Проекционные итерационные методы решения уравнений и вариационных неравенств с нелинейными операторами теории монотонных операторов

А.А. Фонар¨в
Проекционные  
итерационные методы 
 решения уравнений  
и вариационных неравенств  
с нелинейными операторами  
теории монотонных операторов
МОНОГРАФИЯ
Москва
ИНФРА-М
2017

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1
УДК 517.988
ББК 22.161.6
 
Ф77
Р е ц е н з е н т ы:
В.В. Дикусар, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры вычислительной математики, гл. науч. сотрудник Вычислительного центра им. А.А. Доронина РАН;
Б.В. Логинов, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры высшей математики 
Ульяновского государственного технического университета
Ф77
Фонарёв А.А.
Проекционные итерационные методы решения уравнений 
и вариационных неравенств с нелинейными операторами теории монотонных операторов : монография / А.А. Фонарёв. — 
М. : ИНФРА-М, 2017. — 201 с. — (Научная мысль). — www.
dx.doi.org/10.12737/2471.
ISBN 978-5-16-010041-8 (print)
ISBN 978-5-16-101738-8 (online)
Исследуются проекционные итерационные методы, сочетающие в себе 
проекционный метод и итерационный процесс, для отыскания решений 
нелинейных уравнений и вариационных неравенств в нормированных 
пространствах с операторами теории монотонных операторов. Приводятся приложения абстрактных результатов в гильбертовых и банаховых 
пространствах к нелинейным эллиптическим краевым задачам.
УДК 517.988
ББК 22.161.6
ISBN 978-5-16-010041-8 (print)
ISBN 978-5-16-101738-8 (online)
©  Фонарёв А.А., 2014
Подписано в печать 26.05.2017. 
Формат 60×90/16. Печать цифровая. Бумага офсетная. 
Гарнитура Times. Усл. печ. л. 12,56. ППТ12. Заказ № 00000 
Цена свободная
ТК 260700-910386-250114
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru
Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

 
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ 
 
ИП – итерационный процесс, 
ПИП – проекционный итерационный (проекционно-итерационный) 
процесс, 
ПМ – проекционный метод, 
ВН – вариационное неравенство, 
ПИМ – проекционный итерационный метод. 
3 

 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Важнейшими методами решения нелинейных операторных уравнений являются прямые и итерационные методы. 
К прямым приближенным методам решения нелинейных операторных уравнений относятся широко используемые в вычислительной 
практике разностные методы, а также вариационные и проекционные 
методы. 
Несмотря на ряд несомненных достоинств прямых и итерационных 
методов, эти методы, как и многие другие, обладают также определенными недостатками. 
Например, в отличие от итерационных методов приближенного решения нелинейных операторных уравнений в бесконечномерных пространствах, проекционные методы построены на принципиально новой 
идее. А именно в проекционных методах решается предварительное 
построение аппроксимирующего уравнения, которое, как правило, конструируется так, что его решение сводится к рассмотрению конечной 
системы скалярных уравнений [1], [2]. 
Проекционные методы, основываясь на переходе от данного уравнения к уравнению в подпространстве, не являются итерационными в том 
смысле, что отыскание каждого последующего приближения не использует предыдущих приближений [2, с. 194]. 
Следовательно, недостатками проекционных методов являются: 
1) для получения результата с требуемой точностью очень часто 
приходится решать системы скалярных уравнений довольно высоких 
порядков; 
2) в каждом последующем этапе результаты счета из предыдущего 
этапа, вообще говоря, не используются. 
К недостаткам итерационных методов можно отнести то, что они 
(особенно метод простой итерации) применимы, как правило, лишь к 
ограниченному классу задач, и вычисление каждого последующего шага может быть сопряжено со значительными трудностями, что вызвано, 
например, необходимостью замены исходных данных некоторыми другими, в определенном смысле их аппроксимирующими. 
Эти факты естественным образом приводят к исследованию смешанных методов, основанных на аппроксимативных (в первую очередь 
прямых) и итеративных подходах, свободных от недостатков (хотя бы 
некоторых) и в то же время обладающих положительными сторонами 
первоначальных методов. Реальный путь к созданию смешанных методов открывают универсальные (как стационарные, так и, в первую очередь, нестационарные) итерационные процессы, которым посвящены 
многочисленные исследования. Основные результаты исследований, 
посвященных совмещению прямых и итерационных методов, освещены, 
в частности, с учетом материала, используемого при совмещении прямых и итерационных методов, в монографиях [3], [4] (проекционноитеративные методы), [5], [6] (метод осреднения функциональных по4 

правок и его обобщения), [2] (итерационные и проекционные методы), 
[1] (абстрактные приближенные схемы), [7] (нестационарный итерационный процесс для нелинейных уравнений в §7), [8] (проекционноитерационные методы), [9] (необходимые элементы функционального 
анализа и те его направления, которые непосредственно примыкают к 
некоторым задачам вычислительной математики и ее приложений) и др. 
Рассмотренный в §7 монографии [7] нестационарный итерационный 
процесс – это универсальный процесс нестационарного типа в [10]. В 
[8] проекционно-итерационные методы являются комбинациями итерационного процесса и метода Галеркина или Ритца. В проекционноитерационных методах в [8] используется итерационный процесс нестационарного типа. 
Совмещение итерационного процесса и проекционного метода возможно при доказательстве сходимости последовательности итерационного процесса, не являющегося проекционным итерационным процессом. Например, в [11] доказывается сходимость последовательности 
итерационного процесса к решению уравнения в гильбертовом пространстве с использованием дважды решений проекционных уравнений 
в конечномерных подпространствах. 
Называя проекционным итерационным метод, являющийся комбинацией проекционного метода и итерационного процесса с использованием итерационного процесса нестационарного типа, имеем в виду проекционный итерационный (проекционно-итерационный) процесс, позволяющий получение каждого последующего приближения итерационного процесса в подпространстве, размерность которого больше или 
равна размерностям подпространств, содержащих предыдущие приближения итерационного процесса. 
В работе исследуются проекционные итерационные методы (процессы), являющиеся комбинациями проекционных методов и нестационарных итерационных процессов, т.е. применяя далее терминологию «проекционные итерационные методы и проекционные итерационные процессы», имеем в виду методы построения итерационных процессов, 
аналогичные методам в вышеуказанных публикациях [8], [7], [10]. 
Построение и исследование проекционных итерационных процессов 
связано с возможными уменьшениями объема вычислений и времени 
счета при использовании проекционного итерационного процесса вместо итерационного процесса, соответствующего проекционному методу 
и выполняемого в одном и том же подпространстве. 
При построении проекционно-итерационного метода, являющегося 
комбинацией проекционного метода и итерационного процесса нестационарного типа, не используются многосеточные методы [12], исчисляемые с работ российских математиков Федоренко Р.П., Бахвалова 
Н.С., Астраханцева Г.П. [13–16], и проекционно-итерационные варианты метода конечных элементов, применяемые украинскими математиками при решении вариационных задач механики [17–19]. 
С использованием методов конечных элементов и конечных объемов 
для эллиптических краевых задач [20–22] получены аппроксимации 
5 

пространств С.Л. Соболева последовательностями подпространств. Эти 
аппроксимации и аппроксимации оператора в исходном уравнении, рассматриваемые на подпространствах нормированного пространства, позволяют построение проекционных итерационных методов приближенного решения нелинейных эллиптических краевых задач. 
Построение проекционных итерационных процессов для отыскания 
приближений к решениям дифференциальных уравнений позволяет использование при конкретных вычислениях программные комплексы для 
аппроксимации пространства подпространствами методами конечных и 
граничных элементов. 
При использовании методов конечных элементов и конечных объемов для эллиптических краевых задач [20–22] получены аппроксимации 
пространств С.Л. Соболева последовательностями подпространств, допускающие получение соответствующих разностных схем [22–27]. Следовательно, в этом случае сходимость последовательности проекционного итерационного процесса в пространстве С.Л. Соболева к решению 
эллиптической краевой задачи дает сходимость последовательности 
соответствующего разностного итерационного процесса, сочетающего в 
себе итерационный процесс и разностный метод. Сходимость последовательности разностного итерационного процесса можно получить и 
непосредственно без использования методов конечных элементов и конечных объемов, опираясь на теорию разностных схем [23]. 
Проекционные итерационные процессы можно строить для уравнений, разрешенных относительно старших производных, т.е. уравнений с 
выделенной линейной частью со старшими производными, и для уравнений, не разрешенных относительно старших производных [28]. 
При построении проекционного итерационного процесса используются аппроксимации оператора в исходном уравнении, рассматриваемые на подпространствах нормированного пространства. При этом фактически рассматриваются приближения оператора в исходном уравнении на множествах, аппроксимирующих множество, на котором задан 
оператор в исходном уравнении. Возможно построение проекционных 
итерационных процессов при использовании схем расщепления при 
аппроксимациях исходных уравнений методами конечных элементов и 
конечных объемов [29–31]. Построение проекционных итерационных 
процессов для приближенного отыскания решений нелинейных уравнений допускает использование методов, применяемых для приближенного решения линейных уравнений ([22–27], [9]). 
Построение проекционного итерационного процесса аналогично построению итеративной регуляризации, описанному в [32, с. 244–245] и, 
как отмечено в [33], применимому для решения задач минимизации с 
приближенной информацией [33], [34]. Ибо при построении проекционного итерационного процесса используются аппроксимации исходного 
уравнения и множества, на котором рассматривается исходное уравнение. 
В работе излагаются результаты автора, посвященные проекционным итерационным процессам для отыскания решений нелинейных 
6 

уравнений и вариационных неравенств с операторами теории монотонных операторов, существенно отличающиеся от результатов предшествующих работ о проекционных итерационных процессах [35], [8, §4 
гл. 3]. 
Для части абстрактных результатов в гильбертовых и банаховых 
пространствах приводятся нелинейные эллиптические краевые задачи, к 
которым они применимы. Проведены численные эксперименты для одномерной задачи оптимизации. 
Вместе с проекционными итерационными процессами в работе приводятся и базовые итерационные процессы, предложенные автором, на 
основе которых построены проекционные итерационные процессы. 
Математические модели большинства замкнутых физических систем 
базируются на вариационных принципах. В связи с этим вариационные 
методы являются одним из основных инструментов исследования многих численных задач естествознания. Важное место в вариационных 
методах занимают методы минимизации нелинейных функционалов и 
отыскания решений нелинейных уравнений с операторами, являющимися градиентами нелинейных функционалов. Одним из методов минимизации нелинейных функционалов является метод наискорейшего 
спуска [8], в котором строится последовательность со свойством релаксационности. Это стимулировало исследование в работе проекционных 
итерационных методов типа метода наискорейшего спуска. В частности, 
в работе при исследовании нелинейных уравнений и вариационных неравенств с потенциальными равномерно непрерывными на ограниченных множествах операторами рассмотрены проекционные итерационные методы, являющиеся методами типа метода наискорейшего спуска. 
С использованием итерационного метода, являющегося методом типа метода наискорейшего спуска, исследована разрешимость уравнения 
с потенциальным равномерно непрерывным на ограниченных множествах оператором в банаховом пространстве. 
В работе используются сокращения, приведенные в списке сокращений. 
Перейдем к изложению содержания работы. 
Работа содержит список сокращений, введение, восемь параграфов, 
заключение и список литературы. 
§8 является дополнением к материалу монографии, содержащемуся в 
§1–7. В §8 показывается, что при рассмотрении конкретной задачи возможно использование свойств задачи при наличии возможности использования абстрактных результатов монографии. 
В параграфах применяется разбиение на части с двойной нумерацией (см. оглавление). В каждом параграфе применяются нумерации формул, теорем, утверждений, следствий, замечаний и т.п., начиная с единицы. 
При ссылках на формулы, теоремы и т.п. не обязательно указывается 
номер параграфа. 
7 

В §1 приводятся сведения из теории монотонных операторов и указываются нелинейные эллиптические операторы, приводящие к операторам теории монотонных операторов. 
В §1 используется материал из монографии [36] без ссылок на [36]. 
Отметим, что в §1 вместо монографии [36] можно использовать монографию [37]. И отметим, что в [36], [37] приведены задачи механики 
и физики, исследуемые с использованием теории монотонных операторов. 
В ч. 1.1 §1 приводятся определения и некоторые сведения теории 
монотонных операторов. А в ч. 1.2 §1 указываются нелинейные эллиптические операторы, приводящие к операторным уравнениям и вариационным неравенствам, для отыскания решений которых применимы 
проекционные итерационные процессы. 
В ч. 1.1 §1 вместе с определениями и сведениями теории монотонных операторов приводятся определения функционального анализа [1], 
используемые в работе. 
В §2 рассматриваются уравнения с равномерно монотонными операторами. 
В ч. 2.1 §2 вводятся пространства с p -нормой. Пространствами с p -
нормой являются пространства последовательностей 
p
l , Лебега 
p
L , 
С.Л. Соболева 
m
p
W
 

1
p 
 и гильбертово пространство. Показывается, 
что пространства с p -нормой равномерно гладки, а если они банаховы, 
то рефлексивны. И показывается, что пространства, сопряженные к пространствам с p -нормой, равномерно выпуклы. В частности, отсюда 
следует, что пространство, сопряженное пространству С.Л. Соболева 
m
p
W
, равномерно выпукло. Отметим, что равномерная выпуклость пространств, сопряженных к пространствам С.Л. Соболева, доказана в [38–
39] другим методом. Показывается, что в пространствах с p -нормой 
при некотором естественном условии справедлива теорема БанахаСакса [40]. В частности, теорема Банаха-Сакса справедлива в пространстве 
m
p
W
 

1
p 
. Перечисленные свойства пространств с p -нормой 
показывают, что пространства с p -нормой имеют самостоятельное значение. 
В ч. 2.2 §2 рассматриваются итерационные процессы в пространствах с p -нормой, последовательности которых сходятся к решению 
нелинейного уравнения с оператором, удовлетворяющим условию типа 
равномерной монотонности. При этом в рассматриваемых итерационных процессах не требуется принадлежность начального приближения 
некоторой окрестности решения и решение можно понимать в некотором обобщенном смысле. В частности, доказывается единственность 
обобщенного решения. При условии типа сильной монотонности приводится асимптотическая оценка скорости сходимости последовательности итерационного процесса. Дается единый подход к приближениям 
8 

типа наискорейшего спуска М.М. Вайнберга в гильбертовом пространстве, в пространствах Лебега и в пространствах последовательностей 
[41], [42, §21], причем охватывается и случай комплексных пространств. 
В ч. 2.3 §2 рассматривается ИП в гильбертовом пространстве, являющийся частным случаем ИП, рассмотренного в ч. 2.2 §2. Обосновывается возможность использования ИП для отыскания решения ВН. Показывается, что для уравнений с равномерно монотонными операторами в 
гильбертовом пространстве последовательность ИП сходится без наличия ограниченности оператора, требуемой в ч. 2.2 §2. Приводится 
асимптотическая оценка скорости сходимости ИП при наличии сильной 
монотонности оператора на всем пространстве или на ограниченных 
множествах. Отметим, что неасимптотические оценки скорости сходимости последовательности ИП при условии равномерной монотонности 
оператора рассматриваются в [43]. Рассматриваемый ИП является аналогом градиентного метода расходящихся рядов, используемого при 
исследовании задач минимизации [32, с. 68]. 
В ч. 2.4 §2 приводятся построенные на основе ИП ч. 2.2 §2 проекционные итерационные процессы в гильбертовом пространстве, которые 
сочетают в себе ПМ и ИП и в которых каждое последующее приближение получается в подпространстве, содержащем в себе подпространство, которому принадлежит предыдущее приближение. Сочетание ПМ 
и ИП важно для конкретных вычислений, ибо, как отмечено в начале 
введения, ПМ не является итерационным методом в том смысле, что 
отыскание каждого последующего приближения не использует предыдущих приближений. 
Материал ч. 2.1–2.4 §2 излагается, следуя работам [44–45]. В частности, материал ч. 2.1–2.2 §2 излагается, следуя работе [44], в которой 
введены пространства с p -нормой и рассмотрены итерационные процессы в пространствах с p -нормой, а материал ч. 2.3–2.4 §2 излагается, 
следуя работе [45]. 
В ч. 2.5 §2, следуя [46–47], приводится уточнение оценки скорости 
сходимости последовательности ПИП к обобщенному решению уравнения в гильбертовом пространстве. 
В ч. 2.6 §2, следуя [48], рассматриваются итерационный и проекционный итерационный процессы в гильбертовом пространстве, построенные на основе ИП и ПИП ч. 2.3 и ч. 2.4 §2, для уравнений со строго 
монотонными операторами. В ч. 2.5 §2 так же, как в [48], предполагается, что оператор в уравнении обладает 
S -свойством [8]. 
В ч. 2.7 §2 исследуется проекционный итерационный процесс для 
отыскания обобщенного решения уравнения в вещественном банаховом 
пространстве с p -нормой. 
Части 2.2–2.7 §2 связаны с использованием в них расходящихся рядов при построении последовательностей итерационных и проекционных итерационных процессов. 
9 

В ч. 2.8 §2 исследуется проекционный итерационный процесс, построенный на основе принципа сжимающих отображений [1], для отыскания решения уравнения в банаховом пространстве с p -нормой. 
В §3 рассматриваются уравнения с монотонными операторами в 
гильбертовых пространствах. В §3, в отличие от §2, уравнение может 
иметь не единственное решение. 
В ч. 3.1 и 3.2 §3, следуя [49], рассматриваются соответственно итерационный и проекционный итерационный процессы, при конструировании которых использовался двухступенчатый ИП для отыскания неподвижных точек из [50]. Работе [49] предшествовало исследование ИП 
из [49] в [51] при условии более слабом, чем условие Липшица, использовавшееся в [50]. Отмеченное более слабое, чем условие Липшица, 
условие использовалось и в [49]. Итерационный и проекционный итерационный процессы ч. 3.1 и ч. 3.2 §3 качественно отличаются от ИП, построенного на основе принципа итеративной регуляризации для уравнений с монотонными операторами в [52, теорема 1], ибо в [52] последовательность ИП, начатого с любого начального приближения, сходится 
к наименьшему по норме решению, которое единственно. А в ч. 3.1 и ч. 
3.2 §3 последовательности итерационного и проекционного итерационного процессов сходятся, вообще говоря, к разным решениям при различных начальных приближениях, что позволяет находить разные решения уравнения. В ч. 3.2 §3 использовалось условие 
0)

 И.В. Скрыпника [36], близкое понятию усиленной замкнутости оператора 
С.И. Похожаева [53] и систематически применявшееся И.В. Скрыпником [36] при доказательстве разрешимости уравнений. В ч. 3.1 §3 использовалась демикомпактность оператора, вытекающая из условия 
И.В. Скрыпника. 
В ч. 3.3 §3, следуя [54–55], рассматривается ИП для отыскания решения вариационного неравенства, построенный в результате применения принципа итеративной регуляризации [52] к ИП ч. 2.3 §2. 
В ч. 3.4 §3, следуя [56], рассматривается ПИП для отыскания уравнений, построенный в результате применения принципа итеративной 
регуляризации [52] к ПИП ч. 2.4 §2. 
В §4 приводятся некоторые приложения результатов §2 и §3. 
В ч. 4.1 §4 рассматриваются приложения к двухточечной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, а в ч. 4.2 §4 рассматриваются приложения к эллиптическому дифференциальному уравнению второго порядка. Результаты ч. 4.1 §4 не вытекают из результатов ч. 4.2 §4, так как двухточечная краевая задача 
имеет специфические особенности. Приведенные в §4 приложения рассматривались в работах [45], [48–49], [57]. Результаты §2 и §3 допускают их приложения к нелинейным эллиптическим операторам из ч. 1.2 
§1, возникающим при исследовании краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений произвольного порядка. В ч. 4.3 §4 обсуждается 
возможность применения результатов §2 и §3 при отыскании обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения 2m -го порядка. 
10