Математика. Дополнительные вступительные испытания в вуз. Сборник вариантов с решениями

Москва
Лаборатория знаний
2021

Математика

Р. Л. Красновский

Дополнительные 

Электронное издание

вступительные 
испытания в вуз

ССборни
ник 
к вариа
иантов

с решениям
ниями

УДК 373.167.1:51
ББК 22.141я729+22.151.0я729

К78

Красновский Р. Л.

К78
Математика.
Дополнительные
вступительные
испытания в вуз. Сборник вариантов с решениями /
Р. Л. Красновский. — Электрон.
изд. — М.
:
Лаборатория
знаний,
2021. — 226 с. — Систем.
требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-936-7
Представлены
задачи
по
всему
курсу
математики
(от
тождественных преобразований алгебраических выражений
до
стереометрии).
Уникальность
сборника
состоит
в
том,
что, несмотря
на
относительную
краткость, он
позволяет
абитуриенту провести всестороннюю подготовку к вступительному экзамену. Задачи сборника разделены на 14 вариантов,
каждый из которых представляет собой законченную с точки
зрения
проверки
знаний
по
курсу
математики
экзаменационную работу. Рассматриваемые варианты соответствуют
уровню
вступительных
экзаменов
в
престижные
техникоэкономические вузы.
Для старшеклассников, абитуриентов, учителей математики и репетиторов.
УДК 373.167.1:51
ББК 22.141я729+22.151.0я729

Деривативное издание на основе печатного аналога: Математика. Дополнительные вступительные испытания в вуз. Сборник вариантов с решениями / Р. Л. Красновский. — М. : Лаборатория знаний, 2021. — 223 с. : ил.
ISBN 978-5-00101-313-6.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-936-7
c○ Лаборатория знаний, 2021

2

Посвящается моим родителям
и бабушке

ПРЕДИСЛОВИЕ

Моя предыдущая книга для поступающих в вузы «11 вариантов по математике ...» [5] вышла в свет почти пятнадцать
лет назад, тогда абитуриенты, помимо выпускных, сдавали
еще
и
вступительные
экзамены,
эпоха
ЕГЭ-стандартизации
началась несколько позже. Я не берусь спорить о плюсах
и
минусах
ныне
существующей
системы,
однако
согласен
с теми, кто считает, что она довольно сильно ударила по вариативности заданий, с которыми может столкнуться современный
абитуриент. Унификация Единого государственного
экзамена ограничила вузы в возможности отбирать именно
тех,
кто соответствует
данному заведению, выбранной специальности, собственно, по этой причине поступление в ведущие университеты страны в последнее время зависит не
только от ЕГЭ. Действительно, МГУ имени М. В. Ломоносова,
МФТИ и другие престижные вузы на ряд факультетов проводят дополнительные испытания, которые, по сути, и являются настоящими вступительными экзаменами, на манер тех,
что существовали до реформы. И здесь от выпускников школ
уже
требуются
принципиально
иные
навыки,
нежели
при
решении
типизированных
заданий.
Практика
показывает,
что абитуриенты, «набивавшие руку» на пособиях по ЕГЭ,
часто на дополнительных испытаниях не могут справиться
с
довольно
простыми
задачами.
Дело
в
том,
что,
уделяя
большую часть времени отработке одних и тех же методов,
поступающие
привыкают
их
бездумно
применять
во
всех
задачах, в том числе и тех, где эти методы лишь усложняют
решение.
Школьный курс математики шире, чем рамки тестов и заполняемых бланков, особенно в условиях, когда резко меняются правила и нужно быть всесторонне готовым к любым
формату и времени проведения экзамена (что, к примеру, наглядно показала ситуация во время карантина 2020 г., когда

Предисловие

обучение и контрольные мероприятия перешли в дистанционную форму). Эта книга призвана проиллюстрировать важность комплексного подхода к предмету. Она ни в коем случае не противоречит ЕГЭ, скорее, дополняет его специфику
иной методологией, тем более что вне зависимости от того,
какой вид экзамена сдается (ЕГЭ, олимпиада или дополнительные испытания вуза) и какие применяются установки по
оценке письменной работы, главный критерий везде один —
правильно решенная задача. И здесь хочется остановиться
на некоторых аспектах, неочевидных для современных абитуриентов.
Многие
ошибочно
считают,
что
положительную
оценку
можно заработать за так называемые «половинчатые решения» (решение какой-либо части или частей задачи), как зачастую на школьных контрольных работах. Иногда это действительно так, но и в ЕГЭ, и на дополнительных экзаменах
существует практика проверки только тех заданий, в которых дан верный ответ. Задания, в которых заявлен неверный ответ, не говоря уже о тех, в которых ответ вообще
не
заявлен,
могут
автоматически
признаваться
решенными
неправильно. Здесь стоит отметить, что верный ответ отнюдь
не
является
гарантией
того,
что
задача
решена.
Зачастую
абитуриенты умудряются дать правильный ответ, неверно решив задачу (сделав несколько взаимоисключающих ошибок,
отгадав или списав ответ, не рассмотрев все возможные варианты и т. п.).
Отмечу, что на правильность решения не влияют рациональность способа и метод, которыми задача решена. Единственными требованиями к решению задачи были и остаются
его математическая правильность и полнота. В соответствии
с этим текст решения должен быть оформлен достаточно подробно и разборчиво (для некоторых поступающих это весьма
проблематично). Нередки случаи, когда из-за отсутствия выкладок, казавшихся очевидными, небрежного почерка, обилия исправлений и других подобных коллизий задача признается решенной неправильно.
И не нужно забывать, что залогом успеха на экзаменах
является систематическая самостоятельная работа. Математику нельзя освоить за день или за неделю — только планомерные длительные занятия сделают большинство экзаменационных задач легкими.

Предисловие
5

Вы держите в руках оригинальный сборник задач, предназначенный для подготовки к письменному вступительному
экзамену по математике в любой вуз. В какой-то степени его
можно считать переизданием уже упоминавшейся ранее книги, дополненным новыми заданиями (да и первые 11 вариантов никуда не делись, но стали лучше, поскольку исправлены все найденные за прошедшие годы опечатки и ошибки).
Если в издании 2006 г. присутствовали не только авторские
задачи, но и задания из вариантов вступительных экзаменов, проводившихся в прошлые годы в Московском институте стали и сплавов (технологическом университете), МГУ
им. М. В. Ломоносова и других ведущих технических и экономических вузах, то новые варианты полностью авторские
(причем задания ранее нигде не публиковались).
Этот
задачник
принципиально
отличается
от
огромной
массы изданий подобного рода. Уникальность сборника состоит в том, что, несмотря на относительную краткость, он
аккумулирует в себе почти весь курс математики и, в отличие от большинства аналогов, позволяет абитуриенту провести всестороннюю подготовку к вступительному экзамену.
Задачи сборника (их всего 84), каждая из которых, по
мнению автора, оригинальна, ценна, содержательна и поучительна, разделены на 14 вариантов по 6 заданий в каждом.
Каждый из указанных вариантов представляет собой законченную с точки зрения проверки знаний по курсу математики экзаменационную работу. Они соответствуют уровню дополнительных вступительных экзаменов в престижные технико-экономические вузы.
В книге представлены полные и подробные решения первых одиннадцати вариантов, варианты 12, 13 и 14 приведены для самостоятельного решения. Ответы к тринадцатому
варианту размещены в соответствующем разделе книги, двенадцатый и четырнадцатый читателям предлагается решать
без каких-либо возможных ориентиров и соблазна сверить
результаты (т. е. фактически в условиях экзамена).
Структура рассматриваемых вариантов проста: в первых
трех заданиях представлены различные темы (от тождественных преобразований алгебраических выражений до векторной
алгебры и тригонометрии), четвертые задания — текстовые задачи, пятые — задания по геометрии (планиметрия или стереометрия), шестые — задачи с параметрами. В свою очередь,
данная последовательность не говорит об уровне сложности

Предисловие

заданий (бытует мнение, что, чем выше номер задачи в варианте, тем она сложнее). Довольно часто на экзаменах задачи не упорядочивают по сложности, что представляет для
абитуриентов дополнительные проблемы (к примеру, распространенная ошибка в том, что многие, не обращая внимание на остальные задачи, пытаются решить трудное задание,
порядковый номер которого сравнительно невелик, и в итоге лишь теряют большое количество отведенного на экзамен
времени). Целесообразно решать сначала те задачи, которые
кажутся наиболее простыми, вне зависимости от их порядковых номеров в варианте. Исходя из этого, автору представляется, что предложенная структура наиболее удачна и полезна
для восприятия и психологической подготовки абитуриентов.
Для каждой решенной задачи приведено по одному корректному решению. Некоторые решения не являются рациональными для соответствующих им заданий, однако именно
они способствуют отработке важных навыков, которые могут
пригодиться
при
решении
многих
экзаменационных
задач.
Примером служат отдельные задачи с параметрами, решенные графически с использованием знаний из векторной алгебры или начал анализа. У этих заданий существуют более
простые и короткие аналитические решения, которые читателю предлагается найти самостоятельно.
Еще раз хочу напомнить, что только систематические занятия помогут избежать многих проблем на экзаменах (это
касается
не
только
математики,
но
и
других
предметов).
Данная книга не может считаться панацеей от всех описанных сложностей — необходима достаточно широкая практика
решения задач из других сборников, к примеру, указанных
в списке рекомендуемой литературы. Однако она будет полезна для комплексной подготовки к вступительным испытаниям, а также для проверки знаний абитуриентов, выявления и своевременного устранения их слабых сторон.
В заключение дам несколько советов читателю, решившему использовать настоящий сборник для подготовки к вступительному экзамену:
1. Если
уровень
подготовки
достаточно
высок,
имеет
смысл попробовать решать эти варианты в условиях, приближенных к экзаменационным: каждый вариант рассчитан
на 4 астрономических часа (240 минут), при решении нельзя
пользоваться
ничем,
кроме
ручек,
карандашей,
иногда
линейки и циркуля. Строго запрещено пользоваться любой

Предисловие
7

литературой, шпаргалками, техническими приспособлениями
(калькуляторами, смартфонами, планшетами, компьютерами
и т. д.).
2. Если
стоит
задача
отработать
определенную
тему,
то
можно воспользоваться указателем «Классификация задач по
темам» и прорешать задачи или разобрать решения, относящиеся к отрабатываемой области. Здесь нужно учесть, что
деление задач на темы в известном смысле условно, поскольку при решении многих заданий требуются знания из разных разделов математики.
3. Если возникла необходимость отработать задачи определенного уровня сложности, то имеет смысл воспользоваться
указателем «Классификация задач по сложности». К примеру, сложные задания соответствуют в предложенной классификации 11 баллам и выше.
4. Книга
может
рассматриваться
как
учебник.
В
конце
сборника
расположен
справочный
материал
по
школьному
курсу математики, а приведенные решения задач являются
хорошей иллюстрацией не только методологии решений, но
и применения большинства формул, теорем и других знаний
из школьного курса математики.

P. S. Надеюсь, что книга будет полезна читателям и поможет многим из абитуриентов стать студентами. Удачи на
экзаменах!!!
Автор будет признателен читателям за отзывы и комментарии к книге, которые можно направлять по адресу электронной почты romanleon@yandex.ru.

Автор

ОСНОВНЫЕ
ОБОЗНАЧЕНИЯ

⇒
— знак логического следствия
⇔
— знак логической равносильности
(эквивалентности)
{a;b;c;...}
— множество, состоящее из элементов
a,b,c, ...
∅
— пустое множество
A∪B
— объединение множеств A и B
A∩B
— пересечение множеств A и B
N
— множество всех натуральных чисел
Z
— множество всех целых чисел
[a;b]
— замкнутый промежуток (отрезок)
(a;b)
— открытый промежуток (интервал)
(a;b], [a;b)
— полуоткрытые промежутки
(−∞;a],(a;+∞) — бесконечные промежутки
∥
— знак параллельности
⊥
— знак перпендикулярности
∼
— знак подобия
∠
— угол
△
— треугольник
−
→a
— длина (модуль) вектора
−
→a

ВАРИАНТЫ