Алгебраические и трансцендентные системы уравнений

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
А. М. Кытманов  
 
 
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ 
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 
 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск  
СФУ 
2019 

УДК 519.615+511.522 
ББК  22.143+22.192.31 
К978 
 
 
Р е ц е н з е н т ы :  
Н. Тарханов, доктор физико-математических наук, профессор 
(Университет Потсдама, Германия);  
А. Садуллаев, доктор физико-математических наук, профессор 
(Национальный университет Узбекистана, Узбекистан) 
 
 
 
Кытманов, А. М. 
К978 
 
Алгебраические и трансцендентные системы уравнений : монография / А. М. Кытманов ; науч. ред. Е. К. Лейнартас. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2019. – 356 с. 
ISBN 978-5-7638-4158-9 
 
Монография посвящена исследованию алгебраических и трансцендетных систем уравнений. Приведены утверждения об аналогах формул Ньютона для целых функций, о количестве нулей целой функции на комплексной плоскости, их расположении, о результанте двух целых функций. Рассмотрены 
алгебраические 
системы 
уравнений. 
Подробно 
изложены 
модифицированный 
метод 
исключения 
неизвестных, 
предложенный 
Л. А. Айзенбергом, и его отличие от классического метода и метода базисов 
Гребнера. Исследованы различные типы трансцендентных систем уравнений: вычетные интегралы, степенные суммы обратных величин корней и их 
связь с вычетными интегралами (аналоги формул Варинга), разные примеры 
трансцендентных систем уравнений. 
Предназначена для специалистов по многомерному комплексному анализу, а также студентов и аспирантов. 
 
Электронный вариант издания см.: 
УДК 519.615+511.522 
http://catalog.sfu-kras.ru 
ББК 22.143+22.192.31 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7638-4158-9 
© Сибирский федеральный  
университет, 2019 

Предисловие

Монография посвящена исследованию алгебраических и трансцендетных систем уравнений. В первой главе приведены утверждения об аналогах формул Ньютона для целых функций, о количестве нулей целой
функции на комплексной плоскости и их расположении: количестве вещественных нулей и чисто мнимых нулей, аналоге правила знаков Декарта и теореме Бюдана–Фурье, о результанте двух целых функций.
Во второй главе рассмотрены алгебраические системы уравнений.
Сначала приведены теоремы о вычете Гротендика, о многомерном логарифмическом вычете. Затем изложен многомерный метод исключения неизвестных. Вопрос этот конечно не является новым. Но здесь
подробно изложен модифицированный метод исключения неизвестных,
предложеный Л.А. Айзенбергом и основанный на нахождении степенных сумм корней в системе и формулах Ньютона. Рассмотрено его отличие от классического метода и от метода базисов Гребнера. Параграф
2.5 написан А.А. Кытмановым.
В третьей главе подробно исследованы различные типы трансцендентных систем уравнений: простых, треугольных с линейной младшей
однородной частью, с общей младшей однородной частью. Поскольку
число корней таких систем, как правило, бесконечно, то необходимо
было исследовать степенные суммы корней от обратных их величин.
Приведены формулы для нахождения вычетных интегралов, их связь
со степенными суммами обратных величин корней и с вычетными интегралами (получены многомерные аналоги формул Варинга), различные
примеры трансцендентных систем уравнений и вычисления многомерных числовых рядов.
В целом монография связана с монографией В.И. Быкова, А.М. Кытманова и М.З.Лазмана "Методы исключений в компьютерной алгебре
многочленов" (Наука, Новосибирск: 1989).

3

Нумерация параграфов сквозная. Нумерация теорем, лемм, предложений и формул — тройная и состоит из номера параграфа и номера
теоремы, леммы, предложения или формулы. Конец доказательства отмечается знаком 2.
Автор был поддержан грантом РФФИ, 18-51-41011 Узб, а кроме того
грантом 14.Y26.31.0006 Правительства Российской Федерации для поддержки научных школ под руководством ведущего ученого в Сибирском
федеральном университете.

4

Глава 1

Алгебраические и трансцендентные
уравнения на комплексной
плоскости

1.1. Логарифмический вычет

Сначала напомним некоторые факты из комплексного анализа. Все
определения и утверждения этого параграфа можно найти в классических учебниках по теории функций одного комплексного переменного
[56, 74, 107].
Пусть C — поле комплексных чисел. Элементы z ∈ C имеют вид
z = x + iy, где x, y — вещественные числа (x, y ∈ R), а i есть мнимая
единица (i2 = −1);

|z| = (x2 + y2)1/2, ¯z = z − iy, Re z = x, Im z = y.

Можно также представить комплексные числа в тригонометрической форме: z = r(cos φ + i sin φ), где r = |z|, а φ = Arg z. Аргумент
комплексного числа определяется с точностью до слагаемого, кратного
2π. В силу формулы Эйлера комплексное число можно также представить в экспоненциальной форме: z = reiφ.
Топология поля C дается метрикой d(z, w) = |z − w|. Как обычно,
область D ⊂ C это открытое связное множество, а компакт K ⊂ C это
замкнутое ограниченное множество. Обозначим через C(F) класс комплексно значных непрерывных функций, определенных на множестве
F.

5

Напомним, что комплексно значная функция f голоморфна в области D, если для каждой точки z0 ∈ D существует степенной ряд вида

∞
∑

n=0
cn(z − z0)n,

который сходится к f в некотором круге радиуса r > 0 с центром в
точке z0. Далее будем обозначать этот круг через Ur(z0). Например,
любой полином
P(z) = a0 + a1z + . . . + anzn

(aj ∈ C, j = 0, 1, . . . , n) является голоморфной функцией на комплексной плоскости C, а любая рациональная функция R(z) = P(z)/Q(z) (P
и Q — полиномы) голоморфна в C за исключением точек, в которых
знаменатель Q равен нулю.
Функции f(z) = |z| и φ(z) = ¯z не являются голоморфными в любой
области D.
Элементарные функции, определенные для вещественных значений,
аргумента продолжаются до голоморфных функций (в некоторые области) с помощью их тейлоровских разложений. Например, функции

ez =

∞
∑

n=0

zn

n! ,
sin z =

∞
∑

n=0

(−1)nz2n+1

(2n + 1)! ,
cos z =

∞
∑

n=0

(−1)nz2n

(2n)!
.

Более того, эти ряды сходятся во всей плоскости C.
Фундаментальную роль в теории функций играет теорема Коши.
Пусть функция f голоморфна в ограниченой области D и непрерывна
в ее замыкании D. Предположим, что граница ∂D области D состоит из
конечного числа гладких кривых (каждая γ входит в ∂D с ориентацией
такой, что при обходе вдоль этой кривой γ область D остается слева).
Если
f(z) = u(x, y) + iv(x, y),

где u, v есть вещественно значные функции (z = x + iy), то

f(z)dz = (u + iv)(dx + idy) = udx − vdy + i(udy + vdx).

6

Поэтому мы можем определить
∫

γ
f(z)dz

(γ есть кривая с заданной ориентацией) как
∫

γ
f(z)dz =
∫

γ
(udx − vdy) + i
∫

γ
(udy + vdx)

(криволинейный интеграл второго рода).

Теорема 1.1.1 (Коши). При сделанных предположениях интеграл
∫

∂D
f(z)dz = 0.

Теорема Коши есть в действительности следствие того факта, что
голоморфная функция f удовлетворяет уравнениям Коши–Римана:

∂u
∂x = ∂v

∂y,
∂u
∂y = −∂v

∂x
(f = u + iv).

Если мы определим формальные производные функции f следующим образом:

∂f
∂z = 1

2

(∂f

∂x − i∂f

∂y

)
= 1

2

(∂u

∂x + ∂v

∂y

)
+ 1

2i
(
−∂u

∂y + ∂v

∂x

)
,

∂f
∂¯z = 1

2

(∂f

∂x + i∂f

∂y

)
= 1

2

(∂u

∂x − ∂v

∂y

)
+ 1

2i
(∂u

∂y + ∂v

∂x

)
,

тогда уравнения Коши–Римана могут быть записаны более выразительно:
∂f
∂¯z = 0.

Пусть функция f голоморфна в круге UR(a) с центром в точке a,
исключая (быть может) саму точку a, и пусть γr — граница Ur(a), где
0 < r < R, γr ⊂ UR(a). Ориентация γr задана обходом против часовой
стрелки.

7

Локальный вычет
res
a f

функции f в точке a определяется по формуле

res
a f =
1
2πi

∫

γr
f(z)dz.

Теорема Коши показывает, что res
a f не зависит от радиуса r.
Пример 1.1.1. Найдем

res
a (z − a)n,

где n — целое число (n ∈ Z). Рассмотрим следующую параметризацию
γr : z = a + reiφ, 0 ⩽ φ ⩽ 2π. Тогда (z − a)n = rneinφ, а dz = ireiφdφ на
γr (мы использовали экспоненциальную форму комплексного числа z).
Тогда
∫

γr
(z − a)ndz = irn+1
∫ 2π

0
ei(n+1)φdφ =

= ir(n+1)
∫ 2π

0
(cos(n + 1)φ + i sin(n + 1)φ)dφ = 0,

если n + 1 ̸= 0. При n = −1 получаем
∫

γr

dz

z − a = i
∫ 2π

0
dφ = 2πi.

Поэтому res
a (z − a)n = 0, если n ̸= −1, и res
a (z − a)−1 = 1.

Появление множителя 1/(2πi) в определении вычета связано с тем
фактом, что
∫

γr

dz

z − a = 2πi.

Рассмотрим для f(z) разложение в ряд Лорана:

f(z) =

+∞
∑

n=−∞
cn(z − a)n,

8

сходящийся в Ur(a), кроме самой точки a. Используя пример 1.1.1, получам

res
a f =
1
2πi

∫

γr
f(z)dz =
1
2πi

+∞
∑

n=−∞
cn

∫

γr
(z − a)ndz = c−1.

Отсюда вычет
res
a f = c−1,

т.е. вычет функции равен коэффициенту при z−1 в разложении Лорана
с центром в точке a функции f. Это свойство является основным при
вычислении вычета.
Логарифмический вычет есть специальный случай вычета. Он тесно связан с числом нулей функции. Пусть f — голоморфная функция
в круге UR(a), и пусть a — корень уравнения f(z) = 0 (т. е. пусть a —
нуль функции f). Если f(z) = (z − a)nφ(z), где φ голоморфна в UR(a),
и φ(a) ̸= 0, тогда число n называется кратностью нуля a функции
f. Если n = 1, тогда ноль a называется простым (он характеризуется
условием, что f ′(a) ̸= 0). Пусть функция h голоморфна в UR(a). Логарифмический вычет функции h в точке a определяется интегралом

1
2πi

∫

γr

hdf
f
=
1
2πi

∫

γr

hf ′dz

f
= res
a
hf ′

f ,

где, как и раньше, γr — окружность радиуса r с центром в точке a,
лежащая в UR(a). Название "логарифмический" отражает тот факт,

что отношение f ′

f есть логарифмическая производная (ln f)′ функции

f.
Если a — нуль кратности n функции f, тогда f(z) = (z − a)nφ(z)
and φ(a) ̸= 0. Следовательно,

f ′(z)
f(z) = n(z − a)n−1φ(z) + (z − a)nφ′(z)

(z − a)nφ(z)
=
n

z − a + φ′(z)

φ(z) ;

res
a
hf ′

f
= n

2πi

∫

γr

h(z)dz
(z − a) + 1

2πi

∫

γr

h(z)φ′(z)dz

φ(z)
.

9

Поскольку φ(a) ̸= 0, то можно считать, что φ ̸= 0 in UR(a). Поэтому
функция hφ′/φ голоморфна в UR(a), так что по теореме Коши
∫

γr

hφ′

φ dz = 0.

Разлагая h в ряд Тейлора в UR(a), получаем

h(z) =

∞
∑

n=0
cn(z − a)n
(c0 = h(a)).

Следовательно,

h(z)
z − a =

∞
∑

n=0
cn(z − a)n−1 = h(a)

z − a +

∞
∑

n=0
cn+1(z − a)n

поэтому (см. пример 1.1.1.)
∫

γr

h(z)dz
z − a = h(a)2πi.

Так что получаем

res
a
hf ′

f
= nh(a).

В частности,

res
a
f ′

f = n,

если h ≡ 1.
Отсюда, используя теорему Коши, получаем теорему о логарифмическом вычете. Пусть D — область, ограниченная конечным числом
гладких кривых (ориентированных таким же образом, как и в теореме
Коши). Пусть функция h голоморфна в D и непрерывна на D, а функция f голоморфна в окрестности D. Далее предположим, что f ̸= 0 на
∂D. Тогда f имеет конечное число нулей в D. Обозначим это множество через Ef. Если a — нуль кратности n, тогда предполагается, что n
копий a содержатся в Ef.

10