Динамические системы и модели биологии

Братусь А.С.

Новожилов А.С.
Платонов А.П.

Динамические

системы  и

модели биологии

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517.938, 574.34
ББК 22.161, 28.080.30
Б 87

Б р а т у с ь А. С., Н о в о ж и л о в А. С., П л а т о н о в А. П. Динамические системы и
модели в биологии. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 400 с. — ISBN 978-5-9221-1192-8.

В этой книге дается изложение теории динамических систем и рассматриваются ее приложения к биологии. Наряду с классическими математическими моделями биологии, такими
как хищник–жертва Лотка-Вольтерры и Гаузе, конкуренции видов, распространения эпидемий
Кермака-Маккендрика и др. в книге рассматривается большое число моделей, которые были
предложены совсем недавно: модели эволюции семейств генов, распространения эпидемий в
неоднородных популяциях, взаимодействия загрязнения с окружающей средой, распределенного гиперцикла. Излагаются как теоретические, так и практические методы исследования
нелинейных динамических систем, возникающих при математическом моделировании биологических и иных методологически родственных процессов. Текст снабжен многочисленными
иллюстрациями, большая часть которых получена в результате численных расчетов.
Книга предназначена студентам, аспирантам и специалистам в области создания математических моделей.

Научное издание

БРАТУСЬ Александр Сергеевич
НОВОЖИЛОВ Артем Сергеевич
ПЛАТОНОВ Андрей Петрович

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ В БИОЛОГИИ

Редактор Ю.А. Тюрина
Оригинал-макет: Автор

Подписано в печать 18.12.09. Формат 70100/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 32,5.
Уч.-изд. л. 35. Тираж экз. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru

Неизвестная типография
...
...
...
...

ISBN 978-5-9221-1192-8

9+HifJ
C-LLLTMS+

ISBN 978-5-9221-1192-8

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2009

c⃝ А. С. Братусь, А. С. Новожилов, А. П. Платонов,
2009

Оглавление

Введение
7

1
Математические модели в биологии
10
1.1
Понятие динамической системы. Примеры
. . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2
Качественный анализ дифференциального уравнения . . . . . . . . . .
18
1.3
Модели роста численности изолированной популяции . . . . . . . . . .
27
1.4
Математическая модель популяционной вспышки насекомых
. . . . .
32
1.5
Математические модели рыболовства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.6
Модели качественные и количественные . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.7
Переход к безразмерным переменным
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.8
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

2
Приложения линейных динамических систем
46
2.1
Анализ устойчивости положения равновесия . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.2
Законы роста организма. Модель размножения клеток
. . . . . . . . .
51
2.3
Степенной закон эволюции семейств белковых доменов . . . . . . . . .
54
2.4
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61

3
Одномерные динамические системы с дискретным временем
63
3.1
Простейшие дискретные модели роста популяции
. . . . . . . . . . . .
64
3.2
Графическая процедура построения решения . . . . . . . . . . . . . . .
67
3.3
Примеры анализа систем, заданных качественным образом . . . . . . .
70
3.4
Устойчивость неподвижных точек
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
3.5
Периодические решения. Хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
3.6
Показатель Ляпунова в одномерном случае . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3.7
Некоторые распространенные модели популяционной динамики . . . .
88
3.8
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

4
Элементы анализа систем с непрерывным временем
94
4.1
Свойства решений систем дифференциальных уравнений . . . . . . . .
94
4.2
Классификация положений равновесия
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
4.3
Первые интегралы. Функция Ляпунова
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4
Предельные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.5
Одномерное движение частицы в потенциальном поле . . . . . . . . . . 107

Оглавление

4.6
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5
Элементы теории межпопуляционных отношений
112
5.1
Классификация межвидовых отношений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2
Система Лотки–Вольтерры «хищник–жертва» . . . . . . . . . . . . . . 114
5.3
Система «хищник–жертва» с учетом внутривидовой конкуренции . . . 119
5.4
Модели конкуренции. Принцип конкурентного исключения Гаузе . . . 121
5.5
Модели мутуализма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.6
Учет дополнительных факторов при записи математической модели . 127
5.7
Модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой
. . . . . . 130
5.8
Математическая модель очистки сточных вод
. . . . . . . . . . . . . . 135
5.9
Математическая модель воздействия на растущую опухоль . . . . . . . 138
5.10 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6
Математические модели распространения эпидемий
145
6.1
SIR модель и основное репродуктивное число . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2
SIR модель с учетом демографических процессов
. . . . . . . . . . . . 152
6.3
Вычисление R0 в общем случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.4
Функция передачи инфекции и трофические функции
. . . . . . . . . 160
6.5
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7
Биологические осцилляторы
168
7.1
Периодические решения непрерывных систем . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.2
Анализ модели Гаузе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.3
Бифуркация рождения цикла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.4
Системы, находящиееся под внешним воздействием . . . . . . . . . . . 184
7.5
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

8
Многомерные модели с непрерывным временем
192
8.1
Понятие экологической устойчивости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.2
Модель пищевой цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.3
Модель циклической конкуренции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.4
Модель экологической системы с тремя трофическими уровнями . . . 203
8.5
Пример хаотического поведения биологической системы
. . . . . . . . 207
8.6
Мультилокальные модели Тьюринга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.7
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

9
Многомерные модели с дискретным временем
215
9.1
Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.2
Линейные системы. Теорема Фробениуса–Перрона . . . . . . . . . . . . 217
9.3
Динамика возрастного состава популяции. Модель Лесли . . . . . . . . 219
9.4
Дискретные модели с учетом эффекта запаздывания . . . . . . . . . . 224
9.5
Устойчивость неподвижных точек. Инвариантные множества
. . . . . 228
9.6
Рождение замкнутой инвариантной кривой . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.7
Примеры моделей «хозяин–паразит» с дискретным временем
. . . . . 235
9.8
Система Лотки–Вольтерры в случае дискретного времени . . . . . . . 240

Оглавление
5

9.9
Многомерные показатели Ляпунова. Хаотические аттракторы . . . . . 242
9.10 Падение и взлет численности жука Tribolium . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.11 Области притяжения аттракторов динамических систем
. . . . . . . . 248
9.12 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

10 Модели предбиологической эволюции
253
10.1 Первые шаги жизни на Земле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
10.2 Принцип выживания сильнейших в безошибочной репликации . . . . . 256
10.3 Независимая репликация с ошибками. Квазивиды . . . . . . . . . . . . 259
10.4 Порог катастроф и пределы эволюции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
10.5 Закон параболического роста
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.6 Гиперциклическая репликация
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.7 Открытая модель гиперциклической репликации . . . . . . . . . . . . . 275
10.8 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

11 Динамика неоднородных популяций
282
11.1 Предварительные соображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
11.2 Основные теоремы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
11.3 Модели глобальной демографии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.4 Неоднородные модели распространения эпидемий . . . . . . . . . . . . 293
11.5 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

12 Пространственно неоднородные модели. Волновые решения
303
12.1 Вывод уравнения Фишера–Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
12.2 Волновые решения уравнения Фишера–Колмогорова
. . . . . . . . . . 305
12.3 Волновые решения в распределенной системе «хищник–жертва»
. . . 309
12.4 Учет таксиса в математических моделях . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

13 Системы «реакция–диффузия» в ограниченной области
318
13.1 Устойчивость пространственно однородных стационарных решений . . 318
13.2 Стабилизирующее и дестабилизирующее влияние диффузии . . . . . . 321
13.3 Пространственно неоднородные решения уравнения Фишера . . . . . . 324
13.4 Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

14 Распределенная модель предбиологической эволюции
333
14.1 Постановка задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
14.2 Модель независимого воспроизведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
14.3 Автокаталитическая и гиперциклическая репликации . . . . . . . . . . 338
14.4 Пространственно неоднородные решения
. . . . . . . . . . . . . . . . . 342
14.5 Предельное поведение траекторий распределенных систем . . . . . . . 345

15 Пространственно неоднородная модель «загрязнение–природа»
352
15.1 Постановка задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
15.2 Задача идентификации параметров системы
. . . . . . . . . . . . . . . 355
15.3 Анализ полученных результатов моделирования . . . . . . . . . . . . . 359

16 Вместо заключения: что читать дальше?
362

Оглавление

A Приложения
365
A.1 Понятие топологической эквивалентности динамических систем . . . . 365
A.2 Бифуркации в одномерных непрерывных системах
. . . . . . . . . . . 367
A.3 О степенном законе эволюции белковых доменов . . . . . . . . . . . . . 369
A.4 Бифуркации в одномерных дискретных системах
. . . . . . . . . . . . 372
A.5 Анализ модели мутуализма
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
A.6 Анализ негиперболического положения равновесия
. . . . . . . . . . . 377
A.7 Бифуркация рождения цикла в системах размерности n > 2 . . . . . . 385
A.8 Анализ бифуркации Неймарка–Сакера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

Литература
390

Введение

Книга, которую читатель держит в руках, появилась в результате многолетнего
интереса авторов к математической биологии (междисциплинарной области науки, изучающей биологические системы с помощью математических моделей). Курс
лекций, который один из авторов читал в течение ряда лет на факультетах вычислительной математики и кибернетики, биоинженерии и биоматематики МГУ имени
М.В. Ломоносова, был первоначально записан и издан небольшим тиражом в виде
двух пособий [9, 10].
Положительные отзывы и конструктивная критика этих изданий показали, что
существует потребность в систематизированном изложении основ применения математических методов в биологии для более широкой аудитории, что и явилось
побудительным мотивом для написания данной книги. Несмотря на то, что математическая биология прочно вошла в мир научных исследований, имеется лишь
небольшое число русскоязычных учебников и монографий на эту тему. Это особенно заметно в сравнении с количеством соответствующих изданий (в том числе и
периодических), выпущенных за последние 10–15 лет за рубежом.
Применение математики в биологии имеет долгую историю, и взаимоотношение
этих дисциплин заслуживает отдельного внимания. Существует расхожее мнение,
что, в отличие от физики и механики, нет ни одного фундаментального достижения
в биологии, которое было получено с помощью математической теории (возможно,
исключение составляет закон Харди–Вайнберга).
Другая точка зрения заключается в том, что роль математиков, которые знают
биологию лишь поверхностно, заключается не в открытии и предсказании новых
биологических законов, а в интерпретации существующих явлений с помощью анализа адекватных математических моделей, позволяющих проводить как качественные, так и количественные оценки.
Важно отметить, что биологическая основа явилась побудительной мотивацией
к созданию новых математических теорий, которые обогатили саму математику.
Упомянем ветвящиеся процессы, предложенные Гальтоном, процессы рождения и
гибели, диффузионные процессы, метод бегущих волн, системы с кросс-диффузией
в уравнениях с частными производными, новые типы краевых задач для уравнения
переноса, эволюционную теорию игр и системы репликаторных уравнений. Основы современной статистики были заложены Р. Фишером, который также изучал
биологические проблемы.
С другой стороны, применение математических методов способствовало более
глубокому пониманию многих биологических процессов. В тексте книги приведены

Оглавление

многочисленные примеры, подтверждающие это утверждение. Отметим свойства
циклических колебаний численности популяции, принцип конкурентного исключения Гаузе для конкурирующих видов, пороговую теорему в математической эпидемиологии как фундаментальные утверждения, для формализации которых необходимо привлекать математические методы.
При написании этой книги авторы руководствовались двумя взаимосвязанными
задачами. Первая — показать разнообразие математических моделей, описывающих
биологические сообщества. Вторая — описать основные математические методы качественного анализа нелинейных систем. По мере возможности авторы стремились
сочетать строгое изложение математической теории с конкретными приложениями.
Математические модели, рассмотренные в книге, можно грубо классифицировать на конечномерные с дискретным временем (разностные уравнения), конечномерные с непрерывным временем (системы обыкновенных дифференциальных
уравнений) и бесконечномерные (уравнения в частных производных и интегродифференциальные уравнения). Все это — классы, отражающие последовательные
стадии точного отображения биологической реальности. При этом за рамками исследований остались модели, описываемые с помощью методов теории вероятностей
и методов имитационного моделирования.
Первая часть книги, по существу, представляет собой учебник по курсу математических моделей в биологии. В конце каждой главы содержание подкрепляется
упражнениями, часть из которых представляет самостоятельный научный интерес.
Здесь рассматриваются классические математические модели, вошедшие в золотой фонд математической биологии (например, модель Лотки–Вольтерры, модель
Гаузе, модель распространения эпидемий Кермака–Маккендрика и многие другие).
С другой стороны, в книге содержится большое число моделей, которые описаны
лишь в специальных журнальных публикациях, и моделей, которые были предложены совсем недавно (например, модель эволюции семейств генов, модель распространения эпидемий в неоднородных популяциях, модель распределенного гиперцикла).
Как правило, биологические системы описываются нелинейными соотношениями и содержат параметры, значения которых либо неизвестны, либо их определение сопряжено со значительными трудностями. Особенно важным оказывается
исследование поведения системы вблизи тех значений параметров, при которых возникают перестройки (возможно, и катастрофические) в поведении биологических
сообществ. Поэтому часть материала книги посвящена изложению основ теории
бифуркаций, которая систематически изучает такие перестройки.
Качественные методы анализа нелинейных динамических систем излагаются достаточно подробно и иллюстрируются многочисленными примерами, однако доказательства многих утверждений и теорем опущены. Для полноценного изучения
математических методов, изложенных в книге, мы отсылаем читателя к специальной литературе. Для удобства читателей ряд более специальных утверждений и
часть математических выкладок вынесены в приложения.
Процесс построения математических моделей не поддается алгоритмизации; в
большой степени это ремесло, которое сродни искусству. При этом важной проблемой остается адекватность модели изучаемому явлению. Здесь исследователь находится между Сциллой точного отображения природы путем ее детального описания

Оглавление
9

и Харибдой невозможности исследования математической модели в силу ее трудности. Мы надеемся, что предлагаемая книга может помочь в постижении приемов
и методов математического моделирования биологических сообществ.
В процессе подготовки книги были использованы советы многих специалистов.
Мы выражаем благодарности А.Б. Куржанскому, по инициативе и при поддержке которого написана эта книга; А.Д. Мышкису, Э.Э. Шнолю, которые в разные
моменты времени читали и комментировали части рукописи книги. Многие из этих
замечаний приняты во внимание в окончательной редакции. Мы также благодарны
нашим коллегам Ф.С. Березовской и Г.П. Кареву за плодотворное сотрудничество и
полезные советы. А.С. Новожилов благодарит Национальные институты здоровья
США (National Institutes of Health, USA) и лично руководителя научной группы
Е. Кунина за возможность работать на протяжении ряда лет в творческой и стимулирующей обстановке.
Последние годы А.С. Братусь и А.С. Новожилов работали по разные стороны
Атлантического океана. А.П. Платонов выступил связующим звеном и со временем
стал полноценным соавтором книги.
Мы будем благодарны за замеченные ошибки, опечатки, комментарии и предложения, которые можно присылать по следующим электронным адресам

anovozhilov@gmail.com (Артему Новожилову)
applemath1miit@yandex.ru (Александру Сергеевичу Братусю).

Александр Сергеевич Братусь
Артем Новожилов

18 февраля 2010

Глава 1

Математические модели в
биологии и динамические
системы: общие положения и
примеры анализа

В этой главе вводится фундаментальное математическое понятие динамической системы. С помощью этого понятия можно строить отображения сложных биологических систем в формальные конструкции — математические модели, анализ которых
и составляет предмет данной книги. Рассматриваются методы анализа простейших
динамических систем, заданных обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка, и анализируются математические модели роста изолированных популяций. Исторически такие модели были одной из первых попыток описать
внутренние законы, управляющие ростом популяции.

1.1
Понятие
динамической
системы.
Примеры
математических моделей биологических систем

Первоначально термин «динамическая система» применялся в основном к механическим системам, движение которых описывается дифференциальными уравнениями. Основные результаты о динамических системах были получены А.М. Ляпуновым и А. Пуанкаре в конце девятнадцатого века. Позднее стало очевидно, что
понятие динамических систем полезно для анализа различных эволюционных процессов, изучаемых во многих науках. Определение динамической системы является математической формализацией общей научной концепции детерминированного
процесса. Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход и
все его прошлое однозначно определяются состоянием в настоящее время. Иногда