Траекторные измерения

С. Ф. Еналеев 
ТРАЕКТОРНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ 
Практическое пособие 
Москва  Вологда 
«Инфра-Инженерия» 
2021

УДК 621.371.3:520.8 
ББК 26.11 
Е61 
Р е ц е н з е н т ы :
Рубцов И. В., кандидат технических наук, профессор, заведующий кафедрой 
инженерной геодезии Московского государственного 
строительного университета;
Симонян В. И., кандидат технических наук, доцент (кафедра инженерной 
геодезии Московского государственного строительного университета)
Е61 
Еналеев, С. Ф. 
Траекторные измерения : практическое пособие / С. Ф. Еналеев. - 
Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2021.  124 с. : ил., табл. 
ISBN 978-5-9729-0627-7 
Даются основные сведения, относящиеся к содержанию траекторных 
измерений, анализу источников возможных ошибок и учету этих ошибок при 
определении пространственного местонахождения объектов. Построение методов траекторных измерений выполнено на поверхности земного эллипсоида. 
Это значительно повышает точность определения пространственных координат 
на протяженных трассах и относительных координат совместного положения 
сближающихся объектов при измерении на углах места, близких к зениту. 
Для инженерно-технического персонала испытательных полигонов, специалистов в области траекторных измерений и разработчиков программного 
обеспечения измерительно-вычислительных комплексов. 
УДК 621.371.3:520.8 
ББК 26.11 
ISBN 978-5-9729-0627-7  
” С. Ф. Еналеев, 2021 
” Издательство «Инфра-Инженерия», 2021 
” Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2021 

Оглавление 
 
 
Глава 1. Сущность траекторных измерений ………………………………… 4 
 
Глава 2. Методы траекторных измерений …………………………………. 12 
 
Глава 3. Средства траекторных измерений ………………………………... 21 
 
Глава 4. Система единого времени …………………………………………. 27 
 
Глава 5. Точность траекторных измерений ………………………………... 29 
 
Глава 6. Методы обработки измерений ……………………………………. 70 
 
Глава 7. Измерение взаимного положения объектов ……………………..100 
 
Глава 8. Организация траекторных измерений …………………………... 109 
 
 
Приложение. Пример расчёта угла рефракции на наклонных  
трассах ………………………………………………………………………. 116 
 
Литература ………………………………………………………………….. 119 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 

Глава 1 
 
СУЩНОСТЬ ТРАЕКТОРНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 
 
 
Задачей траекторных измерений является определение пространственного 
положения совершающего полёт объекта. 
Обычно траектория представляется в трёхмерных прямоугольных системах координат, связанных с Землёй. Если начало земной системы координат 
совмещается с центром Земли, то такая система называется геоцентрической. 
Системы координат с началом на поверхности Земли называются топоцентрическими. 
Основным направлением в пространстве, с которым связаны топоцентрические системы координат, является направление отвеса (направление силы тяжести). Поверхности, всюду перпендикулярные (нормальные) к линиям отвеса, 
называются уровенными, а та из них, которая совпадает с воображаемой поверхностью океанов и открытых морей в их спокойном состоянии, мысленно 
продолженной под всеми материками, - поверхностью геоида. Она принимается за теоретическую фигуру Земли. Поскольку направление силы тяжести 
определяется внутренним строением наружного слоя Земли и не является постоянным, геоид имеет настолько сложную форму, что её нельзя выразить каким-либо конечным математическим уравнением. Поэтому поверхность геоида 
не может быть выбрана в качестве отсчётной (координатной) поверхности, 
обеспечивающей выполнение обработки геодезических измерений. Она аппроксимируется наиболее подходящей для геоида поверхностью эллипсоида 
вращения с небольшим сжатием вдоль его малой оси. 
Математические точки пересечения малой оси (оси вращения Земли) с поверхностью эллипсоида называются географическими полюсами (северным и 
южным); круг, равноудалённый от полюсов и делящий поверхность эллипсоида 
на два полушария, - экватором; линии пересечения поверхности эллипсоида 
плоскостями, параллельными экватору, - параллелями, а вертикальными плоскостями, проходящими через ось вращения, - меридианами. 
Из любой точки земной поверхности можно провести нормаль к поверхности эллипсоида. Это даёт возможность использовать направление нормали для 
однозначного установления места положения точки с помощью трёх геодезических (географических) координат: широты В , долготы L и высоты Н  (рис. 1). 
В  - это угол между плоскостью экватора и нормалью к поверхности земного эллипсоида. Он отсчитывается от экватора по дуге меридиана к северному 
и южному полюсам Земли, принимая значения от 0 до “90Û. Северные широты 
являются положительными, южные - отрицательными. 
L - это двугранный угол, составленный плоскостями начального и местного меридианов. За начальный принят меридиан, проходящий через Гринвичскую обсерваторию, расположенную вблизи Лондона. Плоскостью местного 
меридиана называется плоскость, проходящая через нормаль к эллипсоиду в 
4 
 

данной точке и ось вращения Земли. Угол L отсчитывается от начального меридиана к востоку и к западу по окружности экватора, принимая значения от 0 
до “180Û. Восточные долготы являются положительными, западные - отрицательными. 
Н  - это расстояние от поверхности эллипсоида до данной точки, откладываемое по нормали. 
 
 
 
Рис. 1. Геодезическая (географическая) система координат 
 
 
В общем случае направление нормали к поверхности земного эллипсоида 
не совпадает с направлением линии отвеса. Угол между ними, называемый 
уклонением отвесной линии, для большей части эллипсоида не превышает  
3-4. Максимальное его значение достигает 40. 
В плоскости меридиана положение точки на поверхности эллипсоида однозначно определяется также с помощью полярных геоцентрических координат: геоцентрической широты 
 
 
 
2
b
Ф
arctg
tgB
a
ª
º
§
·
 
«
»
¨
¸
©
¹
¬
¼
  
 
и радиуса Земли 
 
 
 
2
2
2
2
2
2
2
,
sin
cos
sin
cos
з
ab
b
R
a
Ф
b
Ф
b
Ф
Ф
a
 
 

§
·
 ¨
¸
©
¹
 
где a, b - большая и малая полуоси земного эллипсоида (рис. 2). 
5 
 

 
 
Рис. 2. Геоцентрическая полярная система координат 
 
 
На территории нашей страны при обработке геодезических измерений пользуются эллипсоидом Красовского, имеющим а   6378245 м и b   6356863 м. 
Если начало топоцентрической системы координат 
о
g
g
g
O X Y Z  (рис. 3) поместить в какой-либо точке на поверхности Земли, одну из трёх осей 
о
g
О Y  
направить вверх по нормали к уровенной поверхности, а две другие 
о
g
О X  и 
о
g
О Z  расположить в плоскости, перпендикулярной к нормали, то такая система 
будет называться нормальной земной системой координат. Направление оси 
о
g
О X  задаётся горизонтальным углом географического (истинного) азимута А, 
который отсчитывается по часовой стрелке от северного направления полуденной линии, являющейся касательной в точке 
о
О  к дуге проходящего через эту 
точку меридиана. Величина угла А изменяется от 0 до 360Û. Ось 
о
g
О Z  дополняет систему до правой. 
Положение объекта, принимаемого за материальную точку, по отношению 
к началу нормальной земной системы координат определяется горизонтальным 
углом E , вертикальным углом H  и расстоянием D , которые составляют топоцентрическую сферическую систему координат (рис. 3). 
 
 
Рис. 3. Нормальная земная система координат 
6 
 

E  - это угол между осью 
о
g
О X  и направлением на проекцию объекта на 
горизонтальную плоскость. Он называется азимутом и отсчитывается по часовой стрелке от 0 до 360Û. 
H  - это угол между горизонтальной плоскостью и направлением на объект. 
Он называется углом места и отсчитывается против часовой стрелки от 0 до 
360Û. 
Расстояние D  между точкой 
о
О  и объектом называется наклонной дальностью. 
Зависимость между нормальной земной и сферической системами координат устанавливается соотношениям 
 
x
D
H
E
cos cos
g
y
D
H
sin
.
g
 
 
(1.1) 
z
D
H
E
cos sin
g
½
 
°
 
¾
°
 
¿
 
Если нормальную земную систему координат связать и измерительным 
средством, наблюдающим полёт объекта, то сферические координаты будут 
выражать собой измеряемые параметры, обеспечивающие определение пространственного положения объекта относительно измерительного средства. 
С точки зрения оценки лётных характеристик траекторию полёта объекта 
наиболее удобно представлять в нормальной земной системе координат, начало 
которой совпадает с каким-либо особым местом на самом объекте, скажем, срезом сопла ракеты в начальный момент движения. Эта система координат называется стартовой 
о
с
с
с
O X Y Z . В ней ось 
о
с
О X  указывает основное направление 
полёта объекта (пуска ракеты, стрельбы и т.п.). Так как стартовая система координат и нормальная земная система координат, связанная с измерительным 
средством, которую назовём местной, находятся в разных точках земной поверхности, то представление траектории в стартовой системе координат достигается только её пересчётом тем или иным способом, обусловленным методом 
траекторных измерений. 
Итак, сущность траекторных измерений заключается в определении пространственного положения летящего объекта относительно измерительного 
средства и представлении его в требуемой системе координат. 
Очень часто положение точки на земной поверхности задаётся не в геодезической, а в плоской системе координат Гаусса, которая получается при изображении поверхности земного эллипсоида на плоскости в виде 60 отдельных 
координатных зон, образованных меридианами с разностью долгот, кратной 6Û, 
и соприкасающихся одна с другой на экваторе (рис. 4). Отсчёт зон ведётся с запада на восток, начиная с Гринвичского меридиана. В каждой из них изображения осевого (центрального) меридиана и окружности экватора являются взаимно перпендикулярными линиями, точка пересечения которых служит началом  
7 
 

 
 
Рис. 4. Зональная прямоугольная (топографическая) система координат 
 
 
отсчёта прямоугольных координат Х  и Y . При этом координатная ось ОХ  
направлена с юга на север по осевому меридиану, а ось ОY  с запада на восток. 
Для удобства при вычислениях, чтобы избежать отрицательных значений 
координаты Y , её начало условно переносится на 500 км к западу, а для устранения неоднозначности оценки, так как во всех 60 зонах будет иметься точка с 
одинаковыми координатами, дополнительно перед координатой Y  проставляется номер нужной зоны. Например, запись Х   4376114 м, Y   12383650 м 
означает, что точка находится в 12 зоне севернее экватора на 4376114 м и левее 
осевого меридиана на 116350 м (383650 - 500000 = - 116350). Система плоских 
координат находит широкое применение при работе с топографическими картами, поэтому координаты Х  и Y  называются ещё топографическими. 
Если начало местной или стартовой систем координат задано топографическими координатами, то перейти от них к геодезическим можно по формулам 
сфероидической геодезии, которые позволяют непосредственно вычислить широту В  и разность A  между искомой долготой и долготой осевого меридиана 
 
 
o
l
L
L
 

, 
 
откуда 
 
 
o
L
L
l
 
 . 
 
 
 
8 
 

Долгота осевого меридиана, выраженная в радианах, находится по формуле 
 
 
(2
1)
60
o
L
m
S
 

, 
 
где  m - номер координатной зоны, который представляется целой частью 
числа 
6
10
Y
K

 
˜
 без округления. 
Вычисление координат В  и A  удобно осуществлять, используя формулы, 
составленные для реализации на компьютере [9]: 
 
 
2
2
2
4
2
[1
(
0,12
)
]
x
y
y
y
B
B
b
b
E
E
E
 



˜
˜
˜
˜
, 
 
2
2
3
5
[1
(
)
]
y
y
y
l
b
b
E
E
E
 


˜
˜
˜
, 
 
где 
 
 
2
2
2
10
^50221746
[293622
(2350
22cos
)cos
]cos
` 10
sin
cos
x
x
x
x
x
x
x
B
b
b
b
b
b
b

 




˜
, 
 
 
,
6367558,4969
х
Х
E  
 
 
 


5
(2
1)5 10 ,
cos
у
x
x
N
B
K
E

˜
 
 
 
 
K

 - число K  с обнулённой целой частью; 
 
 
2
2
2
6399698,902
21562,267
(108,973
0,612cos
)cos
cos
x
x
x
x
N
B
B
B
 



ª
º
¬
¼
, 
 
2
2
(0,5
0,0033692cos
)sin
cos
x
x
x
b
B
B
B
 

 
 
2
2
3
0,333333
(0,166667
0,001123cos
)cos
x
x
b
B
B
 


, 
 
 
2
2
4
0,25
(0,16161
0,00562cos
)cos
x
x
b
B
B
 


, 
 
 
2
2
5
0,2
(0,1667
0,0088cos
)cos
x
x
b
B
B
 


. 
 
По приведённым выше формулам координаты В  и A  получаются в радианах. В пределах координатной зоны ошибка вычисления не превышает 0,0001. 
При решении практических задач, связанных с ориентированием, направление линий, кроме географического азимута A, задают также магнитным азимутом 
m
A  и дирекционным углом D . 
Магнитный азимут отсчитывается от северного направления магнитного 
меридиана по часовой стрелке и принимает значения от 0 до 360Û. Он может 
9 
 

быть непосредственно измерен с помощью геодезического теодолита, буссоли 
или компаса. 
Магнитным меридианом называется направление магнитной оси свободно 
подвешенной и уравновешенной в плоскости горизонта магнитной стрелки. 
Направления магнитного и географического меридианов не совпадают и пересекаются под некоторым углом G , называемым магнитным склонением. Если 
магнитный меридиан отклоняется к востоку от географического меридиана, то 
угол G  имеет знак плюс (восточное склонение), если же к западу - знак минус 
(западное склонение). Переход от магнитного азимута к географическому осуществляется по формуле 
 
 
m
A
A
G
 

. 
 
Следует отметить, что магнитное склонение в каждой точке земной поверхности непрерывно изменяется и зависит от колебаний магнитных полюсов 
Земли. Поэтому для получения точных результатов ориентирования необходимо всякий раз перед проведением геодезических измерений производить оценку значения угла G . 
Дирекционный угол D  отсчитывается от северного направления осевого 
меридиана координатной зоны (вертикальной линии координатной сетки топографической карты) по часовой стрелке от 0 до 360Û. Для того, чтобы перейти 
от дирекционного угла к географическому азимуту, необходимо учесть угловую поправку на сближение меридианов J : 
 
 
А
D
J
 

. 
 
J  - это угол между полуденными линиями двух точек, лежащих на одинаковой широте, но на разных меридианах, один из которых является осевым 
(рис. 5). Сближение меридианов считается положительным, если точка, для которой оно определяется, расположена к востоку от осевого меридиана и отрицательным, если - к западу. 
 
 
 
Рис. 5. Угол сближения меридианов 
10