Поурочные разработки по алгебре и началам анализа. 10 класс : пособие для учителя

В ПОМОЩЬ ШКОЛЬНОМУ УЧИТЕЛЮ



А. Н. РУРУКИН


ПОУРОЧНЫЕ РАЗРАБОТКИ
ПО АЛГЕБРЕ
  И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА
     к УМК А.Н. Колмогорова и др.
(М.: Просвещение)

     ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ

2-е издание, электронное


10 класс


МОСКВА

2020

УДК 337:167.1:51
ББК 74.262.21
      Р87







        Рурукин А.Н.

Р87 Поурочные разработки по алгебре и началам анализа. 10 класс : пособие для учителя / А.Н. Рурукин. — 2-е изд., эл. - 1 файл pdf : 352 с. - Москва : ВАкО, 2020. - (В помощь школьному учителю). — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". - Текст : электронный.
         ISBN 978-5-408-05102-1
         Издание представляет собой подробные поурочные разработки по алгебре и началам анализа для 10 класса к УМК А.Н. Колмогорова и др. (М.: Просвещение) и содержит все, что необходимо педагогу для качественной подготовки к урокам: подробные поурочные планы, методические советы и рекомендации, творческие задания, тесты, подробный разбор контрольных и зачетных работ. Предлагаемый материал достаточен для проведения полноценных уроков в классах и группах различного уровня, позволяет не только глубоко изучить программу 10 класса по предмету, но и целенаправленно подготовиться к сдаче экзамена (по задачам трех групп сложности).
         Пособие будет полезно как начинающим педагогам, так и преподавателям со стажем.
УДК 337:167.1:51
ББК 74.262.21



Электронное издание на основе печатного издания: Поурочные разработки по алгебре и началам анализа. 10 класс : пособие для учителя / А.Н. Руру-кин. - Москва : ВАКО, 2016. - 352 с. - (В помощь школьному учителю). -ISBN 978-5-408-02413-1. - Текст : непосредственный.





В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.


ISBN 978-5-408-05102-1

© ООО «ВАКО», 2016

                Предисловие





  В 10 классе школьники начинают изучать новый раздел математики - начала математического анализа. Этот раздел характеризуется своеобразными логикой, подходами, методикой. Поэтому очень важно сразу заложить грамотное понимание основ высшей математики. Помимо подготовки к экзамену такое понимание будет способствовать освоению высшей математики в вузе. Также в этом классе продолжается изучение алгебры: детально рассматриваются тригонометрические функции, уравнения и неравенства. Такой материал крайне необходим при изучении точных наук в вузе.
  10 класс необходимо рассматривать как целенаправленную подготовку к сдаче ЕГЭ, так как варианты этого экзамена содержат значительное количество задач, содержащих изучаемый материал.
  Поэтому данное пособие преследует три цели: изучить материал по алгебре и началам анализа для 10 класса, подготовиться по этим разделам к успешной сдаче ЕГЭ и быть готовым использовать полученные знания при обучении в вузе. Пособие составлено для учебника А.Н. Колмогорова, А.М. Абрамова и др. (М.: Просвещение). Нумерация задач в поурочном планировании дана для этого учебника.
  В пособии подробно рассмотрено содержание каждого урока. Несколько расширен изучаемый материал: более детально повторены основные тригонометрические формулы и их применение; даны дополнительные типы тригонометрических уравнений и неравенств, построение более сложных графиков; расширены представления о пределе функции, использовании производной в алгебраических, геометрических и физических задачах. Такое расширение материала вполне доступно для десятиклассников, развивает их интерес к изучению предмета и дает более цельное представление об изучаемых темах. Кроме того, приведенные дополнения подготавливают школьников к успешной сдаче ЕГЭ и дальнейшему эффективному обучению в вузе.
  Предусмотрены два вида фронтального контроля успеваемости: контрольные работы и зачетные работы. Контрольные работы имеют три степени сложности. Выбор степени сложности определяется или учителем, или учеником. При этом за решение более сложной контрольной работы ученик поощряется дополнительным баллом к оценке. В контрольной работе приводится на одну задачу больше, чем необходимо для получения высшей оценки. Наличие лишней задачи подразумевает некоторую свободу выбора у учащихся. В пособии приведены 7 контрольных работ.
  Зачетные работы приведены для коррекции результатов контрольных работ. Задачи работы разбиты на три блока по степени сложно

Предисловие

сти и оцениваются разным количеством баллов. Необходимое для получения оценки количество задач может быть набрано из разных блоков. Даже для получения высшей оценки нужно решить не более половины задач варианта. Поэтому у учащихся имеется значительная свобода выбора в решении задач. Между контрольной и зачетной работой предусмотрено несколько уроков для коррекции знаний учащихся. Приведены 2 зачетные работы по темам.
  В конце обучения предусмотрена итоговая контрольная работа, в которой проверяются навыки и умения учащихся по основным (базовым) темам.
  Все контрольные и зачетные работы даны с полным разбором всех задач всех вариантов. Решения лучше размещать на стенде, так как разобрать все задачи на уроке невозможно, да и нецелесообразно.
  Математические диктанты в пособии не предусмотрены, так как, на наш взгляд, они малоэффективны при обучении, но отнимают значительное время от уроков.
  В целом пособие составлено таким образом, чтобы оптимизировать подготовку учителя к уроку и сэкономить его время.

                Рекомендации к проведению уроков




  Разумеется, все изложенное носит исключительно рекомендательный характер. Определяющими факторами являются подготовленность класса, его работоспособность, интерес к изучению алгебры. Поэтому ни одно планирование не может являться догмой. Весь ход урока должен способствовать обучению школьников. На наш взгляд, пусть каждый отдельный школьник лучше усвоит тот материал, который в состоянии понять, чем не поймет ничего. В последнем случае ситуация принимает лавинообразный характер: у учащихся возникает комплекс неполноценности, к выполнению домашнего задания привлекаются все домочадцы, возникают списывание, подсказки, шпаргалки и т. д. В итоге результаты ужасающие - ЕГЭ по математике сдается школьниками хуже всех других предметов (примерно 20% выпускников пишут его на «двойку»).
  Другая причина, по которой нельзя создать универсальное пособие, - наличие нескольких различных вариантов обучения (с соответствующим тематическим планированием и различным количеством часов на обучение). При этом некоторые варианты обучения предусматривают использование дополнительных учебных пособий.
  В связи с этим данное пособие позволяет проводить занятия с использованием только одного базового учебника (102 часа в год). Содержание уроков является избыточным (в расчете на очень сильный, подготовленный класс). При необходимости часть материала опускается либо излагается достаточно поверхностно. При подробном, детальном изложении материала его вполне хватает на максимальный вариант (136 часов в год). Учитывая сложность материала, проведение контрольных работ и тематических зачетов, желательно иметь в расписании сдвоенные уроки математики.

  Поурочное планирование включает в себя четыре вида занятий:
  1. Урок на изучение нового материала.
  2. Урок на отработку и закрепление пройденного материала.
  3. Контрольная работа.
  4. Тематический зачет.
  Рассмотрим эти виды занятий.
  Урок на изучение нового материала включает в себя семь этапов.
  I.  Сообщение темы и цели занятий делает учитель (~1-2 минуты). Требуется донести до учащихся необходимость изучения дан

Рекомендации к проведению уроков

ной темы (области применения этих знаний) и цель урока (навыки и приемы, которые должны быть усвоены в ходе проведения урока).
  II. Изучение нового материала (основные понятия) (~15 минут) возможно двумя путями.
  1.  С помощью подсказок, примеров и наводящих вопросов учителя школьники самостоятельно (при фронтальной работе) приходят к формулировке основных понятий и правил рассматриваемого раздела алгебры. Затем учитель уточняет и корректирует эти результаты. Однако, учитывая, что изучение анализа начинается именно в 10 классе и все понятия для учащихся незнакомы, такой путь можно рекомендовать лишь для самых простых тем либо отдельных фрагментов урока.
  2.  Учитель формулирует основные понятия и правила, иллюстрируя их примерами. Такой подход требует меньше времени, но менее эффективен (всегда полезнее самостоятельно решить задачу, чем услышать объяснение ее решения).
  III. Контрольные вопросы по изучаемому материалу задает учитель для проверки усвоения и понимания возникающих понятий, терминов и т. д. (~5 минут). Вопросы могут задаваться как индивидуально, так и фронтально. Следует обратить внимание именно на понимание понятий, а не на их механическое запоминание. Для этого рекомендуется кроме определения попросить учащегося привести соответствующие примеры. В случае затруднения такие примеры могут привести другие школьники или учитель.
  IV.  Задание на уроке дает учитель из числа наиболее характерных, типовых задач (~15 минут). Задание может выполняться:
  1.  Самостоятельно учащимися всего класса в тетрадях с последующим разбором кем-то из школьников (например, первым выполнившим задание) у доски. При этом желательна активная работа всех учащихся: поиск ошибок в решении на доске, вопросы по решению, другие способы решения и т. д.
  2.  В виде диалога учащихся на одной парте: решение задания, обмен тетрадями и взаимная проверка решения.
  3.  В виде работы у доски одного или нескольких школьников. После выполнения задания возможен как взаимоконтроль учащихся у доски, так и подключение к проверке решения всего класса. Разумеется, при этом будет происходить и диалог учителя с отвечающим у доски.
  V.   Задание на дом дается учителем из числа типовых задач, аналогичных рассмотренным в классе. Задание должно быть рассчитано на 60-80 минут. Если возможно, то желательно, чтобы учащимися были рассмотрены разные способы решения задачи. Это при

Рекомендации к проведению уроков

7

водит к активизации мышления школьников, творческому пониманию материала и т. д.
  При выполнении домашнего задания необходимо приучить школьников фиксировать непонятый материал: теоретические сведения, нерешенные задачи и т. д. Полезно научить школьников формулировать, что именно им не понятно. Четко сформулированный вопрос - это половина ответа на этот вопрос. Особенно такие навыки понадобятся учащимся при обучении в вузе. Разумеется, все возникающие вопросы и нерешенные задачи необходимо разобрать на ближайшем занятии по математике.
  VI.  Во многих уроках предусмотрены творческие задания. Эти задания отличаются от приводимых в учебнике или большей сложностью или новым способом решения. Поэтому рассмотрение подобных заданий очень полезно. В зависимости от подготовленности класса эти задания могут быть рассмотрены:
  1)  на внеклассных занятиях (дополнительные занятия, кружки, факультативы и т. д.);
  2)  со всеми учащимися как в качестве задания в классе, так и в качестве домашнего задания;
  3)  дифференцированно с наиболее подготовленными школьниками или на уроке, или в виде домашнего задания;
  4)  во время проведения математических боев, олимпиад, недель математики и т. д.
  VII. Подведение итогов урока (~1-2 минуты) проводится учителем с учетом самостоятельной работы школьников, ответов у доски, отдельных дополнений, вопросов, комментариев учащихся. За все эти виды деятельности выставляются оценки с их кратким обоснованием.
  Урок на отработку и закрепление пройденного материала отличается этапом II. Теперь на этом этапе предусмотрено повторение и закрепление пройденного материала (~20 минут). Прежде всего, оно включает ответы на вопросы по домашнему заданию. Желательно, чтобы такие ответы давались самими учащимися класса. Вопросы могут включать в себя непонятые понятия, определения, термины и другой теоретический материал. По-видимому, возникнет и необходимость разбора нерешенных задач.
  В этой части урока желательна максимальная активность всего класса. Школьник, объясняя и комментируя свое решение задачи, лучше усваивает изучаемый материал. Кроме того, его объяснения могут оказаться более удобными для понимания ровесниками, чем объяснения учителя. Ориентировочное время на такую стадию этапа II ~ 5-10 минут.

Рекомендации к проведению уроков

  На второй стадии этого этапа предусмотрен контроль усвоения материала (письменный опрос или самостоятельная работа), на который отводится ~ 10-15 минут.
  Письменный опрос содержит теоретический вопрос и 1-2 задачи, аналогичные заданию в классе и домашнему заданию. При проверке ответа на теоретический вопрос следует в первую очередь обращать внимание на его понимание, а не на строгость и четкость формулировок (тем более, что строгие формулировки некоторых понятий будут даны только в вузе).
  Самостоятельная работа включает 2-3 типовых, характерных задачи.
  В материалах уроков тесты используются в небольшом количестве для наиболее простых тем. Это связано с тем, что тестирование не дает возможности выявить причину ошибки: непонимание темы, невнимательность, пробелы в предыдущем материале, арифметические ошибки и т. д.
  По каждой изучаемой теме приводятся несколько контрольных работ. Они составлены в шести вариантах различной сложности (варианты 1, 2 - самые простые, варианты 3, 4 - сложнее, 5, 6 - самые сложные). Вариант содержит 6 задач, из которых две последние чуть сложнее предыдущих. Как правило, задачи вариантов подобны задачам, решаемым в классе и дома. Выбор вариантов может быть сделан или самими учащимися (с учетом их самооценки), или учителем (с учетом успехов школьника).
  Оцениваться контрольная работа может следующим образом: в вариантах 1, 2 за любые пять решенных задач ставится оценка «5», за четыре задачи - оценка «4», за три задачи - оценка «3». Шестая задача дает учащимся некоторую свободу выбора и определенный резерв. При таких же критериях за решение заданий вариантов 3, 4 добавляется 0,5 балла; заданий вариантов 5, 6 - добавляется 1 балл (учитывая большую сложность их заданий).
  Контрольная работа рассчитана на два урока (на наш взгляд, это оптимальное время на написание работы). Изучаемый в 10 классе материал достаточно сложен. Для решения предлагаемых задач требуется время на размышление. Поэтому одного урока на проведение контрольной работы не достаточно. При необходимости за счет уменьшения количества задач или за счет некоторого либерализма при проверке контрольная работа может быть проведена и за один урок.
  После каждой контрольной работы проводится ее анализ и разбор наиболее сложных задач. Ко всем заданиям вариантов 1-4 приведены ответы, задания вариантов 5, 6 разобраны. Полезно после кон

Рекомендации к проведению уроков

9

трольной работы вывешивать на стенде в классе разбор заданий всех вариантов. Заметим, что за счет дифференциации самих вариантов и заданий в них возможна некоторая необъективность оценок за контрольную работу.
  Чтобы устранить подобную необъективность, дать возможность повышения оценок у учащихся, еще раз повторить и закрепить пройденную тему, на последнем занятии проводится письменный тематический зачет. Ему предшествует урок на повторение данной темы.
  Тематический зачет составлен в двух равноценных вариантах. Задания каждого варианта разделяются по сложности на три группы (группа A - самые простые задачи, группа B - более сложные задачи и группа C - самые сложные задачи). Каждая задача из A оценивается в 1 балл, из B - в 2 балла, из C - в 3 балла. Поэтому за правильное решение всех задач блока A можно получить 7 баллов, блока B - 8 баллов и блока C - 9 баллов (всего 24 балла). Оценка «3» ставится за 6 баллов, оценка «4» - за 10 баллов, оценка «5» - за 14 баллов.
  Заметим, что по тематическому планированию (см. далее) материал I и IV разделов в значительной степени перекликается и достаточно искусственно распределен между этими разделами. Поэтому первые 17 уроков пособия изложены исходя из логики данной темы.

                Тематическое планирование учебного материала




  I вариант: 2 часа в 1-м полугодии, 3 часа во 2-м полугодии, всего 86 часов.
  II вариант: 3 часа, всего 102 часов.
  III вариант: 4 часа, всего 136 часов.
  I. Тригонометрические функции любого угла (I вариант - 6 ч,
II вариант - 6 ч, III вариант - 7 ч)
  Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса (2 ч; 2 ч; 2 ч)
  Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса (2 ч; 2 ч; 3 ч)
  Радианная мера угла (2 ч; 2 ч; 2 ч)
  II. Основные тригонометрические формулы (8 ч; 9 ч; 10 ч)
  Соотношения между тригонометрическими функция одного и того же угла (2 ч; 2 ч; 3 ч)
  Применение основных тригонометрических формул к преобразованию выражений (3 ч; 4 ч; 3 ч)
  Формулы приведения (2 ч; 2 ч; 3 ч)
  Контрольная работа № 1 (1 ч; 1 ч; 1 ч)
  III. Формулы сложения и их следствия (6 ч; 7 ч; 8 ч)
  Формулы сложения. Формулы двойного угла (6 ч; 7 ч; 8 ч)
  Формулы суммы и разности тригонометрических функций (2 ч; 3 ч; 3 ч)
  IV. Тригонометрические функции числового аргумента (5 ч; 6 ч;
8 ч)
  Синус, косинус, тангенс и котангенс (2 ч; 2 ч; 3 ч) Тригонометрические функции и их графики (2 ч; 3 ч; 4 ч) Контрольная работа № 2 (1 ч; 1 ч; 1 ч)
  V.  Основные свойства функций (12 ч; 13 ч; 16 ч)
  Функции и их графики (2 ч; 2 ч; 3 ч)
  Четные и нечетные функции. Периодичность тригонометрических функций (2ч; 2 ч; 3 ч)
  Возрастание и убывание функций. Экстремумы (2 ч; 2 ч; 3 ч)
  Исследование функций (3 ч; 4 ч; 3 ч)
  Свойства тригонометрических функций. Гармонические колебания (2 ч; 2 ч; 3 ч)
  Контрольная работа № 3 (1 ч; 1 ч; 1 ч)
  VI.   Решение тригонометрических уравнений и неравенств (11 ч; 13 ч; 13 ч)
  Арксинус, арккосинус и арктангенс (2 ч; 2 ч; 3 ч)
  Решение простейших тригонометрических уравнений (2 ч; 3 ч; 2 ч)
  Решение простейших тригонометрических неравенств (2 ч; 2 ч; 2 ч)