Начертательная геометрия: Конструирование поверхностей

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ 

ГЕОМЕТРИЯ 

КОНСТРУИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Н.А. САЛЬКОВ

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений, обучающихся 

по направлениям подготовки 07.03.01 «Архитектура», 

07.03.03 «Дизайн архитектурной среды» 

(квалификация (степень) «бакалавр») 

(протокол № 6 от 16.06.2021)

Москва
ИНФРА-М

2022

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 514.18(075.8)
ББК 22.151.3я73
 
С16

Р е ц е н з е н т ы:

Трибельская Е.Г., кандидат архитектуры, профессор, заведующий 

кафедрой архитектуры Московского государственного академического художественного института имени В.И. Сурикова при Российской академии художеств;

Вышнепольский В.И., кандидат педагогических наук, доцент, заве
дующий кафедрой инженерной графики МИРЭА — Российского технологического университета

ISBN 978-5-16-016612-4 (print)
ISBN 978-5-16-109193-7 (online)
© Сальков Н.А., 2021

Сальков Н.А.

С16  
Начертательная геометрия: конструирование поверхностей : учеб
ное пособие / Н.А. Сальков. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 220 с. — 
(Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1196545.

ISBN 978-5-16-016612-4 (print)
ISBN 978-5-16-109193-7 (online)
В учебном пособии, кроме геометрического конструирования поверх
ностей, предложены элемен ты аналитической и параметрической геометрий, способствующие конструированию и выводящие результат на более 
высокий уровень познания, а также каркасный метод конструирования 
поверхностей.

Соответствует требованиям федеральных государственных образова
тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Для студентов специальностей «Архитектор» и «Дизайнер архитектур
ной среды» (квалификации «бакалавр», «специалист», «магистр»). Может 
быть полезно для студентов других направлений обучения.

УДК 514.18(075.8)

ББК 22.151.3я73

Предисловие

Все, что нас окружает и отличается от воздуха, имеет свои геометрические формы. Свою форму имеет любой предмет: бутылка, 
стол, компьютер. Нередко приобретается вещь, приглянувшаяся 
только по форме. Человек всегда оценивает окружающее первоначально только внешне, т.е. по форме. Недаром в русском языке 
имеется пословица: «Встречают по одежке».
Есть такое понятие — формообразование, которое тесно связано 
с дизайном. Дизайн — понятие, совершенно недавно по историческим меркам введенное в употребление. Сейчас оно в моде: дизайн мебели, дизайн квартиры, дизайн автомобиля, архитектурный 
дизайн, ландшафтный дизайн, промышленный дизайн и т.д. Но дизайн — это в первую очередь пропорцио нальность форм, геометрия 
и только во вторую — целесообразность, функцио нальность. Дизайн 
тесно связан с понятиями красоты и эстетики, т.е. с геометрией как 
таковой. Потому что красота — это сочетание пропорцио нальных 
форм, а пропорцио нальность — сочетание соразмерных частей целого.
Геометрия учит разбираться и в том, и в другом, в том числе — 
начертательная геометрия.
Начертательная геометрия лежит в основе геометрического конструирования вообще и поверхностей в частности. Она не только 
представляет ортого нальные проекции, как считают недоучившиеся в свое время инженеры и технологи. Она также разрабатывает такие разделы, как «Аксонометрические проекции», «Перспектива», «Геометрия многомерного пространства», «Проекции с числовыми отметками» и многое другое. Более того, начертательная 
геометрия является базой для компьютерной графики, поскольку 
те картинки, которые оператор получает на экране дисплея, являются ничем иным, как визуализированной аксонометрической проекцией электронной модели геометрической фигуры. Как можно 
убедиться впоследствии, без начертательной геометрии (изображения геометрической фигуры хотя бы в виде аксонометрической 
проекции) просто невозможно разработать аналитическую модель, 
призвать на помощь уравнения (см. гл. 3).
Только потому, что начертательная геометрия является теорией 
изображений, она применяется при визуализации всего на свете.
Именно по это му, прежде чем начинать изучать изложенные 
в данной книге сведения, необходимо знать хотя бы начала начер

тательной геометрии [22]. Ну а для архитекторов теория изображений является просто-напросто хлебом насущным.
В предложенном для изучения учебном пособии на базе начертательной геометрии даны самые распространенные в архитектуре 
поверхности: линейчатые, с плоскостью параллелизма, вращения, 
циклические.
Учебное пособие предназначено для студентов вузов специальностей «Архитектура» и «Дизайн архитектурной среды», квалификации «бакалавр», «специалист», «магистр».
Содержание пособия полностью соответствует новой программе 
по начертательной геометрии.
В результате освоения материала, изложенного в учебном пособии, обучающийся будет:
знать
 
• теорию и способы формирования архитектурных деталей 
и фрагментов на чертеже;
 
• теорию и способы решения геометрических задач для отображения на чертеже строительных конструкций;
 
• способы построения разверток;
 
• теорию и способы конструирования поверхностей;
 
• наравне с начертательной работать с другими ветвями геометрии;
уметь
 
• применять методы начертательной геометрии в профессиональной деятельности;
 
• правильно компоновать изображение; выполнять архитектурный чертеж, используя приемы теории изображений;
владеть
 
• принципами изображения пространственного объекта на чертеже;
 
• осмыслением поставленных графических и геометрических 
задач;
 
• навыками работы с графическими материалами.

Введение. 
Вопросы конструирования и задания 
поверхностей

В строительстве и архитектуре различные поверхности получили широкое распространение, особенно в оболочках покрытий. 
Проектирование и расчет таких поверхностей зачастую производится с применением вычислительной техники. Воспроизведение 
некоторых поверхностей выполняется на станках с числовым программным управлением, а потому требует корректного математического описания.
Из известных способов конструирования поверхностей в архитектуре и строительстве наибольшее применение получил кинематический способ [1–23]. В этом случае поверхность образуется 
движением какой-либо линии постоянной или переменной формы. 
Получается каркас поверхности. Если расстояние (шаг) между линиями каркаса будет отличаться от бесконечно малой величины, 
каркас называется дискретным. Если расстояние будет приближаться к нулю, то каркас называется непрерывным.
Способ образования и задания поверхности каркасом отличается простотой и наглядностью, что является несомненной выгодой 
для архитектурного проекта.
Кинематический способ имеет недостаток, связанный со сложностью исследования свойств поверхности из-за трудностей в построении на поверхности различных семейств пространственных 
линий, исследования пересечений и расчета выдерживаемых нагрузок на поверхность. Все это случается из-за того, что на чертеже 
задается не аналитическое представление поверхности, а сумма некоторых контурных линий.
При аналитическом способе конструирования поверхность 
представляется в виде уравнений, содержащих два независимых 
параметра, поскольку каждая точка на поверхности может быть задана двумя параметрами:

 
х = f1 (u, v),
 
y = f2 (u, v), 
(В1.1)
 
z = f3 (u, v)
или

 
z = ϕ (x, y). 
(В1.2)

Уравнения (В1.1) используют в дифференциальной геометрии, 
определяя дифференциально-геометрические характеристики поверхности в разных ее точках, а (В1.2) — в вычислительной математике.
При конструировании поверхности, содержащей каркас самых 
простых линий (прямых или окружностей), часто пользуются способом выделения поверхности из многопараметрических множеств 
линий — получения однопараметрического семейства линий.
В дальнейшем будет известно, что прямая имеет четыре параметра. Поэтому, чтобы получить однопараметрическое множество 
прямых, т.е. поверхность, необходимо связать три параметра, погружая в четырехпараметрическое множество прямых соответственные направляющие. Таким образом получают линейчатые поверхности.
Другая группа способов проектирования заключается в конструировании составных поверхностей, отсеки которых связаны 
определенными краевыми условиями. Например, результирующую поверхность «сшивают» из отсеков разных поверхностей 
с условием, что по краям соприкосновения будет присутствовать 
определенный порядок гладкости (нулевой — когда поверхности 
пересекаются, первый — когда поверхности в местах стыковки 
имеют совпадающие касательные плоскости и т.д.).
В начертательной геометрии формула образования поверхности 
(знакокодовая система [22], показывающая, как именно образуется 
поверхность) состоит из трех составляющих. Первая составляющая 
показывает, какая образующая формирует поверхность; вторая 
составляющая представляет собой определитель поверхности, 
по сути, это совокупность направляющих; третья составляющая — 
закон образования поверхности.
Здесь геометрическая часть [22] — это определитель поверхности, а алгоритмическая часть — закон образования поверхности, 
обеспечивающий получение ее непрерывного каркаса.
В данную книгу не входит задача исследования поверхностей, 
остановимся только на их конструировании.
Каждая поверхность двумерна, т.е. состоит из двухпараметрического множества точек и по это му имеет двухкоординатную систему 
отсчета. Например, на плоскости имеем две пересекающиеся 
прямые, которые можно взять в качестве двух осей координат х и у, 
а точка их пересечения будет началом координат. Такая система 
называется декартовой. На сфере система координат — это общеизвестные параллели и меридианы, которые являются окружностями. На цилиндре вращения — это цилиндрические координаты 

в виде угла, отсчитываемого от нулевой образующей, и расстояния 
по этой образующей от точки О, взятой на ней, и т.д.
Для многих поверхностей при необходимости сделать развертку 
линии каркаса имеют определяющее значение. Для сферы в зависимости от того, какие именно линии координат берут в качестве 
основных, существует два способа получения условных разверток 
сферы [22].
Параллели и меридианы — это вообще каркасные линии поверхности вращения.
Если в процессе перемещения линии каркаса, которая становится в этом случае образующей, получают в каждый момент времени одну единственную образующую, то получившийся каркас 
можно назвать непрерывным.
Поверхности в машиностроении нередко изготавливают как 
множество рядом расположенных линий, полученных путем фрезерования на станках с числовым программным управлением 
(ЧПУ). Было отмечено: когда студенты выполняют макеты конусов или цилиндров, то на ватмане, на развертке поверхности, 
они выполняют надрезы четко по образующим линиям, чтобы 
можно было легче сво рачивать развертку в конус или цилиндр. 
Таким образом, студенты получали, сами того не зная, каркас поверхности.
Поэтому важно рассмотреть следующие вопросы:
 
• какие линии можно использовать в качестве образующих и направляющих;
 
• какие поверхности применяются в архитектуре;
 
• какие аналитические элементы надо знать архитектору для формирования поверхности;
 
• какие элементы параметрической геометрии должен знать архитектор;
 
• как получать развертку той или иной поверхности;
 
• как на чертежах изображается поверхность земли (архитектор 
обязан знать вопросы планировки, а без проекций с числовыми 
отметками этого не добиться);
 
• как строить аксонометрические проекции.
Поскольку будем рассматривать поверхность как множество 
линий, обладающих каким-то единым для всего множества свойством, то прежде чем изучать поверхности, необходимо сначала 
рассмотреть линии. Перед изучением линий рассмотрим, какие поверхности и каким образом применяются в архитектуре.
Для геометрического конструирования необходимо привлечь 
несколько ветвей геометрии: начертательной, аналитической, диф

ференциальной, проективной, параметрической, линейной алгебры, 
компьютерной графики. Кроме этого, нужно знать теорию расчетов 
на прочность и устойчивость.
В данном учебном пособии нет чисто начертательной геометрии, как в традиционных учебниках, здесь, скорее, показывается 
ее тесная связь с аналитической и параметрической геометриями, 
а также их совместное использование для конструирования.

Глава 1. 
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ 
В АРХИТЕКТУРЕ

1.1. МНОГОГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Многогранные поверхности — поверхности, состоящие из состыкованных друг с другом отсеков плоскостей. Отсеки стыкуются 
по прямым линиям, которые называются ребрами.
Пирамидальная поверхность показана на рис. 1.1, а. Прямые а, 
b и d, которые называются ребрами, пересекаются в одной точке — 
вершине пирамиды, а между ребрами имеются отсеки плоскостей. 
Замкнутые линии q 1 и q 2 являются линиями обреза пирамидальной 
поверхности. Существенным является тот факт, что пирамидальная 
поверхность имеет две полы, расположенные по обе стороны от ее 
вершины.

q2
q2

а
б
в
г

q1
q1
b
b

d
d
a

a

Рис. 1.1

На рис. 1.1, б, в, г показаны различные призматические поверхности. Прямые а, b и d (см. рис. 1.1, г) параллельны и являются 
ребрами призматической поверхности. Понятно, что эти прямые 
бесконечны в обоих направлениях, по это му саму поверхность приходится ограничивать. Линии q 1 и q 2 являются линиями обреза.

1.2. МНОГОГРАННИКИ

Многогранники — тела, ограниченные со всех сторон плоскими 
многоугольниками (рис. 1.2–1.3).

Многоугольники, которые ограничивают многогранник, называются его гранями, а общие стороны смежных многоугольников — 
ребрами многогранника. Грани многогранника, сходящиеся в одной 
точке, образуют многогранный угол. Вершины многогранных углов 
называются вершинами многогранника.

а
б
в

Рис. 1.2

Куб (гексаэдр) (рис. 1.2, а) — правильный многогранник (шестигранник), все грани которого — квадраты. Куб имеет восемь 
вершин, 12 ребер и шесть граней.
Параллелепипед — многогранник, образованный пересечением 
шести попарно параллельных плоскостей. Параллелепипед имеет восемь вершин, 12 ребер и шесть граней, представляющих собой попарно 
равные параллелограммы. Параллелепипед может быть наклонным 
(все грани — параллелограммы) и прямым (боковые грани — прямоугольники). Параллелепипед называется прямоугольным, если все 
его грани являются прямоугольниками (рис. 1.2, б).
Призма (рис. 1.2, в) — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники с соответственно параллельными 
сторонами, а все остальные грани — параллелограммы. Призма называется правильной, если основаниями ее являются правильные 
многоугольники. Призма называется прямой, если плоскости 
боковых граней перпендикулярны к плоскости основания (см. 
рис. 1.2, в). Призма бывает треугольной, четырехугольной и т.д., 
если в основании она имеет треугольник, четырехугольник и т.д.
Пирамида (рис. 1.3) — многогранник, одна грань которого 
какой-либо многоугольник (основание пирамиды), а все остальные 
грани (боковые) — треугольники, сходящиеся вершинами в одной 
точке — вершине пирамиды.
Пирамида называется правильной, если:
 
• основанием ее является правильный многоугольник;
 
• высота ее проходит через центр основания (см. рис. 1.3).