Расчеты на прочность и жесткость статически определимых и статически неопределимых систем

РАСЧЕТЫ
НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ 
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ 
И СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ 
СИСТЕМ

Н.А. ДРОЗДОВА, С.К. КАКУРИНА

Допущено учебно-методическим объединением по образованию
в области металлургии в качестве учебного пособия для студентов вузов, 
обучающихся по специальности «Металлургические машины 
и оборудование» направления «Технологические машины и оборудование»

У ч е б н о е  п о с о б и е

 
Москва 
Красноярск
 
ИНФРА-М 
СФУ

2022

УДК 539.3/.6(075.8)
ББК 30.121я73
        Д75

Р е ц е н з е н т ы : 
Н.А. Смирнов, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент 
Российской инженерной академии, заведующий кафедрой технической 
механики Сибирского государственного аэрокосмического университета 
имени академика М.Ф. Решетнева;
Ю.А. Горбунов, доктор технических наук, профессор, академик 
Международной академии наук высшей школы, генеральный директор 
ООО «Дак-инжиниринг»

Дроздова Н.А.
Д75 
 Расчеты на прочность и жесткость статически определимых 
и статически неопределимых систем : учебное пособие / Н.А. Дроздова, 
С.К. Какурина. — Москва : ИНФРА-М ; Красноярск : Сиб. федер. 
ун-т, 2022. — 224 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 
10.12737/508.

ISBN 978-5-16-017238-5 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-109783-0 (ИНФРА-М, online)
ISBN 978-5-7638-2505-3 (СФУ)

Рассмотрены теоретические основы расчетов на прочность и жесткость 
элементов конструкций при простых и сложных видах нагружения как для 
статически определимых, так и для статически неопределимых систем. 
Приведены подробные примеры, вопросы для самоконтроля и задачи для 
самостоятельного решения.
Предназначено для студентов специальности «Металлургические машины 
и оборудование» направления «Технологические машины и оборудование», 
а также для студентов других специальностей, изучающих курсы «Техническая 
механика», «Механика», «Прикладная механика».

УДК 539.3/.6(075.8)
ББК 30.121я73

ISBN 978-5-16-017238-5 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-109783-0 (ИНФРА-М, online)
ISBN 978-5-7638-2505-3 (СФУ)

© Дроздова Н.А., 
Какурина С.К., 2013
© Сибирский федеральный 
университет, 2013

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебное пособие составлено в соответствии с про
граммой   дисциплины   «Сопротивление   материалов»   для   технических специальностей. За относительно малое число часов лекционных, практических и лабораторных занятий студент должен 
изучить, понять и освоить довольно сложный курс. Особо большие 
затруднения в получении навыков расчета элементов конструкций 
представляют статически неопределимые конструкции. При их расчете необходимо опираться на знания, полученные при расчете статически определимых конструкций. На это программой курса не 
предусмотрено ни одного часа практических занятий, а только лабораторные работы. Следовательно, «начала» сопротивления материалов до´лжно освоить самостоятельно. Устранению этих недочетов 
и оказанию помощи студентам в качественном освоении курса «Сопротивление материалов» служит предлагаемое авторами учебное 
пособие. В нем содержание и построение предлагаемого вниманию 
студентов материала имеют свои особенности.

Во-первых, краткое изложение теоретического материала выпол
нено логически и методически последовательно — от простого 
к сложному. Теоретический материал сопровождается подробными 
примерами и контрольными вопросами, а также задачами для самостоятельного решения. 

Во-вторых, расчетные схемы стержней, балок, рам и т.д., попе
речные сечения их элементов, виды внешних нагрузок наиболее характерны для конструкций и сооружений, встречающихся в горных 
и металлургических машинах и оборудовании. 

В-третьих, примеры решения задач и задачи для самостоятель
ного решения составлены таким образом, чтобы не отвлекать студента громоздкими математическими вычислениями, а помочь 
сформировать у него навыки расчета различного рода конструкций 
при различных видах нагружений при ясном понимании сути решения. 

Невозможно представить современного инженера без знания 

курса «Сопротивление материалов», являющегося базовым в подготовке инженера любого профиля. Знания по этому курсу востребованы студентами как при изучении курсов «Детали машин и основы 
конструирования», «Горные машины и оборудование», «Металлургические машины и оборудование», так и при выполнении курсовых 
и дипломных проектов и в практической деятельности будущего 
специалиста.

Авторы предполагают, что настоящее учебное пособие окажет 

существенную помощь в освоении практических навыков расчетов 
конструкций. Оно также может представлять интерес для студентов 
других специальностей и преподавателей курсов «Сопротивление 
материалов», «Техническая механика», «Прикладная механика» 
и т.д., для практических инженеров, научных работников и аспирантов общемашиностроительного профиля.

ВВЕДЕНИЕ

Современная действительность предъявляет особые требования 

к повышению конкурентоспособности проектируемых машин, т.е. увеличению их надежности, долговечности, производительности. Важнейшими, а в ряде случаев и определяющими, в этом процессе являются 
требования достаточной прочности и жесткости конструкций. Здесь 
под прочностью понимается способность конструкции не разрушаться, 
а под жесткостью — сохранять в определенных пределах свою форму 
и размеры. Конструкция, выполненная из конкретного материала, 
должна успешно сопротивляться внешним воздействиям: силовым, тепловым, радиационным и т.д. Инженерная дисциплина, в которой рассматриваются основы методов оценки прочности и жесткости конструкций получила название сопротивление материалов.

Для обеспечения нормальной работы конструкция должна удовлет
ворять необходимым условиям прочности, жесткости и устойчивости.

Под прочностью понимают способность конструкции, ее частей 

и деталей выдерживать определенную нагрузку, не разрушаясь.

Под жесткостью подразумевают способность конструкции и ее

элементов противостоять внешним нагрузкам, не изменяя формы и 
размеров.

Устойчивостью называют способность конструкции сохранять 

определенную первоначальную форму упругого равновесия.

Сопротивление материалов решает указанные задачи прочности, 

основываясь как на теоретических, так и на опытных данных, имеющих в этой науке одинаково важное значение. В теоретической 
части эта наука базируется на теоретической механике и математике, 
а в экспериментальной — на физике и материаловедении.

Эта дисциплина в формировании статуса инженера занимает важ
ное место и поэтому в учебных планах технических университетов 
выполняет несколько задач:

— впервые вводит студента в круг важнейших инженерных поня
тий, которые необходимы для расчетов на прочность и жесткость 
конструкций и которые получают дальнейшее развитие в специальных дисциплинах на старших курсах;

— эта дисциплина имеет самостоятельное применение в инже
нерной практике, так как представленная в ней система оценок 
прочности и жесткости вполне достаточна для решения проблемы 
целиком, ввиду насыщения курса примерами расчетов на прочность 
и жесткость многих типовых деталей машин и сооружений.

Таким образом, качественное освоение навыков расчетов кон
струкций на прочность, жесткость и устойчивость вносит весомый 
вклад в формирование облика инженера широкого профиля.

1

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 
ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

К геометрическим характеристикам плоских сечений относят 

пло щадь, статические моменты плоских сечений, положение центра 
тяжести, моменты инерции и моменты сопротивления.

1.1. 
СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ СЕЧЕНИЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ 
ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Площадь является простейшей геометрической характеристи
кой поперечного сечения:

A
dA

A
= ∫
.  
(1.1)

Статическим моментом плоского сечения относительно некоторой 

оси называют взятую по всей его площади А сумму произведений 
площа дей элементарных площадок dA на их расстояния от этой оси 
(рис. 1.1):

S
ydA S
xdA
x
y
A
A
=
=
∫
∫
,
; 
(1.2)

S
Ay
S
Ax
x
c
y
c
=
=
,
,  
(1.3)

где yc — расстояние от центра тяжести всего плоского сечения до оси х; хс — 
расстояние от центра тяжести всего сечения до оси у.

Статический момент сложного сечения от носительно некоторой 

оси равен сумме статических моментов всех частей этого сечения 
относительно той же оси:

S
A y
A y
A y
A y
x
n
n
i
i
i

n
=
+
+
+
=

=∑
1 1
2
2
1
...
;

S
A x
A x
A x
A x
y
n
n
i
i
i

n
=
+
+
+
=

=∑
1 1
2
2
1
...
.  
(1.4)

В формулах (1.4) введены обозначения: A1, А2, ..., Ап — площади 

про стых элементов, составляющих плоское сложное сечение; x1, у1 х2,
у2, ..., хп, уп — координаты центров тяжести простых составляющих 
слож ного плоского сечения относительно выбранных осей х и у.

Из формулы (1.3) можно определить координаты центра тяжести 

плоского сечения:

x
S

A
y
S
A
c
y
c
x
=
=
;
.  
(1.5)

Для сложного поперечного сечения формулы (1.5) можно 

предста вить в следующем виде

x
S

A
A x
A x
A x

A
A
A

y
S
A
A y
A y

c
y
n
n

n

c
x

=
=
+
+
+

+
+
+

=
=
+
+

1 1
2
2

1
2

1 1
2
2

...

...

.

 ;

 
..

...
.
+

+
+
+

A y

A
A
A

n
n

n
1
2

(1.6)

Зависимости между статическими моментами одного и того же 

сече ния относительно двух параллельных друг другу осей х и x1, а 
также у и y1 имеют вид

S
S
aA S
S
bA
x
x
y
y
1
1
=
=
;
. 
(1.7)

Параметры a, b показаны на рис. 1.2.
На основании изложенного можно сделать следующие выводы:
— статический момент сечения равен нулю относительно любой 

оси, проходящей через центр тяжести этого сечения;

— если плоское сечение имеет ось симметрии, то эта ось всегда 

проходит через центр тяжести плоского сечения, а поэтому статический момент сечения относительно оси симметрии всегда равен нулю;

Рис. 1.1. Поперечное сечение произвольного очертания

A

x

y

dA

O

ρ

x

y

— если плоское сечение имеет две оси симметрии, то центр тяже
сти сечения лежит на пересечении этих осей симметрии.

Пример 1.1. Определить центр тяжести плоского поперечного се
чения, показанного на рис. 1.3.

Рис. 1.2. Изменение статических моментов сечения 

при параллельном переносе осей

Рис. 1.3. Поперечное сечение

b

x

y1

dA

O

x1

y1

A

x

y

a

O1
x1

y

R = 20

O

xc

yc

60

x

C1

y

C2

C3

C

4R / (3π)

60

40

30

10

20

30

15

Р е ш е н и е.  1. Выполняем в произвольно выбранном масштабе 

чертеж сложного сечения.

2. Разбиваем поперечное сечение сложной формы на простые гео
метрические фигуры, координаты центров тяжести для которых известны (прил. 1): прямоугольник, треугольник и полукруг. Указываем 
центры тяжести этих фигур (С1; С2 и С3).

3. Проводим вспомогательные оси, выбирая их произвольно. На
пример, ось y совмещаем с левой стороной прямоугольника, а ось 
x — с основанием всей фигуры. В этой системе x и y будем выполнять 
дальнейшие вычисления.

4. Находим площади каждой из простых фигур и определяем коор
динаты их центров тяжести во вспомогательной системе осей x и y.

Площадь треугольника:

A1
2
1
260 30
900
=
⋅
=
 мм .

Площадь прямоугольника:

A2
2
30 60
1800
=
⋅
=
 мм .

Площадь полукруга:

A
R
3

2
2
2
1
2

1
23 14 20
628
=
=
⋅
=
p
,
.
 мм

Координаты центров тяжести этих фигур (рис. 1.3):

т. С1 x1 = –20 мм; 
y1 = 10 мм;

т. С2 x2 = 15 мм; 
y2 = 30 мм;

т. С3 x3 = 30 + 4R / 3p = 30 + 4 · 20 / 3 · 3,14 =38,49 мм; y3 = 40 мм.

5. Определяем координаты центра тяжести сложного поперечного 

сечения

x
x A
x A
x A

A
A
A
c =
+
+

+
+
=

= ⋅
+
⋅
+
⋅
+

1
1
2
2
3
3

1
2
3
20 900
15 1 800
38,49 628
900
1 800
628
9,96 

10 900

+
=

=
=
+
+

+
+
=

=
⋅
+

 

 

мм;

y
S
A
y A
y A
y A

A
A
A
c
x
1
1
2
2
3
3

1
2
3

30 1 800
40 628

900
1 800
628
26,48 
⋅
+
⋅

+
+
=
 мм.

Согласно найденным координатам xc и yc показываем на чертеже 

центр тяжести сложного поперечного сечения (т. С).

Р е ш е н и е.  1. Выполняем в масштабе чертеж заданного сечения.
2. Разбиваем сложное сечение на простые геометрические фигуры 

(прямоугольник, треугольник и круг). Указываем на чертеже центры 
тяжести простых фигур (прил. 1): точки С1; С2; С3.

3. В качестве вспомогательных осей выбираем ось симметрии 

сложного сечения (ось y) и ось, проходящую через основание прямоугольника (ось x). Следует отметить, что выбор оси симметрии 
в качестве оси y позволяет не определять координату центра тяжести 
xc сложного сечения, т. к. вполне очевидно, что центр тяжести всегда 
будет лежать на этой оси.

4. Находим площади каждой из простых фигур и определяем коор
динаты их центров тяжести во вспомогательной системе осей x и y .

Площадь прямоугольника:

 
А1 = 60 · 40 = 2400 мм2.

Рис. 1.4. Симметричное поперечное сечение

Пример 1.2. Определить центр тяжести поперечного сечения, 

изоб раженного на рис. 1.4.

C2
x

xc

yc = 23

60

x1
C1

y

C3

C
40

30

6,67
20
x2

x3

40

D = 20

y1; y2; y3; yc