Теоретическая механика

Теоретическая механика

Изложены теоретические сведения по дисциплине «Теоретическая механика».
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА

Курс леКций

ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Оглавление 

1 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ  
МЕХАНИКА 
 
 
Курс лекций 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2019 

Оглавление 

2 

УДК 531/534(07) 
ББК 22.2я73 
         Т338 

А в т о р ы:  Т. А. Валькова, О. И. Рабецкая, А. Е. Митяев,  
                      А. А. Шаронов, И. В. Кудрявцев 

Р е ц е н з е н т ы: 
В. А. Меновщиков, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой общеинженерных дисциплин Института инженерных систем и энергетики КрасГАУ; 
Н. А. Смирнов, доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой технической механики Института космической техники СибГУ          
им. М. Ф. Решетнёва 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Т338           Теоретическая механика : курс лекций / Т. А. Валькова, О. И. Рабецкая, А. Е. Митяев [и др.] ; под общ. ред. Т. А. Вальковой. ‒ Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2019. – 272 с. 
ISBN 978-5-7638-4004-9 
 
Изложены теоретические сведения по дисциплине «Теоретическая механика». 
Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по укрупненной группе 23.00.00 «Техника и технологии наземного транспорта», 
специальности 23.05.01 «Наземные транспортно-технологические средства», 
специализациям 23.05.01.01 «Автомобили и тракторы», 23.05.01.02 «Подъемнотранспортные, строительные, дорожные средства и оборудование». 
 
 
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru 
УДК 531/534(07) 
ББК 22.2я73 
 
ISBN 978-5-7638-4004-9                                                           © Сибирский федеральный  
                                                                                                         университет, 2019 

Оглавление 

3 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ПРЕДИСЛОВИЕ  ................................................................................................................... 8 

ВВЕДЕНИЕ  ............................................................................................................................. 9 

Р а з д е л  1.  СТАТИКА  ..................................................................................................... 11 
Л е к ц и я  1.  Основные понятия статики ....................................................................... 11 
1.1. Введение в статику. Задачи статики ..................................................... 11 
1.2. Аксиомы статики. ................................................................................... 12 
1.3. Связи и их реакции ................................................................................ 13 
1.4. Проекция силы на ось и на плоскость ................................................. 16 
Л е к ц и я  2.  Система сходящихся сил ............................................................................ 17 
2.1. Геометрический способ сложения сил ................................................. 17 
2.2. Разложение силы .................................................................................... 18 
2.3. Аналитический способ задания силы и сложения сил ....................... 18 
2.4. Равновесие системы сходящихся сил ................................................... 19 
2.5. Теорема о трех силах ............................................................................. 20 
Л е к ц и я  3.  Момент силы относительно центра. Пара сил ...................................... 21 
3.1. Момент силы относительно центра (точки) ........................................ 21 
3.2. Сложение двух параллельных сил ........................................................ 22 
3.3. Пара сил. Момент пары ......................................................................... 25 

Л е к ц и я  4.  Приведение системы сил к центру. Условия равновесия ................... 27 
4.1. Теорема о параллельном переносе силы .............................................. 27 
4.2. Теорема Пуансо ...................................................................................... 28 
4.3. Условия равновесия системы сил ......................................................... 29 
4.4. Теорема Вариньона ................................................................................ 30 
Л е к ц и я  5.  Плоская система сил ................................................................................... 31 
5.1. Алгебраические моменты силы и пары сил ......................................... 31 
5.2. Приведение плоской системы сил к простейшему виду .................... 32 
5.3. Уравнения равновесия для плоской системы сил ............................... 34 
5.4. Распределенные силы ............................................................................ 36 
5.5. Равновесие системы тел ........................................................................ 37 
Л е к ц и я  6.  Трение ............................................................................................................ 39 
6.1. Сцепление и трение скольжения ........................................................... 39 
6.2. Реакция шероховатой поверхности ....................................................... 41 
6.3. Трение качения ........................................................................................ 43 
Л е к ц и я  7.  Главный вектор и главный момент системы сил ................................. 46 
7.1. Момент силы относительно оси ........................................................... 46 
7.2. Вычисление главного вектора и главного момента  
       пространственной системы сил ............................................................ 48 
 

Оглавление 

4 

Л е к ц и я  8.  Пространственная система сил  ................................................................ 50 
8.1. Частные случаи приведения пространственной системы 
        сил к простейшему виду ...................................................................... 50 
8.2. Уравнения равновесия для пространственной системы сил ............. 53 
Л е к ц и я  9.  Центр тяжести .............................................................................................. 55 
9.1. Центр параллельных сил ...................................................................... 55 
9.2. Центр тяжести твердого тела ............................................................... 58 
9.3. Координаты центров тяжести однородных тел .................................. 58 
9.4. Способы определения центров тяжести тел ....................................... 60 
9.5. Центр тяжести некоторых однородных тел ........................................ 60 

Р а з д е л  2.  КИНЕМАТИКА  ........................................................................................... 62 
Л е к ц и я  10.  Кинематика точки ..................................................................................... 62 
10.1. Введение в кинематику ....................................................................... 62 
10.2. Векторный способ задания движения точки. ................................... 62 
10.3. Координатный способ задания движения точки .............................. 64 
10.4. Естественный способ задания движения точки ............................... 66 
Л е к ц и я  11.  Простейшие движения твердого тела .................................................... 73 
11.1. Поступательное движение твердого тела. ........................................ 73 
11.2. Вращательное движение твердого тела ............................................ 75 
11.3. Скорость и ускорение точки вращающегося твердого тела ............ 78 
11.4. Формула Эйлера. Выражения касательного и нормального 
          ускорений точки в виде векторных произведений .......................... 80 
Л е к ц и я  12.  Плоскопараллельное движение твердого тела .................................... 82 
12.1. Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела ............ 82 
12.2. Теорема о скоростях точек плоской фигуры .................................... 83 
12.3. Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры ........ 85 
Л е к ц и я  13.  Ускорения точек плоской фигуры ......................................................... 86 
13.1. Мгновенный центр скоростей (МЦС) .............................................. 86 
13.2. Способы определения положения МЦС .......................................... 87 
13.3. Теорема об ускорениях точек плоской фигуры ............................... 89 
Л е к ц и я  14.  Движение твердого тела вокруг неподвижной точки ........................ 91 
14.1. Уравнения движения тела вокруг неподвижной точки .................. 91 
14.2. Мгновенная угловая скорость и угловое ускорение тела ............... 91 
14.3. Скорость точки тела при сферическом движении .......................... 93 
14.4. Теорема Ревальса ............................................................................... 95 
Л е к ц и я  15.  Движение свободного твердого тела ...................................................... 96 
15.1. Уравнения движения свободного твердого тела ............................. 96 
15.2. Скорость точки свободного твердого тела ....................................... 98 
15.3. Ускорение точки свободного твердого тела ................................... 100 
Л е к ц и я  16.  Сложное движение точки ....................................................................... 103 
16.1. Абсолютное и относительное движение точки, 
          переносное движение...................................................................... 103 
16.2. Теорема о сложении скоростей ....................................................... 105 
16.3. Теорема Кориолиса о сложении ускорений ................................... 107 
16.4. Ускорение Кориолиса ....................................................................... 110 
Л е к ц и я  17.  Сложное движение твердого тела ......................................................... 112 
17.1. Сложение поступательных движений твердого тела .................... 112 

Оглавление 

5 

17.2. Сложение вращательных движений твердого тела  
         вокруг пересекающихся осей .......................................................... 114 
17.3. Сложение вращательных движений твердого тела  
          вокруг параллельных осей ............................................................. 116 
Л е к ц и я  18.  Сложение вращательного и поступательного движений 
                           твердого тела ............................................................................................ 121 
18.1. Сложение вращательного и поступательного движений 
         твердого тела, если скорость поступательного движения 
         перпендикулярна оси вращения……………....…….......... ........... 121 
18.2. Винтовое движение твердого тела ................................................. 122 
18.3. Сложение вращательного и поступательного движений 
         твердого тела, если скорость поступательного движения 
         не перпендикулярна оси вращения ................................................ 125 

Р а з д е л  3.  ДИНАМИКА  .............................................................................................. 127 
Л е к ц и я  19.  Динамика точки ....................................................................................... 127 
19.1. Аксиомы динамики (законы классической механики) .................. 127 
19.2. Дифференциальные уравнения движения точки ........................... 129 
19.3. Две задачи динамики точки ............................................................. 130 
Л е к ц и я  20.  Прямолинейные колебания точки ....................................................... 133 
20.1. Свободные колебания материальной точки ................................... 134 
20.2. Влияние постоянной силы на свободные колебания точки ......... 136   
20.3. Затухающие колебания точки .......................................................... 138 
20.4. Апериодическое движение точки.................................................... 141 
Л е к ц и я  21.  Вынужденные колебания точки ........................................................... 142 
21.1. Вынужденные колебания точки в отсутствии 
       сопротивления среды ......................................................................... 142 
21.2. Вынужденные колебания точки при наличии вязкого 
       сопротивления среды ......................................................................... 145 
Л е к ц и я  22.  Динамика относительного движения точки ...................................... 148 
22.1. Дифференциальные уравнения относительного 
         движения точки ................................................................................. 148 
22.2. Относительное равновесие тела на поверхности Земли .............. 151 
22.3. Относительное движение точки вблизи поверхности Земли ....... 153 
Л е к ц и я  23.  Введение в динамику системы .............................................................. 157 
23.1. Механическая система. Силы внешние и внутренние .................. 157 
23.2. Масса системы. Центр масс системы ............................................. 159 
23.3. Моменты инерции ............................................................................. 160 
23.4. Теорема Гюйгенса ............................................................................. 164 
Л е к ц и я  24.  Теорема о движении центра масс механической системы .............. 165 
24.1. Дифференциальные уравнения движения механической 
         системы .............................................................................................. 165 
24.2. Теорема о движении центра масс.. .................................................. 167 
24.3. Закон сохранения движения центра масс механической 
         системы .............................................................................................. 168 
Л е к ц и я  25.  Теорема об изменении количества движения .................................... 169 
25.1. Количество движения точки. Импульс силы ................................. 169 
25.2. Количество движения механической системы … ......................... 172 

Оглавление 

6 

25.3. Теорема об изменении количества движения механической 
         системы ............................................................................................. 173 
Л е к ц и я  26.  Теорема об изменении момента количества движения.................... 176 
26.1. Момент количества движения точки относительно центра 
         и оси ................................................................................................... 176 
26.2. Кинетический момент  системы относительно центра и оси ...... 178 
26.3. Теорема об изменении кинетического момента системы ............. 180 
26.4. Дифференциальные уравнения движения твердого тела ............. 183 
Л е к ц и я  27.  Теорема об изменении кинетической энергии системы .................. 187 
27.1. Работа силы. Мощность .................................................................. 187 
27.2. Частные случаи вычисления работы сил. ...................................... 189 
27.3. Кинетическая энергия точки и системы. ....................................... 192 
27.4. Теорема об изменении кинетической энергии системы ............... 194 

Р а з д е л  4.  ЭЛЕМЕНТЫ  АНАЛИТИЧЕСКОЙ  МЕХАНИКИ ............................ 197 
Л е к ц и я  28.  Метод кинетостатики ............................................................................. 197 
28.1. Принцип Д’Aламбера для материальной точки ............................ 197 
28.2. Принцип Д’Aламбера для механической системы ....................... 198 
28.3. Главный вектор и главный момент сил инерции .......................... 199 
28.4. Приведение сил инерции точек твердого тела .............................. 201 
28.5. Динамические реакции, действующие на ось 
         вращающегося твердого тела .......................................................... 202 
Л е к ц и я  29.  Основные понятия аналитической механики ................................... 208 
29.1. Связи и их классификация .............................................................. 208 
29.2. Виртуальные перемещения точки и системы ................................ 210 
29.3. Виртуальная работа. Идеальные связи .......................................... 212 
Л е к ц и я  30.  Дифференциальные принципы аналитической механики ............. 213 
30.1. Принцип виртуальных перемещений ............................................. 213 
30.2. Общее уравнение динамики ............................................................ 215 
Л е к ц и я  31.  Метод обобщенных координат .............................................................. 218 
31.1. Обобщенные координаты ................................................................ 218 
31.2. Обобщенные силы ............................................................................ 219 
31.3. Принцип виртуальных перемещений  
         в обобщенных координатах ............................................................. 220 
Л е к ц и я  32.  Уравнения Лагранжа второго рода ..................................................... 221 
32.1. Дифференциальные уравнения движения системы  
         в обобщенных координатах ............................................................ 221 
32.2. Свойства уравнений Лагранжа второго рода  ............................... 225 
Л е к ц и я  33.  Устойчивость равновесия ...................................................................... 226 
33.1. Потенциальное силовое поле. Потенциальная энергия ............... 226 
33.2. Закон сохранения механической энергии  ..................................... 229 
33.3. Условия равновесия консервативной системы .............................. 230 
33.4. Устойчивость равновесия консервативной системы .................... 231 
Л е к ц и я  34.  Виды обобщенных сил ............................................................................ 235 
34.1. Структура кинетической энергии системы ................................... 235 
34.2. Функция рассеивания Рэлея ........................................................... 237 
34.3. Обобщенные возмущающие силы ................................................. 239 
 

Оглавление 

7 

Л е к ц и я  35.  Линелизация уравнений движения ...................................................... 240 
35.1. Дифференциальные уравнения малых колебаний 
         системы с S степенями свободы ..................................................... 240 
35.2. Свободные колебания консервативной системы  
          с одной степенью свободы ............................................................. 242 
Л е к ц и я  36.  Малые колебания системы .................................................................... 246 
36.1. Свободные колебания системы с одной 
          степенью свободы при вязком сопротивлении ............................. 246 
36.2. Вынужденные колебания системы  
         с одной степенью свободы .............................................................. 250 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................................................................................. 256 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ........................................................................... 258 

ПРИЛОЖЕНИЯ ................................................................................................................. 259 

П р и л о ж е н и е  1.  Основные интегралы .................................... 259 
П р и л о ж е н и е  2.  Принятые обозначения ................................. 260 

Предисловие 

8 

 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Известно, что научно-технический прогресс приводит к достаточно 
быстрому устареванию узкоспециальных знаний. Поэтому для решения 
принципиально новых задач современному специалисту необходимо обладать хорошей подготовкой в области фундаментальных знаний. Одной из 
таких дисциплин, дающих основополагающие знания об окружающем нас 
мире, является «Теоретическая механика». 
Основные разделы «Теоретической механики» (статика, кинематика,  
динамика и аналитическая механика) для студентов специальности 23.05.01 
«Наземные транспортно-технологические средства» представлены в настоящем пособии. В нем основное содержание дисциплины изложено в краткой 
и доступной форме для студентов младших курсов Сибирского федерального 
университета. 
Настоящее пособие «Теоретическая механика. Курс лекций» по 
структуре и содержанию соответствует программе дисциплины «Теоретическая механика» и составлено исходя из Федерального государственного 
образовательного стандарта высшего образования для студентов, изучающих эту дисциплину в полном объеме в течение трех семестров. Данная 
работа отличается от имеющихся учебников компактностью. 
При освоении курса «Теоретическая механика» изучать теоретический 
материал рекомендуется по темам пособия, при этом особое внимание при его 
чтении следует обращать на формулировки определений и теорем, которые 
выделены в тексте. В точных формулировках, как правило, бывает существенно каждое слово, и очень полезно понять, почему данное положение 
сформулировано именно таким образом. Однако не следует стараться заучивать формулировки; важнее понять их смысл и уметь изложить результат 
своими словами. Прежде всего, следует уяснять существо изучаемого вопроса или теоремы. Главное  это понять изложенный материал, а не заучить.  
Трудно перечислить все учебники и статьи, под влиянием которых 
сложились методические взгляды авторов. Список наиболее часто используемой литературы дан в конце пособия. 
Авторы надеются, что данное учебное пособие позволит студентам 
специальности 23.05.01 «Наземные транспортно-технологические средства» 
изучить основы курса «Теоретическая механика» и применить полученные 
знания для последующего освоения общетехнических дисциплин и дисциплин специализаций, предусмотренных государственным образовательным 
стандартом.

Введение 

9 

 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Современная техника ставит перед инженерами множество задач, 
решение которых связано с исследованием механического движения и механического взаимодействия материальных тел. Механическим  движением 
называется происходящее с течением времени изменение взаимного положения материальных тел в пространстве.  
Механическим взаимодействием называются действия материальных 
тел друг на друга, в результате которых происходит изменение движения 
этих тел или их формы. Примерами механического движения в природе 
служат движения небесных тел, колебания земной коры, воздушные и морские течения, а в технике  движение всех видов транспорта, частей механизмов и машин, течение жидкостей и газов и т. д. 
Наука о механическом движении и взаимодействии материальных 
тел называется механикой.  
Круг проблем, рассматриваемых в механике, велик. Поэтому появился 
целый ряд самостоятельных наук, изучающих те или иные формы механического движения: теории упругости и пластичности, гидромеханика,      
аэродинамика, сопротивление материалов, теория механизмов и машин и др. 
Однако все эти дисциплины наряду со спецификой опираются на ряд         
основных законов и принципов и используют многие понятия и методы, 
общие для всех областей механики. Рассмотрение этих общих понятий,    
законов и методов и составляет предмет теоретической механики. 
В основе механики лежат законы (аксиомы), которые установлены 
путем обобщения результатов многочисленных опытов и наблюдений 
и нашли подтверждение в процессе общественно-производственной практики человечества. Это позволяет рассматривать знания, основанные на законах механики, как объективные и достоверные, на которые инженер может 
смело опираться в своей практической деятельности. 
Теоретическая механика имеет дедуктивный характер. Опираясь на 
аксиомы как на проверенный практикой и экспериментом фундамент, она 
возводит свое здание науки с помощью строгих математических выводов.
 
Теоретическая механика как часть естествознания, использующая 
математические методы, имеет дело не с реальными материальными объектами, а с их моделями. Такими моделями являются: 
1) материальная точка  частица материи, размером которой можно 
пренебречь при изучении ее движения;