Численные методы

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

А.С. ШЕВЧЕНКО

Москва
ИНФРА-М

2022

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений, обучающихся 

по математическим, естественным и техническим направлениям подготовки 

(квалификация (степень) «бакалавр») (протокол № 6 от 16.06.2021)

УДК 519.6(075.8)
ББК 22.19я73
 
Ш37

Р е ц е н з е н т :

А.Г. Петрова, доктор физико-математических наук, профессор ка
федры дифференциальных уравнений Института математики и информационных технологий Алтайского государственного университета

ISBN 978-5-16-014605-8 (print)
ISBN 978-5-16-107164-9 (online)
© Шевченко А.С., 2021

Шевченко А.С.

Ш37  
Численные методы : учебное пособие / А.С. Шевченко. — Москва : 

ИНФРА-М, 2022. — 381 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — 
DOI 10.12737/996207.

ISBN 978-5-16-014605-8 (print)
ISBN 978-5-16-107164-9 (online)
В учебном пособии изложены основы численных методов решения 

задач математического анализа, линейной алгебры и обыкновенных дифференциальных уравнений. Значительное внимание уделено вопросам алгоритмизации методов. Может быть использовано при выполнении лабораторных, курсовых, выпускных квалификационных и исследовательских 
работ. Каждая тема содержит теоретическое обоснование и большое количество примеров решения практических задач с использованием математического пакета Maple.

Соответствует требованиям федеральных государственных образова
тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Предназначено для студентов, аспирантов, преподавателей вузов, а так
же для инженеров и научных работников, применяющих численные методы при решении прикладных задач.

УДК 519.6(075.8)

ББК 22.19я73

Данная книга доступна в цветном  исполнении 
в электронно-библиотечной системе Znanium.com

Предисловие

Математические модели, описывающие реальные процессы, как 
правило, настолько сложны, что не могут быть исследованы аналитически; в таких случаях используются численные методы, которые 
позволяют свести решение исходной задачи к выполнению конечного числа арифметических операций над числами и получить 
ответ в виде числа или набора чисел.
Численные методы являются основным инструментом решения 
современных прикладных задач. Вот почему численный анализ математических моделей (метода, алгоритма, программы, вычислительного эксперимента) является в настоящее время актуальным 
и наиболее эффективным аппаратом конструктивного исследования прикладных проблем.
Следует также подчеркнуть компьютерно ориентированный характер численных методов: в конечном итоге их реализация связана с применением вычислительной техники и программирования. 
Естественно, что прогресс в области вычислительной математики 
в немалой степени обусловлен новыми возможностями, связанными с развитием компьютерных ресурсов. Однако даже сравнительно высокая производительность современных компьютеров 
не снимает проблему разработки эффективных и экономичных 
в плане вычислительных затрат методов решения, специализированных для определенных классов задач. Проблема оптимизации 
(модификации, модернизации) вычислительных методов попрежнему сохраняет свою актуальность и определяет перспективу 
дальнейшего развития численного анализа.
Основное назначение пособия — облегчение работы преподавателя и повышение эффективности учебного процесса. Оно позволит дать студентам основные сведения о численных методах, 
которые необходимы для первоначального ознакомления с предметом, а также привить навыки алгоритмизации численных методов.
Пособие можно использовать при выполнении лабораторных, 
курсовых, выпускных квалификационных и исследовательских 
работ, так как оно содержит блок-схемы алгоритмов, с составлением 
которых у студентов чаще всего возникают основные трудности. 
Каждая тема содержит теоретическое обоснование и большое количество примеров решения задач с использованием современного 
математического пакета Maple.

Если содержание или количество учебных заданий, помещенных 
в лабораторный практикум, покажется избыточным, то преподаватели (кафедра) выберут столько заданий, сколько нужно.
Книга может быть полезна всем, кто изучает и применяет 
численные методы решения математических задач с помощью 
ЭВМ.
Учебное пособие состоит из семи глав и приложения.
Глава 1 посвящена элементам теории приближенных методов.
Глава 2 содержит методы решения задач линейной алгебры, 
в частности, подробно рассмотрены способы решения систем линейных алгебраических уравнений, вычисления определителя.
Методы решения нелинейных уравнений и систем описаны 
в главе 3.
В главе 4 рассмотрена обработка результатов эксперимента с помощью полиномиальной и сплайновой интерполяции, а также методом наименьших квадратов.
Методы численного дифференцирования и интегрирования изложены в главах 5 и 6.
В главе 7 представлено множество методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Все темы снабжены лабораторными заданиями, что позволяет 
использовать данное пособие в учебном процессе.
Приложение содержит основные сведения о работе в математическом пакете Maple.
В результате успешного изучения данного пособия студенты 
должны:
знать
 
• роль и место численных методов в системе наук; 
 
• источники возникновения погрешностей, методы их устранения;
 
• основные численные методы и алгоритмы решения математических задач: приближение функций и их производных, численное дифференцирование и интегрирование функций, численные методы решения систем линейных алгебраических 
уравнений, нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений, численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений;
 
• принципы построения численных методов решения задач;
 
• основные приемы программирования и использования современных интегрированных пакетов прикладных программ по численным методам для автоматизации решения инженерно-технических задач на ЭВМ;

уметь
 
• оценивать область применения численных методов, эффективность и погрешность численного решения;
 
• использовать основные численные методы решения математических задач;
 
• разрабатывать алгоритмы и программы для решения вычислительных задач, учитывая необходимую точность получаемого 
результата;
 
• использовать современные пакеты прикладных программ 
для реализации основных численных методов;
владеть
 
• основными численными методами решения математических 
задач;
 
• навыками работы с программными средствами профессионального назначения.

Глава 1. 
ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ 
ПРИБЛИЖЕННЫХ МЕТОДОВ

1.1. ИСТОЧНИКИ И КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

При решении задач на компьютере могут возникать погрешности 
(отклонения истинного решения от приближенного), искажающие 
результаты вычислений.
Анализ погрешностей в численном результате должен быть непременной составной частью любого серьезного вычисления, независимо от того, как проводится это вычисление — вручную или 
с помощью ЭВМ. Исходная информация редко бывает точной, так 
как зачастую исходные величины являются экспериментальными 
данными или основаны на приблизительных оценках. Кроме того, 
сами процессы вычислений могут вносить в результат различные 
ошибки.
На практике существует три основных вида погрешностей:
1) погрешности, содержащиеся в исходной информации. Математическое описание задачи в результате является неточным;
2) погрешности, возникающие при ограничении бесконечного 
математического процесса конечным числом операций. Зачастую 
получение точного решения задачи требует неограниченного 
или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэто му вместо получения точного решения приходится прибегать 
к приближенному;
3) погрешности, возникающие в результате необходимости 
представления числа в виде конечной последовательности цифр, 
другими словами, проведения округления. (Это же относится 
к вводу чисел в память ЭВМ и выводу полученных результатов.)
Эти виды погрешностей называются (рис. 1.1):
1) неустранимыми погрешностями;
2) погрешностями метода;
3) вычислительными погрешностями.
Математическая модель, принятая для описания процесса 
или явления, может внести в него существенные погрешности, 
если в ней не учтены какие-либо важные черты рассматриваемой 
задачи. В частности, математическая модель может прекрасно работать в одних условиях и быть совершенно неприемлемой в других; 
по это му важно правильно учитывать область ее применимости.

Численные методы также являются источниками погрешностей. 
Это связано, например, с заменой интеграла суммой, усечением 
рядов при вычислениях значений функций, интерполированием 
табличных данных и т.п. Как правило, погрешность численного метода регулируема, т.е. она может быть уменьшена до любого разумного значения путем изменения некоторого параметра (например, 
шага интегрирования, числа членов усеченного ряда и т.п.). Погрешность метода обычно стараются довести до величины, в несколько раз меньшей погрешности исходных данных. Ее дальнейшее снижение не приведет к повышению точности результатов, 
а лишь увеличит стоимость расчетов из-за необоснованного увеличения объема вычислений.

Полная погрешность

Неустранимая 
погрешность

Погрешность 
исходных данных

Погрешность метода

Погрешность математической модели

Вычислительная 
погрешность

Рис. 1.1. Виды погрешностей

При вычислениях с помощью ЭВМ неизбежны погрешности 
округлений, связанные с ограниченностью разрядной сетки машины. Обычно после выполнения операции проводится не округление результата, а отбрасывание лишних разрядов с целью экономии машинного времени. Правда, в современных машинах предусмотрена свобода выбора программистом способа округления; 
соответствующими средствами располагают и некоторые алгоритмические языки.
При решении сложных задач выполняются миллиарды операций, однако это вовсе не значит, что происходит механическое 
умножение погрешности при одном округлении на число операций, 
так как при отдельных действиях погрешности могут компенсировать друг друга (например, при сложении чисел разных знаков). 
Вместе с тем иногда погрешности округлений в сочетании с плохо 
организованным алгоритмом могут сильно исказить результаты.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую также 
может быть источником погрешностей, так как основание одной 
системы счисления не является степенью основания другой (например, 10 и 2). Это может привести к тому, что в новой системе 
счисления число становится иррацио нальным.

1.2. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ

Пусть A — точное значение некоторой величины, a — известное 
приближение к нему.
Абсолютной погрешностью Δa представления числа A числом a 
назовем модуль разности между точным A и приближенным a значениями: 

 
.
a
A
a
Δ
=
−
 
(1.1)

Возможны два случая:
1) если точное число A является известным, то абсолютная погрешность приближенного числа находится по формуле (1.1);
2) если точное число A является неизвестным, то по формуле 
(1.1) нельзя вычислить абсолютную погрешность. 
Поэтому будем пользоваться понятием границы абсолютной погрешности, которая удовлетворяет неравенству

 
|
|
.
a
a
A
a
Δ
=
−
≤ Δ  
(1.2)

Граница абсолютной погрешности, т.е. число, заведомо превышающее абсолютную погрешность, называется предельной абсолютной погрешностью.
Значение точного числа A всегда заключено в границах

 
.
a
a
a
A
a
− Δ
≤
≤
+ Δ  
(1.3)

Этот факт обычно кратко фиксируют так: 
.
a
A
a
=
± Δ

Относительной погрешностью δ(а) представления числа А числом а называется отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению приближенной величины: 

 
.
a
a
a
Δ
δ
=
 
(1.4)

Предельная относительная погрешность — это положительное 
число δа (заведомо превышающее относительную погрешность) 
такое, что

.
a
a
a
a
Δ
δ
=
≤ δ  
(1.5)

Из соотношения (1.5) вытекает, что 
.
a
a
a
Δ
≤
δ

Определение предельной относительной погрешности позволяет 
установить связь между предельной абсолютной и предельной относительной погрешностями:

 
.
a
a
a
Δ
=
δ  
(1.6)

Значение точного числа A всегда заключено в следующих границах:

 
 (1
)
(1
).
a
a
a
A
a
− δ
≤
≤
+ δ
 
(1.7)

Этот факт обычно коротко фиксируют так: 
(1
).
a
A
a
=
± δ

Таким образом, относительная погрешность применяется 
для определения точности результата; она показывает, насколько 
велика погрешность по сравнению с самим числом. Абсолютная погрешность обычно используется для округлений результатов.
Пример 1.1. Найдем абсолютную и относительную погрешности, если А = 3,141592, а = 3,14.
Решение.

 

3,141592
3,14
0,001592
;

0,001592
( )
0,000507
.
3,14

a

a
a

a
A
a

a
a

Δ
=
−
=
−
=
≤ Δ

Δ
δ
=
=
=
≤ δ

Пример 1.2. Вес 1 дм3 воздуха при температуре 10°С m = 987,356 ± 
± 0,001 г. Определим предельную относительную погрешность 
взвешивания.
Решение. Δm = 0,001. Воспользуемся формулой (1.6): Δm = 
,
m
m δ
 

и в результате получим 
6
4
0,001
10
10 %.
987,356

m
m
m

−
−
Δ
δ
=
=
≈
=
 

Пример 1.3. При определении скорости света в вакууме получили следующий результат: с = 299 729 м/с. Зная, что предельная 
относительная погрешность этого значения равна 0,01%, найдем 
пределы, в которых заключается с. 
Решение. 
Имеем δс = 0,01% = 0,00001, тогда 
3.
c
c
c
Δ =
δ ≈
 Следовательно, 

с
с
с
С
с
− Δ ≤
≤
+ Δ , т.е. 299 789 ≤ C ≤ 29 795.

1.3. ДЕСЯТИЧНАЯ ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ. 
ЗНАЧАЩАЯ ЦИФРА ЧИСЛА. ВЕРНАЯ ЗНАЧАЩАЯ ЦИФРА

Любое десятичное положительное число а можно представить 
в виде конечной или бесконечной десятичной дроби:

  
1
1
1
2
10
10
...
10
...,
m
m
m n
m
a
−
− +
= α
+ α
+
+ α
+
  
(1.8)

где αi — цифры числа (i = 1, 2, …, m), α1 ≠ 0; m — некоторое целое 
число, являющееся старшим десятичным разрядом числа a; n — количество значащих цифр.
Пример 1.4. Представим число 7777,77 в виде десятичной дроби.
Решение.

 
7777,77 = 7 · 103 + 7 · 102 + 7 · 101 + 7 · 100 + 7 · 10–1  + 7 · 10–2.

Пример 1.5. Представим число е = 2,7182… в виде десятичной 
дроби.
Решение. 

 
2,7182… = 2 · 100 + 7 · 10–1 + 1 · 10–2 + 8 · 10–3 + 2 · 10–4 + …   

Значащие цифры числа — это все цифры в его записи, отличные 
от нуля, и нули, если они содержатся между значащими цифрами 
или цифрами, расположенными в конце числа, и указывают на сохранение разряда точности. Нули, стоящие левее первой отличной 
от нуля цифры, не являются значащими.
Например, числа 0,032087, 0,0401870000, 6,0400 имеют соответственно 5, 9, и 5 значащих цифр.
Приближенное число a содержит n верных значащих цифр 
в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, выражаемого 
n-й значащей цифрой, считая слева на право, т.е. если выполнено 
неравенство

 
Δа ≤ 0,5 · 10m–n+1. 
(1.9)

Если это неравенство не выполняется, то цифру αn называют 
сомнительной. Очевидно, если цифра αn верная, то все предшествующие цифры тоже верны. 
Пример 1.6. Дано точное число А = 17,976. Число а = 17,98 является приближенным числом с четырьмя верными знаками 
в узком смысле, так как 
1
0,5 10m n
a
− +
Δ
≤
⋅
: