Геометрическая алгебра Клиффорда
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
НИЦ ИНФРА-М
Год издания: 2022
Кол-во страниц: 217
Дополнительно
Вид издания:
Монография
Уровень образования:
Дополнительное профессиональное образование
ISBN: 978-5-16-017235-4
ISBN-онлайн: 978-5-16-109775-5
DOI:
10.12737/1832489
Артикул: 766521.01.01
К покупке доступен более свежий выпуск
Перейти
Монография посвящена фундаментальным аспектам геометрической алгебры и близко связанным с ними вопросам. Категория алгебр Клиффорда рассматривается как сопряженная категории векторных пространств с квадратичной формой. Изучаются возможные конструкции в этой категории и внутренние алгебраические операции алгебры, имеющие геометрическую интерпретацию. Включено приложение к дифференциальной геометрии евклидова многообразия на основе шейп-тензора.
Рассматриваются произведения, копроизведения и тензорные произведения в категории ассоциативных алгебр с применением к разложению алгебр Клиффорда на простые компоненты. Вводятся спиноры. Изучаются способы матричного представления алгебры Клиффорда.
Может быть интересна студентам, аспирантам и специалистам в области математики, физики и кибернетики.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- Аспирантура
- 01.06.01: Математика и механика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Геометрическая алгебра Клиффорда, 2024, 766521.03.01
Геометрическая алгебра Клиффорда, 2023, 766521.02.01
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА КЛИФФОРДА Г.В. КОНДРАТЬЕВ МОНОГРАФИЯ Москва ИНФРА-М 2022
УДК 512.71(075.4) ББК 22.147 К64 Кондратьев Г.В. К64 Геометрическая алгебра Клиффорда : монография / Г.В. Кондратьев. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 217 с. — (Научная мысль). — DOI 10.12737/1832489. ISBN 978-5-16-017235-4 (print) ISBN 978-5-16-109775-5 (online) Монография посвящена фундаментальным аспектам геометрической алгебры и близко связанным с ними вопросам. Категория алгебр Клиффорда рассматривается как сопряженная категории векторных пространств с квадратичной формой. Изучаются возможные конструкции в этой категории и внутренние алгебраические операции алгебры, имеющие геометрическую интерпретацию. Включено приложение к дифференциальной геометрии евклидова многообразия на основе шейп-тензора. Рассматриваются произведения, копроизведения и тензорные произведения в категории ассоциативных алгебр с применением к разложению алгебр Клиффорда на простые компоненты. Вводятся спиноры. Изучаются способы матричного представления алгебры Клиффорда. Может быть интересна студентам, аспирантам и специалистам в области математики, физики и кибернетики. УДК 512.71(075.4) ББК 22.147 А в т о р: Кондратьев Г.В., доктор физико-математических наук, профессор Нижегородского государственного педагогического университета имени Козьмы Минина ISBN 978-5-16-017235-4 (print) ISBN 978-5-16-109775-5 (online) © Кондратьев Г.В., 2021
Введение 5 1 Свойства категории алгебр Клиффорда 8 1.1. Категории, функторы, натуральные преобразования ..........8 1.2. Сопряженные функторы ....................................................14 1.3. Категория алгебр Клиффорда ...........................................17 1.4. Некоторые конструкции ....................................................25 1.5. 2-категория алгебр Клиффорда ........................................29 2 Внутренние свойства алгебры Клиффорда 34 2.1. Ортогональность....................... ........................................34 2.2. Внешняя алгебра ..............................................................39 2.3. Степени элементов, фильтрация и градуировка ...............42 2.4. Инвариантное разложение векторного пространства свободной конечномерной алгебры Клиффорда...............46 2.5. Представление алгебры Клиффорда линейными преобразованиями внешней алгебры ...............................54 2.6. Три инволюции свободной алгебры Клиффорда ...............57 3 Геометрические вычисления 60 3.1. Вводные соображения ......................................................60 3.2. Подпространство и его ортогональное дополнение ..........63 3.3. Некоторые тождества .......................................................67 3.4. Естественное вложение грассманиана в алгебру Клиффорда .......................................................................72 3.5. Проекции и режекции .......................................................78 3.6. Пересечения и суммы подпространств .............................84 Оглавление
3.7. Отражения и повороты ......................................................87 3.8. Проективные пространства ...............................................95 4 Применение геометрической алгебры в дифференциальной геометрии 104 4.1. Касательная алгебра Клиффорда на многообразии ........104 4.2. Добавление оператора дифференцирования в касательную алгебру Клиффорда .................................109 4.3. Алгебры Ли, связанные с алгеброй Клиффорда ..............113 4.4. Шейп-тензор и параллельный перенос ...........................120 4.5. Ковариантное дифференцирование и кривизна .............125 5 Алгебраическая структура алгебры Клиффорда 132 5.1. Категория ассоциативных алгебр ...................................132 5.2. Конечные произведения ассоциативных алгебр и алгебр Клиффорда .......................................................137 5.3. Тензорные произведения алгебр Клиффорда .................146 5.4. Матричное представление вещественных алгебр Клиффорда .....................................................................152 5.5. Матричное представление комплексных алгебр Клиффорда .....................................................................160 6 Модули над алгеброй Клиффорда 163 6.1. Простые и полупростые модули ......................................163 6.2. Условие на размерности исходя из вида матричного представления ................................................................172 6.3. Сопряженность между группами и алгебрами ................174 6.4. Минимальные левые идеалы...........................................180 6.5. Примеры минимальных левых идеалов и матричных представлений ................................................................189 6.6. Кватернионное представление .......................................197 6.7. Разложение Пирса и матричные единицы алгебры .........201 Заключение 210 Библиографический список 213 Оглавление
Памяти моего отца Кондратьева Вячеслава Васильевича, человека и ученого Введение Первый вариант геометрической алгебры был создан в пер вой половине 19 века в трудах Г. Грассмана. Грассман ввел внешнее и внутреннее произведения векторов, которые позво лили рассматривать подпространства векторного пространства со скалярным произведением как элементы алгебры и произ водить операции с ними, такие как пересечение и сумма, ал гебраически. Однако, операции алгебры при таком подходе не были вполне связаны между собой и каждая требовала отдель ной концепции. Вторым этапом были работы У. Клиффорда вто рой половины 19 века, который сумел объединить скалярное умножение в векторном пространстве с умножением в алгеб ре, превратив полученную алгебраическую систему в ассоци ативную алгебру над полем в обычном смысле. Это Клиффорд ввел геометрическое некоммутативное умножение, сильно из менившее как способы вычислений, так и общую концепцию. В частности, внешнее и внутреннее произведения стали произ водными от геометрического. С тех пор геометрическая алгебра стала самостоятельной дисциплиной. Она развивалась и использовалась в качестве ап парата исследований математиками и, особенно, физиками. В частности, первая теория относительности была написана Э. Картаном и Г. Вейлем на языке геометрической алгебры. Это произошло на 10 лет раньше появления теории относи тельности А. Эйнштейна, в которой использовался другой аппарат римановой геометрии. Как отмечают специалисты, в первый вариант теории относительности входили ’червото 35
Введение чины’ пространства-времени, которые допускали описание внутренней структуры на языке геометрической алгебры. В теории Эйнштейна они превратились в черные дыры, сингу лярности, без какого-либо внутреннего описания. Во второй половине 20 века геометрическая алгебра полу чила новую математическую жизнь. Во многом это связано с именем Д. Хестенса, который развил технику геометрических вычислений полностью без использования какого-либо базиса, ввел операторы векторного и мультивекторного дифференци рования, развил математический анализ и дифференциальную геометрию Клиффорда, параллельно применяя этот аппарат в физических задачах. Геометрическая алгебра развивалась и использовалась разными учеными в разных направлениях, как универсальный инвариантный язык геометрии и дифференциального и ин тегрального исчисления, как обобщенная числовая система, содержащая вещественные и комплексные числа и кватер нионы (то есть все конечномерные ассоциативные алгебры с делением), как действенный аппарат изучения классических групп, как средство в квантовых вычислениях, интерпретации логики и многих других областях. Многие разделы физики, на чиная с механики и заканчивая теорией элементарных частиц, стали использовать язык геометической алгебры. В недав нее время получили развитие приложения к компьютерной графике, нейросетям, обработке визуальной информации. Книга требует для своего чтения некоторого знания основ теории категорий, которые напоминаются в первой главе. Вторая и третья главы могут служить вводным курсом по геометрической алгебре. В четвертой главе рассматривается приложение геометрической алгебры к дифференциальной геометрии подмногообразий евклидова пространства на ос нове шейп-тензора Хестенса. В пятой главе рассматривается разложение алгебр Клиффорда в произведение, тензорное 46
Введение произведение и представление алгебрами матриц. В шестой главе вводятся модули над алгеброй Клиффорда, рассмат риваются спинорные пространства, как минимальные левые идеалы алгебры, изучаются способы получения конкретного матричного представления алгебры. Материал может быть полезен специалистам, аспирантам и студентам физико-математических и компьютерных специаль ностей университетов, а также всем, заинтересованным в со здании эффективного алгебраического аппарата для решения различных задач на пространстве с квадратичной формой. 57
Свойства категории алгебр Клиффорда В математике объекты рассматриваются не изолированно, а вместе с отображениями, сохраняющими их структуру. Объек ты некоторого рода и их отображения составляют категорию. Наличие достаточного количества нужных объектов и отобра жений позволяет строить различные конструкции в категории и иметь отношения с другими категориями. В первой главе вводятся основные понятия, необходимые для определения категории алгебр Клиффорда. Следует отметить, что в литературе имеются слегка разли чающиеся версии определения алгебры Клиффорда, которые в существенном совпадают. Здесь выбрана наиболее удобная с точки зрения теории категорий, близкая к изложенной в [1, 2]. По теории категорий можно посмотреть [3, 4, 40, 41]. 1.1. Категории, функторы, натуральные преобразования Категории состоят из объектов и стрелок, удовлетворяющих простым аксиомам. Точным опредлением является следующее. Определение 1.1. Категория C состоит из двух классов 𝑂𝑏 C и 𝐴𝑟 C . Элементы первого называются объектами, эле менты второго стрелками, морфизмами или отображения ми. При этом выполняются аксиомы: 68
Свойства категории алгебр Клиффорда • для каждой стрелки 𝑓 ∈ 𝐴𝑟 C имеются ее начало 𝑑𝑜𝑚( 𝑓 ) ∈ 𝑂𝑏 𝐶 и конец 𝑐𝑜𝑑( 𝑓 ) ∈ 𝑂𝑏 C , что изображается, как 𝑓 : 𝐴 → 𝐵, где 𝐴 = 𝑑𝑜𝑚( 𝑓 ), 𝐵 = 𝑐𝑜𝑑( 𝑓 ), • для совместимых стрелок 𝑓 : 𝐴 → 𝐵 и 𝑔 : 𝐵 → 𝐶 опре делено их произведение или композиция 𝑔 ◦ 𝑓 : 𝐴 → 𝐶, что может быть выражено коммутативной диаграм мой 𝐴 𝑓 𝑔◦ 𝑓 𝐵 𝑔 𝐶 , • композиция, когда она определена, ассоциативна ℎ ◦ (𝑔 ◦ 𝑓 ) = (ℎ ◦ 𝑔) ◦ 𝑓 , или через диаграмму 𝐴 𝑓 𝑔◦ 𝑓 𝐵 𝑔 ℎ◦𝑔 𝐶 ℎ 𝐷 (которая означает, что композиции стрелок вдоль лю бых путей из одной вершины в другую равны) • для каждого объекта 𝐴 ∈ 𝑂𝑏 C существует единичная стрелка 1𝐴 : 𝐴 → 𝐴, такая что для любой стрелки 𝑓 : 𝐵 → 𝐴 и любой стрелки 𝑔 : 𝐴 → 𝐶 выполняется 1𝐴 ◦ 𝑓 = 𝑓 , 𝑔 ◦ 1𝐴 = 𝑔. Множество стрелок, имеющих началом объект 𝐴 и концом объект 𝐵 называется hom-множеством и обозначается hom(𝐴, 𝐵). Примеры. 1. Категория множеств Set с объектами – множествами и стрелками – отображениями множеств. 2. Категория групп Grp с объектами – группами и стрелка ми – групповыми гомоморфизмами. 3. Категория 𝐾-векторных пространств Vect𝐾 с объектами – векторными пространствами над полем 𝐾 и стрелками – 𝐾-линейными отображениями. 79
Свойства категории алгебр Клиффорда 4. Категория евклидовых пространств Eucl с объектами – (конечномерными) евклидовыми пространствами над полем вещественных чисел R и стрелками – R-линейными отображениями, сохраняющими скалярное произведе ние (· , ·) : 𝐸 × 𝐸 → R в том смысле, что ( 𝑓 (𝑎), 𝑓 (𝑏)) = (𝑎, 𝑏) для отображения 𝑓 : 𝐸 → 𝐸′. В список примеров можно включить любой класс структур и отображений между ними, сохраняющими структуру. Стрелка 𝑓 называется мономорфизмом, если из равенства 𝑓 ◦ 𝑔 = 𝑓 ◦ ℎ следует 𝑔 = ℎ, и эпиморфизмом, если из равенства 𝑔 ◦ 𝑓 = ℎ ◦ 𝑓 следует 𝑔 = ℎ. Стрелка 𝑓 называется изоморфизмом, если существует обратная стрелка 𝑓 −1, такая что 𝑓 −1 ◦ 𝑓 = 1𝑑𝑜𝑚( 𝑓 ) и 𝑓 ◦ 𝑓 −1 = 1𝑐𝑜𝑑( 𝑓 ). Упражнение 1. 1. Доказать, что изоморфизм являет ся мономорфизмом и эпиморфизмом. 2. Доказать, что в категории Set стрелка является моно морфизмом тогда и только тогда, когда она является инъективным отображением, и эпиморфизмом тогда и только тогда, когда она является сюръективным отоб ражением. 3. Доказать, что в категории колец и их гоморфизмов Ring тождественное вложение кольца целых чисел Z в поле частных Q является мономорфизмом и эпиморфизмом, но не является изоморфизмом. Типичной конструкцией объектов в категории является, так называемая, универсальная конструкция. Например, объект 𝐴 𝐵 называется произведением объектов 𝐴 и 𝐵, если заданы две выделенные стрелки 𝐴 𝐵 𝑝𝐴 −−→ 𝐴, 𝐴 𝐵 𝑝𝐵 −−→ 𝐵 – проекции на сомножители, такие что для любого объекта 𝐶 и любой пары стрелок 𝐶 𝑓−→ 𝐴 и 𝐶 𝑔−→ 𝐵 существует единственная стрелка 8 ( 𝑓 , 𝑔) : 𝐶 → 𝑎 𝐵, делающая диаграмму коммутативной 10
К покупке доступен более свежий выпуск
Перейти