Поурочные разработки по алгебре и началам анализа. 11 класс : пособие для учителя

В ПОМОЩЬ ШКОЛЬНОМУ УЧИТЕЛЮ




ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ
ПО АЛГЕБРЕ
  И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
     к УМК А.Н. Колмогорова и др.
(М.: Просвещение)

     ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

3-е издание, электронное


11

класс

МОСКВА

2020

УДК 337:167.1:51
ББК 74.262.21
      Р87







     Рурукин А.Н.
Р87 Поурочные разработки по алгебре и началам анализа. 11 класс : пособие для учителя / А.Н. Рурукин, Е.В. Бров-кова, Г.В. Лупенко, Т.А. Пыжова. — 3-е изд., эл. — 1 файл pdf : 336 с. — Москва : ВАКО, 2020. — (В помощь школьному учителю). — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный.
         ISBN 978-5-408-05103-8
         Издание представляет собой подробные поурочные разработки по алгебре и началам анализа для 11 класса к УМК А.Н. Колмогорова и др. (М.: Просвещение) и содержит все, что необходимо педагогу для качественной подготовки к урокам: подробные поурочные планы, методические советы и рекомендации, творческие задания, тесты, подробный разбор контрольных и зачетных работ. Предлагаемый материал достаточен для проведения полноценных уроков в классах и группах различного уровня, позволяет не только глубоко изучить программу 11 класса по предмету, но и целенаправленно подготовить учащихся к сдаче экзаменов.
         Пособие будет полезно как начинающим педагогам, так и преподавателям со стажем.
УДК 337:167.1:51
ББК 74.262.21



Электронное издание на основе печатного издания: Поурочные разработки по алгебре и началам анализа. 11 класс : пособие для учителя / А.Н. Рурукин, Е.В. Бровкова, Г.В. Лупенко, Т.А. Пыжова. — 2-е изд. — Москва : ВАКО, 2017. — 336 с. — (В помощь школьному учителю). — ISBN 978-5-408-02985-3. — Текст : непосредственный.




В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.


ISBN 978-5-408-05103-8

© ООО «ВАКО», 2014

                Предисловие





  В 11 классе школьники продолжают изучать новый раздел математики - начала математического анализа. Этот раздел характеризуется своеобразными логикой, подходами, методикой. Поэтому очень важно сразу заложить грамотное понимание основ высшей математики. Помимо подготовки к экзамену такое понимание будет способствовать усвоению высшей математики в вузе. Также в этом классе продолжается изучение алгебры - детально рассматриваются функции, уравнения и неравенства. Такой материал крайне необходим при изучении точных наук в вузе.
  11 класс необходимо рассматривать как целенаправленную подготовку к сдаче ЕГЭ, так как варианты этого экзамена содержат значительное количество задач, содержащих изучаемый материал.
  Поэтому данное пособие преследует три цели: изучить материал по алгебре и началам анализа для 11 класса, подготовиться по этим разделам к успешной сдаче ЕГЭ и быть готовым использовать полученные знания при обучении в вузе. Пособие составлено для учебника А.Н. Колмогорова, А.М. Абрамова и др. (М.: Просвещение). Нумерация задач в поурочном планировании дана для этого учебника.
  В пособии подробно рассмотрено содержание каждого урока. Несколько расширен изучаемый материал: более детально изучены способы интегрирования функций и применения интегралов в математике и физике; рассмотрены дополнительные типы показательных и логарифмических уравнений и неравенств, построение более сложных графиков функций.
  Такое расширение материала вполне доступно для одиннадцатиклассников, развивает их интерес к изучению предмета и дает более цельное представление об изучаемых темах. Кроме того, приведенные дополнения подготавливают школьников к успешной сдаче ЕГЭ и дальнейшему эффективному обучению в вузе.
  Предусмотрены два вида фронтального контроля успеваемости: контрольные работы и зачетные работы.
  Контрольные работы имеют три степени сложности. Выбор степени сложности определяется учителем или учеником. При этом за решение более сложной контрольной работы ученик поощряется дополнительным баллом к оценке. В контрольной работе всегда на одну задачу больше, чем необходимо для получения высшей оценки. Наличие лишней задачи подразумевает некоторую свободу выбора у учащихся. В пособии приведены семь контрольных работ.
  Зачетные работы приведены для коррекции результатов контрольных работ. Задачи работы разбиты на три блока по степени

Предисловие

сложности и оцениваются разным количеством баллов. Необходимое для получения оценки количество задач может быть набрано из разных блоков. Даже для получения высшей оценки необходимо решить не более половины задач варианта. Поэтому у учащихся имеется значительная свобода выбора в решении задач. Между контрольной и зачетной работами предусмотрено несколько уроков для коррекции знаний учащихся. Приведены две зачетные работы по темам.
  В конце обучения проводится итоговая контрольная работа, в которой проверяются навыки и умения учащихся по основным (базовым) темам.
  Все контрольные и зачетные работы приведены с полным разбором всех задач всех вариантов. Этот разбор предусмотрен для размещения решений на стенде, так как разобрать все задачи на уроке невозможно, да и нецелесообразно.
  Математические диктанты в пособии не предусмотрены, так как, на наш взгляд, малоэффективны при обучении, но отнимают значительное время от уроков.
  В целом пособие составлено таким образом, чтобы оптимизировать подготовку учителя к уроку и сэкономить его время.

                Рекомендации к проведению уроков




  Весь изложенный материал носит исключительно рекомендательный характер. Определяющими факторами являются подготовленность класса, его работоспособность, интерес к изучению алгебры. Поэтому ни одно планирование не может быть догмой. Весь ход урока должен способствовать обучению школьников. На наш взгляд, лучше пусть каждый отдельный школьник хорошо усвоит тот материал, который в состоянии понять, чем не поймет ничего. В последнем случае ситуация принимает лавинообразный характер: у учащихся возникает комплекс неполноценности, к выполнению домашнего задания привлекаются все домочадцы, возникают списывание, подсказки, шпаргалки и т. д. В итоге результаты ужасающие - ЕГЭ по математике сдается школьниками хуже всех других предметов (примерно 20% выпускников пишут его на двойку).
  Другая причина, по которой нельзя создать универсальное пособие, -наличие нескольких различных вариантов обучения (с соответствующим тематическим планированием и различным количеством часов на обучение). При этом некоторые варианты обучения предусматривают использование дополнительных учебных пособий.
  В связи с этим данное пособие позволяет проводить занятия с использованием только одного базового учебника (102 часа в год). Содержание уроков является избыточным (в расчете на очень сильный, подготовленный класс). При необходимости часть материала опускается либо излагается поверхностно. При подробном, детальном изложении материала его вполне хватает на максимальный вариант (136 часов в год). Учитывая сложность материала, проведение контрольных работ и тематических зачетов желательно иметь в расписании сдвоенные уроки математики.

  Поурочное планирование включает в себя четыре вида занятий:
  1. Урок на изучение нового материала.
  2. Урок на отработку и закрепление пройденного материала.
  3. Контрольная работа.
  4. Тематический зачет.
  Рассмотрим эти виды занятий.
  1. Урок на изучение нового материала включает в себя семь этапов.
  I.  Сообщение темы и цели занятий делает учитель (~1-2 минуты). Необходимо донести до учащихся необходимость изучения данной темы (области применения этих знаний) и цель урока (на

Рекомендации к проведению уроков

выки и приемы, которые должны быть усвоены в ходе проведения урока).
  II.  Изучение нового материала (основные понятия) (~15 минут) возможно двумя путями.
  1.  С помощью подсказок, примеров и наводящих вопросов учителя школьники самостоятельно (при фронтальной работе) приходят к формулировке основных понятий и правил рассматриваемого раздела алгебры. Затем учитель уточняет и корректирует эти результаты. Однако, учитывая, что многие понятия для учащихся незнакомы, такой путь можно рекомендовать лишь для самых простых тем либо отдельных фрагментов урока.
  2.  Учитель формулирует основные понятия и правила, иллюстрируя их примерами. Такой подход требует меньше времени, но менее эффективен (всегда полезнее самостоятельно решить задачу, чем услышать объяснение ее решения).
  III. Контрольные вопросы по изучаемому материалу задает учитель для проверки усвоения и понимания возникающих понятий, терминов и т. д. (~5 минут). Вопросы могут задаваться как индивидуально, так и фронтально. Следует обратить внимание именно на понимание понятий, а не на их механическое запоминание. Для этого рекомендуется кроме определения попросить учащегося привести соответствующие примеры. В случае затруднения такие примеры могут привести другие школьники или учитель.
  IV.  Задание на уроке дает учитель из числа наиболее характерных, типовых задач (~15 минут). Задание может выполняться:
  1.  Самостоятельно учащимися всего класса в тетрадях с последующим разбором кем-то из школьников (например, первым выполнившим задание) у доски. При этом желательна активная работа всех учащихся: поиск ошибок в решении на доске, вопросы по решению, другие способы решения и т. д.
  2.  В виде диалога учащихся на одной парте: решение задания, обмен тетрадями и взаимная проверка решения.
  3.  В виде работы у доски одного или нескольких школьников. После выполнения задания возможен как взаимоконтроль учащихся у доски, так и подключение к проверке решения всего класса. Разумеется, при этом будет происходить и диалог учителя с отвечающим у доски.
  V.   Задание на дом дается учителем из числа типовых, характерных задач, аналогичных рассмотренным в классе. Задание должно быть рассчитано на 60-80 минут. Если возможно, то желательно, чтобы учащимися были рассмотрены разные способы решения за

Рекомендации к проведению уроков

7

дачи. Это приводит к активизации мышления школьников, творческому пониманию материала и т. д.
  При выполнении домашнего задания необходимо приучить школьников фиксировать непонятый материал: теоретические сведения, нерешенные задачи и т. д. Полезно научить школьников формулировать, что именно им непонятно. Четко сформулированный вопрос - это половина ответа на этот вопрос. Особенно такие навыки понадобятся учащимся при обучении в вузе. Разумеется, все возникающие вопросы и нерешенные задачи необходимо разобрать на ближайшем занятии по математике.
  VI.  Во многих уроках предусмотрены творческие задания. Эти задания отличаются от приводимых в учебнике или большей сложностью, или нестандартностью формулировки задания, или новым способом решения. Поэтому рассмотрение подобных заданий очень полезно. В зависимости от подготовленности класса эти задания могут быть рассмотрены:
  1)  на внеклассных занятиях (дополнительные занятия, кружки, факультативы и т. д.);
  2)  со всеми учащимися как в качестве задания в классе, так и в качестве домашнего задания;
  3)  дифференцированно с наиболее подготовленными школьниками на уроке или в виде домашнего задания;
  4)  во время проведения математических боев, олимпиад, недель математики и т. д.
  Творческие задания выполняются в пределах отведенного времени на урок.
  VII. Подведение итогов урока (~1-2 минуты) проводится учителем с учетом самостоятельной работы школьников, ответов у доски, отдельных дополнений, вопросов, комментариев учащихся. За все эти виды деятельности выставляются оценки с их кратким обоснованием.
  2.  Урок на отработку и закрепление пройденного материала отличается этапом II. Теперь на этом этапе предусмотрено повторение и закрепление пройденного материала (~20 минут). Прежде всего оно включает ответы на вопросы по домашнему заданию. Желательно, чтобы такие ответы давались самими учащимися. Вопросы могут включать в себя непонятые понятия, определения, термины и другой теоретический материал. По-видимому, возникнет и необходимость разбора нерешенных задач.
  В этой части урока желательна максимальная активность всего класса. Школьник, объясняя и комментируя свое решение задачи, лучше усваивает изучаемый материал. Кроме того, его объясне

Рекомендации к проведению уроков

ния могут оказаться более удобными для понимания ровесниками, чем объяснения учителя. Ориентировочное время на такую стадию этапа II ~ 5-10 минут.
  На второй стадии этого этапа предусмотрен контроль усвоения материала (письменный опрос или самостоятельная работа), на который отводится ~ 10-15 минут.
  Письменный опрос содержит теоретический вопрос и 1-2 задачи, аналогичные заданию в классе и домашнему заданию. При проверке ответа на теоретический вопрос следует в первую очередь обращать внимание на его понимание, а не на строгость и четкость формулировок (тем более что строгие формулировки некоторых понятий будут даны только в вузе).
  Самостоятельная работа включает 2-3 типовые, характерные задачи.
  В материалах уроков тесты используются в небольшом количестве для наиболее простых тем. Это связано с тем, что тестирование не позволяет выявить причину ошибки: непонимание темы, невнимательность, пробелы в предыдущем материале, арифметические ошибки и т. д.
  3.  По каждой изучаемой теме приводятся несколько контрольных работ. Они составлены в шести вариантах различной сложности (варианты 1, 2 - самые простые, варианты 3, 4 - сложнее, 5, 6 - самые сложные). Каждый вариант содержит шесть задач, из которых две последние чуть сложнее предыдущих. Как правило, задачи вариантов подобны задачам, решаемым в классе и дома. Выбор вариантов может быть сделан или самими учащимися (с учетом их самооценки), или учителем (с учетом успехов школьника).
  Оценка контрольной работы может быть выполнена следующим образом: в вариантах 1, 2 за любые пять решенных задач ставится оценка «5», за четыре задачи - оценка «4», за три задачи - оценка «3». Шестая задача дает учащимся некоторую свободу выбора и определенный резерв. При таких же критериях за решение заданий вариантов 3, 4 добавляется 0,5 балла; заданий вариантов 5, 6 - добавляется 1,0 балла (учитывая большую сложность их заданий).
  Контрольная работа рассчитана на два урока (на наш взгляд, это оптимальное время на написание работы). Изучаемый в 11 классе материал достаточно сложен. Предлагаемые задачи требуют раздумья и времени. Поэтому одного урока на проведение контрольной работы недостаточно. При необходимости за счет уменьшения количества задач или за счет некоторого либерализма при проверке контрольная работа может быть проведена и за один урок.

Рекомендации к проведению уроков

9

  После каждой контрольной работы проводится ее анализ и разбор наиболее сложных задач. Ко всем заданиям вариантов 1-4 приведены ответы, задания вариантов 5, 6 разобраны. Полезно после контрольной работы вывешивать на стенде в классе разбор заданий всех вариантов. Заметим, что за счет дифференциации самих вариантов и заданий в них возможна некоторая необъективность оценок за контрольную работу.
  4.  Чтобы устранить подобную необъективность, дать возможность учащимся повысить оценки, а также еще раз повторить и закрепить пройденную тему, на последнем занятии проводится письменный тематический зачет. Ему предшествует урок на повторение данной темы.
  Тематический зачет составлен в двух равноценных вариантах. Задания каждого варианта разделяются по сложности на три блока (блок A - самые простые задачи, блок B - более сложные и блок C -самые сложные задачи). Каждая задача из блока A оценивается в 1 балл, из блока B - в 2 балла, из блока C - в 3 балла. Поэтому за правильное решение всех задач блока A можно получить 7 баллов, блока B -8 баллов и блока C - 9 баллов (всего 24 балла). Оценка «3» ставится за 6 баллов, оценка «4» - за 10 баллов, оценка «5» - за 14 баллов.

                Тематическое планирование учебного материала





  III. Первообразная и интеграл (25 ч)
  § 7. Первообразная (10 ч)
      Определение первообразной (2 ч)
      Основное свойство первообразной (2 ч)
      Три правила нахождения первообразной (4 ч)
      Контрольная работа № 1 (2 ч)
  § 8. Интеграл (15 ч)
      Площадь криволинейной трапеции (3 ч)
      Интеграл. Формула Ньютона - Лейбница (4 ч)
      Применение интеграла (6 ч)
      Контрольная работа № 2 (2 ч)

  IV. Показательная и логарифмическая функции (42 ч)
  § 9. Обобщение понятия степени (11 ч)
      Корень n-й степени и его свойства (3 ч)
      Иррациональные уравнения и неравенства (4 ч)
      Степень с рациональным показателем (2 ч)
      Контрольная работа № 3 (2 ч)
  § 10. Показательная и логарифмическая функции (20 ч) Показательная функция (1 ч)
      Решение показательных уравнений и неравенств (6 ч)
      Логарифмы и их свойства (3 ч)
      Логарифмическая функция (1 ч)
      Решение логарифмических уравнений и неравенств (6 ч)
      Понятие об обратной функции (1 ч)
      Контрольная работа № 4 (2 ч)
  § 11.  Производная и первообразная показательной и логарифмической функций (11 ч)
      Производная показательной функции (2 ч)
      Первообразная показательной функции (3 ч)
      Производная логарифмической функции (1 ч)

      Первообразная функции у =— (1 ч)

      Степенная функция (1 ч)
      Понятие о дифференциальных уравнениях (1 ч)
      Контрольная работа № 5 (2 ч)