Математическое моделирование объектов и систем управления

Математическое моделирование объектов и систем управления 

Представлены базовые понятия, определения 
и положения теории моделирования систем, приведена классификация математических моделей, 
охарактеризованы основные формы математических моделей технических систем, используемых при решении задач металлургической 
отрасли. Отличительной особенностью пособия 
является расширенное описание практических 
задач управления, решенных на основе моделирования. 

Т. В. Пискажова, Т. В. Донцова, Г. Б. Даныкина

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Учебное пособие

ИНСТИТУТ ЦВЕТНЫХ МЕТАЛЛОВ  
И МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЯ

Т. В. Пискажова, Т. В. Донцова, Г. Б. Даныкина 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Т. В. Пискажова, Т. В. Донцова, Г. Б. Даныкина 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2020 

 

УДК 519.711.3(07) 
ББК  22.182я73 
П345 
 
Р е ц е н з е н т ы :  
С. И. Сенашов, доктор физико-математических наук, профессор, 
заведующий кафедрой информационных экономических систем Сибирского государственного университета науки и технологий имени 
академика М. Ф. Решетнева;  

В. М. Белолипецкий, доктор физико-математических наук, профес
сор, главный научный сотрудник Института вычислительного моделирования СО РАН 
 
 
 
 
 
 
Пискажова, Т. В. 
П345 
 
Математическое моделирование объектов и систем управления : учеб. пособие / Т. В. Пискажова, Т. В Донцова, Г. Б. Даныкина. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2020. – 230 с. 
ISBN 978-5-7638-4184-8 
 

Представлены базовые понятия, определения и положения теории мо
делирования систем, приведена классификация математических моделей, 
охарактеризованы основные формы математических моделей технических 
систем, используемых при решении задач металлургической отрасли. Отличительной особенностью пособия является расширенное описание практических задач управления, решенных на основе моделирования. 
Предназначено для подготовки магистров по направлениям 27.04.04 
«Управление в технических системах», 22.04.02 «Металлургия», бакалавров 
по направлению 15.03.04 «Автоматизация технологических процессов 
и производств», а также может быть полезно студентам, аспирантам и специалистам, использующим методы математического моделирования в своей 
работе. 
 
Электронный вариант издания см.: 
УДК 519.711.3(07) 
http://catalog.sfu-kras.ru 
ББК 22.182я73 
 
 
 
ISBN 978-5-7638-4184-8 
© Сибирский федеральный 
университет, 2020 

Оглавление 

3 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 
 
Введение ........................................................................................................  
7 
Глава 1. Основы математического моделирования .............................  
8 
1.1. Задачи моделирования технических систем .......................................  
8 
1.2. Основные понятия и определения ........................................................  10 
1.3. Классификация математических моделей ...........................................  12 
1.4. Этапы построения математической модели ........................................  17 
1.5. Иерархия математических моделей и формы их представления ......  19 
1.6. Место и роль математического моделирования  
в задачах исследования, проектирования  
и оптимизации технических систем .....................................................  23 
Контрольные вопросы и задания .................................................................  26 
 
Глава 2. Методы моделирования металлургических объектов  
и процессов для задач управления ..........................................................  27 
2.1. Основные положения теории подобия .................................................  27 
2.1.1. Подобие объектов в геометрических пространствах ..............  27 
2.1.2. Подобие физических процессов ................................................  29 
2.1.3. Виды подобия ..............................................................................  30 
2.1.4. Теоремы подобия ........................................................................  31 
2.2. Подобие и моделирование динамических характеристик  
устройств автоматического регулирования ........................................  33 
2.3. Физическое моделирование ..................................................................  37 
2.4. Математическое моделирование ..........................................................  39 
2.4.1. Экспериментальный метод построения   
математической модели .............................................................  41 
2.4.2. Аналитический метод построения математической модели .....  43 
2.4.3. Аналитико-экспериментальный метод построения  
математической модели .............................................................  44 
2.5. Построение динамических моделей систем  
аналитическим методом ........................................................................  45 
Контрольные вопросы и задания .................................................................  48 
 
Глава 3. Обыкновенные дифференциальные уравнения  
для моделирования процессов и систем .................................................  50 
3.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям ...................  50 
3.2. Составление дифференциальных уравнений в задачах  
об электрических цепях .........................................................................  56 
3.3. Численное решение дифференциальных уравнений.  
Теорема существования и единственности решения задачи Коши .....  60 

Оглавление 

4 

3.4. Примеры применения ОДУ в металлургии .........................................  61 
3.4.1. Остывание порции металла в лотке ..........................................  61 
3.4.2. Модель нагрева материалов в конвективных печах  
для задач автоматического управления ....................................  65 
Контрольные вопросы и задания .................................................................  70 
 
Глава 4. Математическое описание объектов  
с распределенными параметрами ............................................................  71 
4.1. Модели кинетики химических реакций, массо- и теплопереноса ....  71 
4.2. Объекты с распределенными параметрами .........................................  74 
4.3. Основные уравнения математической физики ...................................  75 
4.3.1. Уравнение колебаний струны.  
Формулировка краевой задачи ..................................................  77 
4.3.2. Уравнение теплопроводности. Краевые задачи .......................  79 
Контрольные вопросы и задания .................................................................  81 
 
Глава 5. Стохастические модели. Факторный анализ ........................  82 
5.1. Основные понятия теории вероятности ...............................................  82 
5.2. Нормальное распределение случайной величины  
и правило «трех сигм» ...........................................................................  90 
5.3. Базовые понятия математической статистики ....................................  96 
5.4. Методы планирования эксперимента ..................................................  100 
5.4.1. Полный факторный эксперимент ..............................................  101 
5.4.2. Дробный факторный эксперимент ............................................  106 
5.4.3. Метод Бокса–Уилсона ................................................................  107 
5.5. Организация вычислительного эксперимента ....................................  109 
5.5.1. Источники возникновения погрешностей ................................  110 
5.5.2. Виды ошибок ...............................................................................  110 
5.5.3. Достоверность результатов  
вычислительного эксперимента ................................................  111 
5.6. Корреляционный анализ ........................................................................  112 
5.6.1. Парная корреляция ......................................................................  113 
5.6.2. Многомерный корреляционный анализ ....................................  116 
5.7. Регрессионный анализ ...........................................................................  117 
5.7.1. Парный линейный регрессионный анализ ...............................  118 
5.7.2. Множественный линейный регрессионный анализ ................  125 
Контрольные вопросы и задания .................................................................  127 
 
Глава 6. Нейросетевое моделирование ...................................................  128 
6.1. Искусственные нейронные сети ...........................................................  128 
6.2. Устройство нейронных сетей ................................................................  129 
6.3. Функции активации ................................................................................  131 
6.4. Классификация нейронных сетей .........................................................  132 

Оглавление 

5 

6.5. Типы архитектур нейросетей ................................................................  133 
6.5.1. Сети прямого распространения .................................................  133 
6.5.2. Рекуррентные сети ......................................................................  135 
6.6. Оптические нейронные сети .................................................................  138 
6.6.1. Векторно-матричные умножители ............................................  139 
6.6.2. Голографические корреляторы ..................................................  140 
6.6.3. Объемные голограммы ...............................................................  142 
6.7. Формулировка задачи работы нейросети ............................................  144 
6.8. Построение нейросети ...........................................................................  145 
6.9. Обучение многослойной сети ...............................................................  145 
6.9.1. Организация процесса обучения ...............................................  147 
6.9.2. Методы обучения нейросетей ....................................................  147 
6.9.3. Алгоритм обратного распространения ошибки .......................  148 
6.10. Способы обеспечения ускорения сходимости ..................................  149 
6.11. Задачи, решаемые на основе нейросетей ...........................................  151 
6.12. Характеристики некоторых современных нейропакетов ................  152 
Контрольные вопросы и задания .................................................................  153 
 
Глава 7. Опыт применения моделей .......................................................  154 
7.1. Математическое моделирование процесса  
электролитического получения алюминия .........................................  154 
7.1.1. Краткое описание процесса электролиза алюминия  
и основных типов алюминиевых электролизеров ...................  155 
7.1.2. Алюминиевый электролизер как объект управления .............  160 
7.1.3. Модель МГД-явлений .................................................................  164 
7.1.4. Модели теплообмена для динамической модели ....................  168 
7.1.5. Идентификация тепловой динамической модели 
электролизера ..............................................................................  173 
7.2. Решение задач управления технологией ..............................................  175 
7.2.1. Управление составом электролита ............................................  175 
7.2.2. Программный комплекс «Виртуальный электролизер» .........  181 
Контрольные вопросы и задания .................................................................  186 
 
Глава 8. Имитационное моделирование .................................................  187 
8.1. Теоретические основы имитационного моделирования ....................  187 
8.1.1. Цели имитационного моделирования .......................................  188 
8.1.2. Достоинства и недостатки имитационного моделирования ......  188 
8.1.3. Структура имитационных моделей ...........................................  190 
8.1.4. Требования к имитационным моделям .....................................  191 
8.1.5. Проверка модели .........................................................................  192 
8.1.6. Анализ чувствительности ...........................................................  192 
8.2. Моделирование для принятия решений при управлении ..................  193 

Оглавление 

6 

8.3. Разработка моделей имитаторов и тренажерных комплексов  
для повышения квалификации персонала ...........................................  198 
8.3.1. Компьютерные тренажеры .........................................................  199 
8.3.2. Режимы работы тренажера .........................................................  200 
8.3.3. Требования к компьютерным тренажерам ...............................  201 
8.4. Примеры компьютерных тренажеров операторов  
технологических процессов ..................................................................  203 
Контрольные вопросы и задания .................................................................  205 
 
Глава 9. Идентификация математических моделей систем ...............  206 
9.1. Понятие и особенности идентификации ..............................................  206 
9.2. Структурная идентификация ................................................................  208 
9.2.1. Методы структурной идентификации ......................................  209 
9.2.2. Содержательный анализ остатков как метод  
проверки гипотез об адекватности структуры.  
Процедуры исследования остатков ..........................................  210 
9.3. Параметрическая идентификация ........................................................  212 
9.3.1. Параметрическая идентификация статической 
детерминированной модели ......................................................  212 
9.3.2. Параметрическая идентификация нелинейных моделей ........  214 
9.3.3. Параметрическая идентификация стохастических объектов  216 
9.3.4. Способы решения многокритериальной задачи ......................  217 
9.3.5. Параметрическая идентификация динамических моделей ....  218 
9.4. Идентификация объектов с внутренними связями .............................  222 
Контрольные вопросы и задания .................................................................  223 
 
Заключение ...................................................................................................  224 
 
Библиографический список ......................................................................  225 
 
 

Введение 

7 

ВВЕДЕНИЕ 

 
 
В настоящее время нельзя назвать область человеческой деятельности, в которой не использовались бы методы моделирования. Особенно это 
относится к сфере управления различными системами, где основными являются процессы принятия решений на основе получаемой информации 
с ее математической обработкой. Области технической деятельности, где 
компьютерная управляющая система принимает решение за человека, все 
более расширяются. В автомобильной промышленности, при производстве 
электроники уже имеются работающие без человека заводы. Для того, чтобы автоматика долго и успешно работала самостоятельно, в ее программное обеспечение должно быть заложено описание контролируемого процесса в виде математических моделей. В металлургии пока не имеется 
производств, работающих без участия человека, это обусловлено сложностью физико-химических процессов, агрессивностью сред, недостаточной 
автоматизацией производств. При автоматизации металлургических процессов особенно актуальной является разработка виртуальных двойников 
процессов или объектов и виртуальных датчиков. Это математические модели разного уровня сложности, позволяющие прогнозировать параметры, 
которые не измеряются или редко измеряются, а также предсказывать поведение технической системы в целом. Методам разработки таких моделей, а также примерам их применения посвящено настоящее пособие.  
Студенты и специалисты, изучившие предлагаемые в пособии разделы, смогут сами моделировать процессы, которыми они управляют как для 
их изучения, так и для повышения эффективности производства, перевода 
предприятий на новый уровень тотальной автоматизации. 
 
 

Глава 1 

8 

Глава 1 

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ 

1.1. Задачи моделирования технических систем 

 
Настоящее учебное пособие предназначено для подготовки специа-
листов в области автоматического или автоматизированного управления 
техническими объектами; поэтому задачей пособия является обучение методам моделирования процессов и объектов, предоставление информации 
об уже имеющихся и эффективно используемых разработках в сфере автоматизации на базе математических моделей. 
Особенностью современных процессов в металлургии, протекающих 
при высоких скоростях, температурах и давлениях в многофазных системах, 
является их большая сложность. Эта сложность проявляется в значительном 
числе и многообразии параметров, определяющих течение процессов, 
в большом числе внутренних связей между параметрами, их взаимном 
влиянии, а также действующих возмущений. Это затрудняет математическое описание процесса. 
При математическом моделировании сложных систем и динамических процессов всегда приходится упрощать и идеализировать процесс. 
Информация о процессе воспринимается через модели. 
Математическая модель – это всегда некоторая идеализация процесса. Степень идеализации может быть различной и зависеть от сложности 
объекта и решаемых задач моделирования.  
Целью математического моделирования в автоматизации и управлении техническими системами является разработка программных модулей для компьютера или другого управляющего устройства, позволяющих 
предсказывать поведение параметров управляемого процесса при воздействии на процесс. 
Модель – это объект, заменяющий оригинал при исследовании. Само исследование при помощи модели и является моделированием. 
Моделирование в широком смысле является основным методом исследований во всех областях знаний и научно обоснованным методом 
оценки характеристик сложных систем. 
Существующие и проектируемые системы можно эффективно исследовать с помощью математических моделей (аналитических и имитационных), которые реализуются на современных компьютерах, а компьютер 
в этом случае выступает в качестве инструмента экспериментатора. Вне

Основы математического моделирования 

9 

дрение новых информационных технологий в процессе разработки автоматизированных систем способствует дальнейшему развитию модельного 
подхода. 
С использованием персональной техники, которая объединяется сетью связей в информационно-вычислительные системы, постоянно увеличивается многообразие используемых моделей, совершенствуется процесс 
компьютерного моделирования. Также возникают новые перспективные 
направления в теории моделирования, ориентированные на анализ и синтез 
сложных систем. Компьютерное моделирование становится средством, позволяющим без капитальных затрат решать проблемы построения сложных 
систем. 
Четвертая промышленная революция (Industry-4.0) предполагает совершенствование технических объектов и управления ими при наличии 
«цифровой тени» объекта или системы. Тень должна отражать основные 
процессы, происходящие в системе, конструктивные параметры объекта. 
И может делать это как с помощью данных, собираемых с датчиков и накапливаемых, так и с помощью математических моделей происходящих 
процессов [1].  
Основными проблемами моделирования металлургических процессов и объектов является недостаток знаний о сущности процессов, 
сложные нелинейные взаимосвязи между параметрами процесса, невозможность или затрудненность проведения необходимого количества измерений. 
Модели значительно облегчают понимание системы, позволяют 
проводить исследования в абстрактном плане, прогнозировать поведение 
реальной системы в интересующих условиях. Основное назначение 
и преимущество модели заключается в том, что в ней сконцентрированы 
важные факторы реальной системы, которые подлежат изучению в конкретном исследовании. Несущественные факторы либо отсутствуют в модели, либо отражены в ней в небольшой степени. Исключение несущественных факторов не просто упрощает модель и облегчает ее построение; 
это является немаловажным преимуществом модели. Их наличие в реальном объекте мешает исследователю, создает некоторый «шум», помехи, на 
фоне которых труднее выявить необходимые свойства и закономерности. 
Моделирование позволяет отказаться от изготовления лабораторной 
и полупромышленной установок или проведения экспериментов на объекте, сэкономить средства, время и дает возможность разрабатывать систему, 
характеристики которой известны, но самих элементов у разработчиков 
нет. Можно имитировать воздействия, воспроизведение которых при реальных испытаниях затруднено, или сложно, или сопряжено с трудностями, или совсем невозможно.