решениями, а потом задания 
для самостоятельной работы. Ни в коем случае приведённые решения не претендуют на роль 

эталона - эти решения даны в очень сжатом виде. Очень часто придётся •расшифровывать• 

эти решения, дополняя их промежуточными преобразованиями и вычислениями, в них часто 

лишь обозначены основные этапы решения задачи. Задания пособия можно решать, используя 

разные подходы и методы, - ведь на экзамене проверяется математическая грамотность решения. Авторы рекомендуют сначала попробовать решить задание самостоятельно, а потом уже 

знакомиться с авторским решением. После изучения заданий с решениями обязательно нужно 

решить задания для самостоятельного решения. 

Весь материал разбит на главы. Уравнениям (показательным, логарифмическим, тригонометрическим) посвящена первая глава. Вторая глава содержит задания по неравенствам (рациональным, показательным, логарифмическим). В третьей главе собраны задания высокого 

уровня сложности - задания с параметром. Геометрии посвящены четвёртая (стереометрия) и 

пятая (планиметрия) главы. В геометрических задачах есть пункт на доказательство какоголибо геометрического факта. Арифметические и алгебраические задачи повышенного и 

высокого уровня сложности даны в шестой главе. Последняя глава посвящена задачам с 

экономическим содержанием. 

Гарантией успешной сдачи экзамена является систематическое изучение математики, 

включающее в себя вдумчивое решение математических задач и в школе, и дома, и на курсах 

подготовки абитуриентов. 

При решении заданий повышенного уровня сложности нужно учитывать, что решение 

должно быть обязательно доведено до ответа - только в этом случае можно рассчитывать на 

какие-то баллы. В заданиях высокого уровня сложности баллы могут быть выставлены за законченный фрагмент решения. На экзамене нет калькулятора, поэтому в подготовительной работе особо следует уделить внимание вычислениям. 

В пособии использованы задачи, предложенные А. Р. Рязановским, П. В. Семёновым, 

В. С. Панферовым, И. Н. Сергеевым, И. Р. Высоцким, М. Я. Пратусевичем, С. А. Шестаковым, 

О. Н. Косухиным, А. В. Семеновым, В. А. Смирновым, А. В. Хачатуряном, Р. К. Гординым, 

А. И. Суздальцевым, Д. А. Фёдоровых, М. А. Волчкевичем. 

4 

1. УРАВНЕНИЯ 

1.1. Тригонометрические уравнения 

1. 
а) Решите уравнение cos2x- -i/2 sin( -х) + 1 = О. 

б) Найдите все корни этого уравнения, nринадлежашие отрезку [-4it; -521tJ. 

РешеJШе. 

а) Преобразуем исходное уравнение: 
2cos2x- 1 --i/2'cosx+ 1 = О; 2cos2x--i/2'cosx = О; cosx·(2cosx--i/2') = О. 

Значит, или cosx = О, откуда х = + nk, k Е 7l., или cosx = iJ, откуда х = + 2пп, 

п Е 7l., или х = -+ 2пт, т Е 7l.. 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-4п; - 521tJ. 

п 
15it 7it 5it 
олучим числа: -4; -т; -т· 

Ответ: а) t + nk, k Е 7l.; + 2пп, п Е 7l.; -+ 2пт, т Е 7l.; 

б) - 15it. -7it. - 5it 
4 ' 2 ' 2 . 

2. 
а) Решите уравнение 2 i/3 sin 2 ( х + 32Jt ) + sin 2х = О. 

7п 
2 

5п 
2 

о 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие отрезку [-4п; -521tJ. 

РешеJШе. 

а) Преобразуем исходное уравнение: 
2i/3cos2x + 2sinx· cosx = О; cosx·(sinx + i/3 cosx) = О. 

15п 
4 

-41' 

Значит, cosx = О; х = + nk, k Е 7l., или sinx = -i/3 cosx; tgx = -i/3; х = -; + пп, 

n Е 7l.. 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-4п; -521tJ. 
. 11t. 10Jt. 5it 
Получим числа. -2, -3, -2. 

Ответ: а) t + nk, k Е 7l.; -; + пп, п Е 7l.; 

б) - 7it. - 10it. - 5it 
2 ' 
3 ' 2 . 

101t 
71t 
3 ..--т-...2 

\ 
\ 

5п 
2 

О\ 
\ 
\ 

-41' 

5 

З. а) Решите уравнение 4cos4 х - 4cos2 х + 1 = О. 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие отрезку [-2п; -п]. 

РешеJШе. 

а) Преобразуем исходное уравнение: 

(2cos2x - 1)2 = О; 2cos2x = 1; cos2x = -}. 

1 
1 
1t 1tn 
откуда cosx = - v'2' или cosx = у'2'' значит, х = 4 + 2, n Е Z. 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-2п; -п]. 

п 
71t 51t 
олучим числа: -4; -4. 

Ответ: а) + 112п, n Е Z; 

б) - 71t. - 51t 
4 ' 4 . 

4. а) Решите уравнение 54cosx+ : 

=О. 
tgx
511 
4 

-lt 

о 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие отрезку [-4п; -5211]. 

РешеJШе. 
{ cosx = _ _! 
5cosx+4 
5' 
а) Решим уравнение: --- = О· 
4tgx-3 
' 
3 
tgx " 4. 

-21t 

Из 
уравнения cosx = - t 
получаем, 
что 
х = 7t - aгccosf + 2пn, 
n Е Z, 
или 

х = п + aгccosf + 2пk, k Е Z. 

Пусть ip = aгccosf, тогда cosip = t и ip Е (О; ) . значит sinip = t• то есть tgip = . 

Следовательно, tg( 7t + aгccosf + 2пn) = tg( aгccosf) = tgip = i• чего быть не должно. 

Получаем решение исходного уравнения: х = п - aгccosf + 2пn, n Е Z. 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, 

принадлежащие отрезку [-4п; - 5211]. 

6 

Получим число -Зп - aгccosf. 

Ответ: а) п - aгccosf + 2пn, n Е Z; 
4 
б) -Зп - агссоs5. 

4 
-311- arccos5 

о 

511 
2 

-471 

5. а) Решите уравнение 
( 5 
) + _J_ 
_ 6 = О . 
cos2 131t _ х s1nx 

2 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие промежутку [ 32"; Зit J. 

Решение. 

а) Преобразуем исходное уравнение: + + --!---- 6 = О . Пусть t = -.-1-, тогда уравнение 

s1n х 

s1nx 
s1nx 
примет вид: 
5t2 + 7t- 6 = О; (St-З)(t+ 2) = О, откуда t = t или t = -2. 

п 
3 
. 
5 
u 
ри t = 5 получаем, что sшх = З - нет корнеи. 

При t = -2 получаем, что sinx = -t. откуда х = -% + 2itk, k Е "ll., или х = -56" + 2itn, 
nE"ll.. 

б) С помошью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [ 32" ; Зit J. 

Получим число 1". 

Ответ: а) -% + 2itk, k Е "ll.; 

б) 17t. 

511 2 
-- +  itn nE"ll.·, 
6 
' 

б. а) Решите уравнение 2tg2 х . ( 5 
") + 4 = О. 

Slll Х-2 

311 
о 

Зх 
2 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие промежутку [зit; 92"} 

Решение. 

1 !х 
6 

а) Преобразуем исходное уравнение: 2tg2 х + -5- + 4 = О; 2 -2cos2 х + _5_ + 4 = О. 
cosx 
cos2 х 
cosx 
Пусть t = cosx, тогда уравнение примет вид: 
2-2t2 +i+ 4 = О· 2t2+5t+2 
t2 
t 
' 
t2 

1 
откуда t = -2 или t = -2. 

= О; (2t + 1) (t + 2) = О, 
t2 

При t = -2 получаем, что cosx = -2 - нет корней. 

При t = -t получаем, что cosx = -t. откуда х = 23" + 2itk, 
nE"ll.. 
211 2 
kE"ll., или х = -3+ itn, 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадле
жащие отрезку [ Зit; 92"]. 

Получим число 1" . 

Ответ: а) 23" + 2itk, k Е "ll.; 

б) 17t. 

211 2 
--+ itn nE"ll.·, 
3 
' 

!Оп 
3 

9п 
2 

о 

7 

7. а) Решите уравнение 2cos(7t - х)· cos( t + х) + VЗ sinx = О . 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие промежутку [-Зit; -2it]. 

Решение. 

а) Преобразуем исходное уравнение: 

2cosx·sinx+V3sinx = О; sinx(2cosx+VЗ) = О, 

откуда sinx = О; х = itn, п Е "11., или cosx = -iJ; х = -5: + 2itk, k Е "11., или х = 5: + 2itm, 

mE"ll.. 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежашие отрезку [-Зit; -2it]. 

п 
. 3 . 
17it. 2 
олучим числа. - 7t, - -6-, 7t. 

Ответ: а) itn, п Е "11.; -5: + 2itk, k Е "11.; 56" + 2itm, т Е "11.; 

б) -Зit; - 1"; -2п. 

3tg2x-1 
8. а) Решите уравнение 
= О. 
y7cosx 

-Зit 

17п 
6 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие отрезку [ 52" 
; 4п J. 

Решение. 

а) 3tg2x-1 
= О; 
y7cosx 
{ 3tg2x- 1 = О , 
cosx > О; 
tgx =±vз, 
{ 
1 

cosx > о, 
3 

откуда х = % + 2nk, k Е "11., или х = -+ 2пп, п Е "11.. 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежашие отрезку [ 5;; 4it J. 

Получим число 2" . 

Ответ: а) + 2nk, k Е "11.; -+ 2itn, п Е "11.; 

б) 21t. 

8 

-2it 
о 

1 
у'3' 

1 
у'3' 

5п 
т 

411 

о 

9. а) Решите уравнение Bsin2x-i4sinx+5 =О. 
y-6cosx 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие отрезку [ -92"; -Зit J. 

Решение. 

а) 8sin2 х-14sinx + 5 = О; 
y-6cosx 
{ 8sin2x- 14sinx+ 5 = О, 
cosx <О, { . 
5 
s1nx = -1 
откуда или 
4 
cosx <о, 

х = 56" + 2itn, n Е "ll.. 

{ (4sinx- 5)(2sinx- 1) = О, 
cosx <О, 
{ . 
1 
SIПX = -2, 
нет корней, или 
cosx <О; 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [-92"; -37t J. 

Получим число - 1". 

Ответ: а) 56" + 2itn, п Е "ll.; 

б) - 1it. 

10. а) Решите уравнение Jl2'sin2x-cosx-Jl2' = о. 
y'-5sinx 

191' 6 
-Зit 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие отрезку [ it; 52"} 

Решение. 
а) Преобразуем исходное уравнение: 

у'2' -у'2' cos2 х -cosx -у'2' = О; cosx ( у'2' cosx + 1) = О, 
y-5sinx 
y-5sinx 
{ cosx = о, 
" 
откуда 
. 
х = -2 + 2itn, 
SIПX < 0; 

х = - 34" + 2itk, k Е "ll.. 
{ cosx = _.YI, 
n E  "ll., или 
2 
sinx <О; 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадле
жащие отрезку [ it; 52" J. 

п 
5it Зit 
олучим числа: 4; 2. 

Ответ: а) -t + 2itn, п Е "ll.; - 34" + 2itk, k Е "ll.; 

6) 5it. Зit 
4 ' 2 . 

" 

Sл 
4 

Sл 

2 

о 

91' 2 

о 

Зл 2 

9 

Задания дпя самостоятепьного решения 

1. а) Решите уравнение cos2x + sin( + х) + 1 = О. 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие отрезку [ -52"; -7t J. 

2. а) Решите уравнение 2cos2 ( 32" + х) + sin2x 
= О. 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежашие отрезку [ -Зit; -32"]. 

3. а) Решите уравнение 16cos4 х -24cos2 
х + 9 = О. 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие отрезку [2it; Зit]. 

4. а) Решите уравнение :3tgx-i= О. 
cosxб) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие отрезку [ 4it; 1 " J. 

5. а) Решите уравнение+ - ( 9 ) + 4 =О. 
Slll Х 
COS 11t+ X  
2 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие промежутку [-52"; -7t J. 

б. а) Решите уравнение 4tg'x+ ( 
1 ) 
+ 1 =О. 
sin х+ З7t 
2 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие промежутку [ 32"; Зit J. 

7. а) Решите уравнение 2sin( 32" -х) · sin(x-it) + i/2 cosx 
= О. 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие промежутку [ 52" ; 72" J. 

tg2x- 3 
8. а) Решите уравнение 
= О. 
y3sinx 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие отрезку [ -52"; -7t J. 

9. 

а) Решите уравнение бsin'x-5sinx-4 =О. 

y-2cosx 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие отрезку [ -2it; -]. 

10. а) Решите уравнение 2v'З'cos'x+ 3sinx-2v'3' =О. 
yBcosx 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие отрезку [О; 32"]. 

10