Экстремумы и касательные: сборник заданий. 10-11 классы

10–11
классы

ЭКСТРЕМУМЫ  
И КАСАТЕЛЬНЫЕ

С Б О Р Н И К  З А Д А Н И Й

Б. М. ПИСАРЕВСКИЙ

С

О

О

Т

В

Е

Т

С

Т

В

У

Е

Т

 

Т

Р

Е

Б

О

В

А

Н

И

Я

М

едерального

государственного
образовательного
стандарта

2-е  и з д а н и е,  э л е к т р о н н о е

МОСКВА 
 2020

© ООО «ВАКО», 2014
ISBN 978-5-408-05265-3

Писаревский Б.М.
Экстремумы и касательные: сборник заданий. 10–
11 классы / Б.М. Писаревский. – 2-е изд., эл. – 1 файл pdf : 
65 с. – Москва : ВАКО, 2020. – Систем. требования: Adobe 
Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10″. – Текст : 
электронный.

ISBN 978-5-408-05265-3

Основная цель издания – повысить уровень математического образования старшеклассников и дать возможность учителю остановиться на новых интересных и доступных задачах, не имеющих аналога в 
стандартных школьных пособиях. Рассматриваемые в книге вопросы 
входят в программу ЕГЭ по математике.
Пособие адресовано старшеклассникам, абитуриентам, учителям 
математики.

П34

УДК 372.851
ББК 74.262.21
 
П34

Электронное издание на основе печатного издания: Экстремумы и касательные: сборник заданий. 10–11 классы / Б.М. Писаревский. – Москва : ВАКО, 
2014. – 64 с. – ISBN 978-5-408-01714-0. – Текст : непосредственный.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты 
компенсации.

УДК 372.851
ББК 74.262.21

От автора

Книга представляет собой учебное пособие, адресованное 
старшеклассникам, абитуриентам, а также преподавателям математики профильных классов, физико-математических школ, 
лицеев и гимназий.
Рассматриваемые в книге вопросы входят в программу ЕГЭ 
по математике: в классификаторе элементов его содержания 
на 2014 год имеются пункты 4.1.3 «Уравнение касательной к графику функции» и 4.2.1 «Применение производной к исследованию функций и построению графиков». Но в отличие от потока 
литературы, адресованной выпускникам и служащей единственной цели – натаскиванию на задания ЕГЭ, в книге нет задач, аналогичных задачам из ЕГЭ и отличающихся от них числами.
Основная цель издания – повысить уровень математического 
образования выпускников и дать возможность учителю остановиться на новых интересных и доступных задачах, не имеющих 
аналога в стандартных школьных пособиях.
Часть материала, включенного в книгу, была изложена в статьях автора, опубликованных в журналах «Квант» и «Математика 
в школе» в 1997–2007 гг.
Книга состоит из пяти глав. В первой из них приведена краткая сводка основных понятий и фактов, относящихся к рассматриваемым вопросам и включаемых в школьную программу.
Во второй главе представлены дополнительные утверждения 
о рассматриваемых объектах, которые формально в школьной 
программе не излагаются, но вполне доступны учащимся выпускных классов. Этот материал может быть использован для проведения факультативных занятий.
Третья глава состоит из 60 авторских задач различного уровня 
сложности. Все эти задачи задолго до введения ЕГЭ были опробованы на вступительных экзаменах по математике в Российском 
государственном университете нефти и газа им. И.М. Губкина. 
При составлении задач выполнялось следующее требование: условия и числовые данные должны быть такими, чтобы каждая 

Экстремумы и касательные. 10–11 классы 

задача имела единственный точный десятичный ответ (связано 
с начальной компьютерной проверкой).
В четвертой главе приведены решения этих задач, а в пятой – 
ответы к ним. Подобно тому как невозможно научиться играть 
на музыкальном инструменте, только глядя на игру виртуоза-исполнителя, невозможно и научиться решать задачи, только знакомясь с чужими решениями. Поэтому абитуриенту настоятельно рекомендуется попытаться решить задачу самому. Если ответ 
совпал с приведенным в заключительной главе книги, то полезно 
сравнить собственное решение с авторским. При этом возможно, 
что собственное решение окажется лучше, изящнее. Если же несколько самостоятельных попыток окажутся неудачными, можно заглянуть в четвертую главу, закрыть ее и далее действовать 
самому.
Тем из абитуриентов, кто освоит материал, включенный 
в книгу, перечисленные в начале этого текста пункты содержания 
ЕГЭ, несомненно, будут нестрашны.

Глава 1   
ПОВТОРЕНИЕ  
ПРОЙДЕННОГО

1.1. Прямая на плоскости

Пусть на плоскости с декартовой прямоугольной системой 
координат проведена прямая, которая не параллельна оси Oy 
(рис. 1.1). Всякая такая прямая может быть задана уравнением
 
y = kx + b, 
(1.1)
где число k, называемое угловым коэффициентом прямой, имеет 
следующий геометрический смысл: k = tg α, где α – угол между 
положительным направлением оси Ox и данной прямой, отсчитываемый в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки. На рис. 1.1 этот угол острый, так что k = tg α > 0, 
на рис. 1.2 – тупой, k = tg α < 0. Поскольку при x = 0 из уравнения 
прямой получается, что y = b, то для прямой на рис. 1.1 будет b < 0, 
а для прямой на рис. 1.2, – соответственно, b > 0. При b = 0 прямая 
y = kx проходит через начало координат.
Пусть нам известны угловой коэффициент k прямой на плоскости и точка M(x0; y0), через которую эта прямая проходит. 

y

b

x
0
α

y = kx + b

y

b

x
0
α

y = kx + b

y

x
0
α1

y = k1x + b1

y = k2x + b2

α2

 Рис. 1.1
 Рис. 1.2
 Рис. 1.3

Экстремумы и касательные. 10–11 классы 

Координаты точки М удовлетворяют уравнению прямой, т. е. 
y0 = kx0 + b. Отсюда b = y0 − kx0 и подстановка найденного значения 
b в (1.1) дает: y = kx + y0 − kx0. Поэтому уравнение прямой, имеющей 
заданный угловой коэффициент k и проходящей через заданную точку 
M(x0; y0), запишется так:
 
y − y0 = k(x − x0). 
(1.2)
Пусть на плоскости с декартовой прямоугольной системой 
координат проведены две параллельные прямые y = k1x + b1 
и y = k2x + b2 (рис. 1.3). Тогда углы α1 и α2 равны между собой как 
соответственные, следовательно, tg α1 = tg α2, т. е. k1 = k2 – параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. И наоборот: если у двух прямых на плоскости угловые коэффициенты 
одинаковы, то эти прямые либо параллельны, либо совпадают.
Напомним, что если на плоскости заданы точки M(x1; y1) 
и N(x2; y2), то расстояние между этими точками определяется 
равенством

 
MN
x
x
y
y
.
2
1
2

2
1

2
(
)
(
)
=
−
+
−
 
(1.3)

1.2. Возрастание и убывание. Экстремумы

Пусть R – числовая прямая. Промежутком I назовем любое 
из следующих подмножеств R:
• интервал (a; b);
• отрезок [a; b];
• полуинтервал [a; b) или (a; b];
• луч (−∞; a), или (−∞; a], или (a; +∞), или [a; +∞);
• всю прямую R.
Пусть функция y = f (x) определена на промежутке I. Говорят, 
что эта функция:
возрастает на I, если из x1, x2 ∈ I, x1 < x2 следует, что f (x1) < f (x2);
убывает на I, если из x1, x2 ∈ I, x1 < x2 следует, что f (x1) > f (x2).
Рассмотрим функцию y = f (x), определенную на промежутке 
[a; b], график которой приведен на рис. 1.4. Тогда на промежутке 
[a; c] функция возрастает, а на промежутке [c; b]– убывает.
Достаточные условия для утверждений о возрастании и убывании заданной функции выглядят так. Если во всех точках некоторого промежутка I функция y = f (x) имеет производную f ʹ(x) 
и при этом:
f ʹ(x) > 0 для всех x ∈ I, то y = f (x) возрастает на I;
f ʹ(x)  < 0 для всех x ∈ I, то y = f (x) убывает на I.

Глава 1. Повторение пройденного  

 Рис. 1.4

y

a
c
b
x
0

y = f(x)

Рис. 1.4

При произвольном δ > 0 интервал (x0 − δ; x0 + δ) называется 
δ-окрестностью точки x0 и обозначается Uδ(x0).
Точка x0 из области определения функции y = f (x) называется 
точкой максимума, если существует такое δ > 0, что f (x0) > f (x) 
для всех x ∈ Uδ(x0).
Точка x0 из области определения функции y = f (x) называется 
точкой минимума, если существует такое δ > 0, что f (x0) < f (x) для 
всех x ∈ Uδ(x0).
Точки максимума и точки минимума функции y = f (x) объединяют названием точки экстремума.
Точка x0 из области определения функции y = f (x) называется 
критической, если в этой точке производная функции существует 
и обращается в ноль, т. е. f ′(x) = 0.
Необходимое условие существования экстремума у функции 
y = f (x) в точке x0 из области ее определения, если в этой точке 
производная функции существует, состоит в том, что точка x0 
должна быть критической, т. е. f ′(x0) = 0.
При условии, что x0 – критическая точка функции y = f (x), 
достаточное условие достижения экстремума в этой точке выглядит так: экстремум достигается, если найдется такое δ > 0, что 
при x ∈ Uδ(x0), x > x0 и при x ∈ Uδ(x0), x < x0 производная f ′(x) имеет 
разные знаки. Это будет точка максимума, если f ′(x) > 0 при x < x0 
и f ′(x) < 0 при x > x0. Это будет точка минимума, если f ′(x) < 0 при 
x < x0 и f ′(x) > 0 при x > x0.

1.3. Касательная к кривой.  
Направление выпуклости и точки перегиба

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности 
точки x0 и имеет в этой точке производную. Рассмотрим точку M(x0; f (x0)), лежащую на графике функции, и другую точку 
N(x1; f (x1)) на этом графике (рис. 1.5), при этом абсцисса x1  может