Сопротивление материалов

  
Сопротивление материалов

Изложены теоретические сведения по таким разделам сопротивления материалов, как 
«Осевое растяжение-сжатие», «Геометрические 
характеристики плоских сечений», «Свободное 
кручение стержней круглого поперечного сечения», «Прямой изгиб», «Анализ напряженного 
состояния. Расчет по теориям прочности», «Изгиб балки с ломаной осью», «Сложное сопротивление», «Устойчивость сжатых стержней», 
«Тонкостенные сосуды». Рассмотрены примеры 
решения задач по основным темам. Приведены 
задания для расчетно-графических работ.

СОПРОТИВЛЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ

Учебное пособие

ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Введение 
 

1 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
СОПРОТИВЛЕНИЕ  
МАТЕРИАЛОВ 
 
Учебное пособие 
 
2-е издание, исправленное и дополненное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2018 

Сопротивление материалов 
 

2 

УДК 539.3/.6(07) 
ББК 30.121я73 
         С646 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
В. А. Меновщиков, доктор технических наук, профессор Красноярского государственного аграрного университета; 
Т. Г. Калиновская, кандидат технических наук, доцент Сибирского 
федерального университета 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
С646 Сопротивление материалов : учеб. пособие / Е. В. Брюховецкая,        
О. В. Конищева, А. Е. Митяев, И. В. Кудрявцев. ‒ 2-е изд., испр. 
и доп. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2018. – 276 с. 
ISBN 978-5-7638-3947-0 
 
Изложены теоретические сведения по таким разделам сопротивления материалов, как «Осевое растяжение-сжатие», «Геометрические характеристики 
плоских сечений», «Свободное кручение стержней круглого поперечного сечения», «Прямой изгиб», «Анализ напряженного состояния. Расчет по теориям 
прочности», «Изгиб балки с ломаной осью», «Сложное сопротивление», «Устойчивость сжатых стержней», «Тонкостенные сосуды». Рассмотрены примеры 
решения задач по основным темам. Приведены задания для расчетнографических работ. 
Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению подготовки  14.03.02 «Ядерные физика и технологии» (специальность 14.03.02.02 «Ядерные физика и технологии»). 
 
 
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru 
УДК 539.3/.6(07) 
ББК 30.121я73 
 
ISBN 978-5-7638-3947-0                                                           © Сибирский федеральный  
                                                                                                         университет, 2018 

Введение 
 

3 

 
 
ВВЕДЕНИЕ 

 
Сопротивление материалов – это дисциплина, в которой 
изучают основы расчета элементов конструкций на прочность, жесткость 
и устойчивость. 
При расчетах на прочность размеры элементов конструкций определяются из условия, чтобы при действии заданных нагрузок была исключена 
опасность разрушения. 
При расчете на жесткость размеры элемента конструкции определяются из условия, чтобы при действии внешних сил изменение его формы 
и размеров происходило в пределах, не нарушающих нормальную эксплуатацию конструкции. 
Расчет на устойчивость должен обеспечить сохранение конструкцией 
(или ее элементом) первоначальной формы. 
Использование методов сопротивления материалов дает возможность решать задачи, связанные с расчетом безопасных нагрузок, определением надежных размеров элементов конструкций, обоснованием выбора 
наиболее подходящих материалов. Для этого необходимо выявить закономерности распределения внутренних усилий при различных видах деформаций элементов конструкций. 
Сопротивление материалов изучает типовые элементы конструкций: 
стержни, пластины, оболочки. К стержневым относят элементы, у которых 
поперечные размеры малы по сравнению с длиной. У оболочек и пластин 
толщина мала по сравнению с другими размерами. 
При инженерных расчетах методы сопротивления материалов нужно 
использовать творчески. Наибольшие затруднения при изучении курса сопротивления материалов для студентов связаны с решением задач, выполнением расчетно-графических работ. Именно эта практическая часть курса 
сопротивления материалов способствует развитию инженерного мышления, приобретению необходимых навыков расчета элементов конструкции 
на прочность, жесткость и устойчивость. 
В настоящем учебном пособии большое внимание уделено решению 
типовых задач сопротивления материалов. По каждой теме приведены краткие 
сведения по теории, основные расчетные формулы, необходимые справочные 
материалы (см. прил. 1‒5). Разбор задач проводится подробно, чтобы студент 
мог понять метод решения, что особенно важно для студентов-заочников. 
Разбор решенных задач по основным темам сопротивления материалов повышает эффективность самостоятельных занятий, экономит время, 
затрачиваемое на выполнение расчетно-графических работ, приучает студентов к анализу методов решения и способствует приобретению навыков 
грамотного оформления технических расчетов. 

Сопротивление материалов 
 

4 

 
 
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 

 
 
Задачи сопротивления материалов 
 
Сопротивление материалов – это наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций. 
Первая задача сопротивления материалов – это расчет конструкций 
на прочность. 
Прочностью элемента конструкции называется его способность выдерживать заданную нагрузку не разрушаясь и без появления пластических 
(остаточных) деформаций. 
Вторая задача сопротивления материалов – это расчет конструкций 
на жесткость. 
Жесткостью элемента конструкции называется его способность             
сопротивляться упругим деформациям. 
Третья задача сопротивления материалов – это расчет элементов 
конструкций на устойчивость. 
Устойчивостью называется способность элемента конструкции               
сохранять первоначальную форму упругого равновесия под действием 
внешних сил. 
В сопротивлении материалов выполняются проверочный и проектный расчеты. 
При проверочном расчете проверяется достаточность размеров             
существующей конструкции или устанавливаются нагрузки, являющиеся 
допускаемыми для элементов конструкции. 
При выполнении проектного расчета определяются необходимые 
размеры, обеспечивающие безопасную работу элемента конструкции при 
заданных нагрузках и выбранном материале. 
 
 
Реальный объект и расчетная схема 
 
В сопротивлении материалов исследование вопроса 
о прочности реального объекта начинается с выбора расчетной схемы. 
Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, 
называется расчетной схемой. 
При выборе расчетной схемы используются следующие предпосылки. 

1. Основные понятия 
 

5 

1. Схематизация геометрических параметров реального объекта. 
Брусом называется тело, одно из измерений которого (длина) значительно превышает поперечные размеры. К форме бруса сведены валы, оси, 
рычаги, балки перекрытий и колонны. Сечение бруса может быть переменным по длине и иметь различную геометрическую форму. В зависимости от очертания оси брус может быть прямым или кривым. 
Оболочкой называется тело, один из размеров которого (толщина) 
много меньше других размеров. Оболочка ограничена криволинейными 
поверхностями. Пластина является частным случаем оболочки, когда ограничивающие поверхности плоские. К форме оболочки сведены купола, резервуары для хранения газов и жидкостей, оболочки ракет, котлы. К форме 
пластин – днища и крышки резервуаров. 
Массивом называется тело, имеющее все три размера примерно         
одного порядка, например: фундаменты зданий, подпорные стенки. 
2. Схематизация системы сил, приложенных к элементу конструкции. 
Силы, приложенные извне к брусу, называются внешними силами. 
Реакции связей, а также реакции от взаимодействия смежных элементов 
конструкций также относятся к разряду внешних сил. 
Внешние силы бывают поверхностными и объемными. Объемные 
действуют в каждом элементе объема материала (собственный вес, силы 
инерции, силы магнитного притяжения). Поверхностные – это внешние 
сосредоточенные и распределенные силы, а также реакции опор. 
Внешние силы бывают сосредоточенными и распределенными. На 
рис. 1.1 F – сосредоточенная сила, кН; 1q  – равномерно распределенная нагрузка, кН/м; 
2
q  – распределенная по закону треугольника нагрузка; M –
сосредоточенный момент или пара сил, кН·м; m – распределенный момент 
кН·м/м. 

 
Рис. 1.1 
 
Далее нагрузки можно разделить на постоянные и временные. 
Постоянные нагрузки действуют во все время существования конструкции, например собственный вес сооружения. 

Сопротивление материалов 
 

6 

Временные нагрузки действуют на конструкцию лишь в течение некоторого промежутка времени. 
По характеру действия нагрузки можно разделить на статические 
и динамические. 
Статические – это те силы, которые прикладываются к элементу 
постепенно от нулевой до полной величины. При этом скорость приложения нагрузки меняется незначительно, ускорение практически отсутствует. 
Динамические – это те нагрузки, скорость приложения которых меняется значительно в короткий промежуток времени. Приложение нагрузки 
сопровождается значительными ускорениями. 
3. Схематизация свойств материала: 
Гипотеза 1. Следует рассматривать все материалы как однородную 
сплошную среду независимо от особенностей их микроструктуры. 
Под однородностью материала понимается независимость свойств 
от величины выделенного из тела объема. 
Из понятия однородности вытекает понятие сплошности среды как 
среды, непрерывно заполняющей отведенный ей объем. 
Гипотеза 2. Обычно сплошная среда принимается изотропной, т. е. 
предполагается, что свойства любого тела, выделенного из сплошной среды, 
в различных направлениях одинаковы. 
Гипотеза 3 (о независимости действия сил). Если к системе приложено несколько сил, то можно определить внутренние силы, напряжения, 
перемещения и деформации от каждой силы в отдельности, а результат 
действия всех сил получится как сумма действий каждой силы. 
Гипотеза 4 (принцип Сен-Венана). Величины напряжений в зоне 
крепления конструкций и в зоне приложения внешних сил носят местный 
характер и при расчете всей конструкции ими можно пренебречь. 
 
 
Метод сечений. Внутренние силы  
в поперечных сечениях бруса 
 
Прочность твердого тела обусловлена силами сцепления 
между отдельными его частицами. При деформации тела, вызванной действием приложенных к нему внешних сил, внутренние силы изменяются 
(рис. 1.2). 
Для расчета на прочность необходимо иметь возможность определять внутренние силы по заданным внешним силам. Для этого используется 
метод сечений. 
Рассмотрим брус, находящийся в равновесии под действием внешних сил. Рассечем его произвольным сечением nn. 

1. Основные понятия 
 

7 

Для сохранения равновесия обоих частей тела по сечению прикладываются силы взаимодействия между первой и второй частями тела, т. е., 
применяя метод сечения, переводят внутренние силы для всего тела во 
внешние для одной из его частей. Внутренние силы должны быть распределены по сечению так, чтобы деформированные поверхности сечения nn 
при совмещении левой и правой частей тела в точности совпадали. Такое 
условие носит название неразрывности деформаций. 
 

 
Рис. 1.2 
 

M

R

 
 
Рис. 1.3 
 
Приведем систему внутренних сил к центру тяжести сечения. В результате получим главный вектор R  и главный момент M  (рис. 1.3). 

n

1F
2
F

3
F

n

n

n

4
F
5
F

x

y

z

1F

2
F

3
F

4
F
5
F

Сопротивление материалов 
 

8 

Спроектировав главный вектор R  и главный момент M  на оси X, Y, Z, 
получаем шесть составляющих, которые называются внутренними силовыми 
факторами: 
N – продольная сила; 
x
Q , 
y
Q  – поперечные силы; 
x
M , 
y
M  –

изгибающие моменты; 
z
M  – крутящий момент. 
 
 
Виды деформаций 
 
Внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях бруса, полностью определяют характер его деформации. 
Деформации могут быть сложными, но любую деформацию можно представить как сочетание нескольких простых деформаций. 
1. Осевое растяжение или сжатие. Внутренние силы в поперечном 
сечении могут быть заменены одной силой, направленной вдоль оси 
стержня – продольной силой N. 
2. Сдвиг или срез. В этом случае внутренние силы приводятся к одной силе, расположенной в плоскости сечения – поперечной силе 
)
(
y
x Q
Q
. 
3. Кручение. Внутренние силы в поперечном сечении приводятся 
к паре сил (крутящему моменту 
z
M ), действующей в плоскости сечения. 
4. Изгиб. Если внутренние силы приводятся к паре сил (изгибающему 
моменту 
)
(
y
x M
M
), плоскость действия которой перпендикулярна плоскости 
поперечного сечения, то такой изгиб называется чистым. 
Если внутренние силы приводятся к паре сил (изгибающему моменту 
)
(
y
x M
M
) и поперечной силе 
)
(
x
y Q
Q
, то такой вид изгиба называется поперечным. 
 
 
Напряжение 
 
Напряжение – это интенсивность внутренних сил, т. е. 
внутренняя сила, приходящаяся на единицу площади сечения тела. 
Рассмотрим поперечное сечение тела (рис. 1.4), в котором А – площадь поперечного сечения; А – элементарная площадка, выделенная          
вокруг точки K; R – внутренняя сила, действующая на элементарной 
площадке. 
При 
0

A
 величина полного напряжения p в точке K равна 
 

p
A
R

A





lim
0
.                                               (1.1) 

1. Основные понятия 
 

9 

Полное напряжение p раскладывается на три составляющих:  – 
нормальное напряжение (проекция полного напряжения на нормаль к сечению); τ', τ''  – касательные напряжения (проекции полного напряжения 
на две оси плоскости сечения). 
 

R


K

A


1

n
F

n
F

p

K

1

n
F

n
F
n

t 

t







 
Рис. 1.4 
 
Полное напряжение p вычисляется по формулам 

2
2




p
,                                               (1.2) 

2
2
)
(
)
(





.                                           (1.3) 

Совокупность напряжений для множества площадок, проходящих 
через точку, образует напряженное состояние в точке, которое определяется 
шестью числовыми величинами. 
 
 
Перемещения и деформации 
 
Для того чтобы охарактеризовать интенсивность изменения формы и размеров тела, рассмотрим тело до деформации и после               
деформации.