Прикладные задачи в математике

 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 

О. А. Карнаухова 
В. А. Шершнева 
Т. О. Кочеткова 

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ 

В МАТЕМАТИКЕ 

 
Учебное пособие 
 
2-е издание, исправленное и дополненное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2020 

УДК 
510.5(07) 

ББК 
22.1я73 
К245 

Р е ц е н з е н т ы:  
К. В. Сафонов, доктор физико-математических наук, профессор 

кафедры «Прикладная математика» Сибирского государственного 
университета науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева; 

Л. В. Шкерина, доктор педагогических наук, профессор кафедры 

«Математика и методика обучения математике» Красноярского государственного педагогического университета им. В. П. Астафьева 
 
 
 
 
 
 
 
 
Карнаухова, О. А. 
К245  
Прикладные задачи в математике : учеб. пособие / О. А. Карнаухова, В. А. Шершнева, Т. О. Кочеткова. – 2-е изд., испр. и доп. – 
Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2020. – 216 с. 

ISBN 978-5-7638-4204-3 

Приведены краткие теоретические сведения и задачи прикладного характера, 

охватывающие основные разделы математики: алгебра, математический анализ, теория 
вероятностей и математическая статистика. Даны подробные решения наиболее трудных задач с описанием их применения в инженерной практике. 

Предназначено для студентов специальности «Прикладная математика» всех 

форм обучения. 

 
 
Электронный вариант издания см.: 
УДК 510.5(07) 
         http://catalog.sfu-kras.ru 
ББК 22.1я73 
 
 
ISBN 978-5-7638-4204-3 
      © Сибирский федеральный университет, 2020 

Предисловие

Основное содержание учебного пособия изложено в трёх главах:
«Алгебра и аналитическая геометрия», «Математический анализ», «Теория вероятностей и математическая статистика».
С учетом возрастающей роли информационно-коммуникационных
технологий в процессе математического моделирования в учебное пособие включены гл. 4 «Решение математических задач с помощью пакетов
прикладных программ» и гл. 5 «Реализация решения прикладных математических задач в web-ориентированной обучающей среде Moodle».
Прикладные задачи, представленные в настоящем учебном пособии, предназначены для рассмотрения на лекциях, практических занятиях и самостоятельной работы студентов (для этого разработана webориентированная обучающая среда). Среди задач, включённых в пособие, имеются междисциплинарные и профессионально направленные задачи (связанные с направлением инженерной подготовки студента). Поскольку прикладные задачи могут вызывать дополнительные трудности, каждая глава содержит краткий теоретический материал, основные
формулы, связанные с приложениями, а также примеры решения задач.
Многие задачи снабжены указаниями к решению, а наиболее трудные —
полными решениями. В конце пособия приведены ответы к задачам.
Часть задач составлена самими авторами, а часть взята из сборников,
приведённых в библиографическом списке.
Необходимо отметить, что методологической основой данного учебного пособия является теория контекстного обучения, созданная членом
Российской академии образования А. А. Вербицким и его научной школой. Учтён также опыт работы коллектива кафедры прикладной математики и компьютерной безопасности Сибирского федерального университета (СФУ) в процессе обучения математике студентов инженерных
направлений подготовки.
Авторы будут благодарны за отзывы и замечания, а также новые
прикладные задачи, которые просят направлять по электронному адресу: vshershneva@yandex.ru.

3

Введение

Математика является одной из древнейших наук. Многие математические результаты внесли и продолжают вносить важный вклад в науку и технику. Среди них известны такие открытия, как теория реактивного движения ракет, формула для расчёта подъёмной силы крыла, методы расчёта ядерных реакторов, теория кумулятивного взрыва.
Значение математики для инженерной деятельности огромно, и потому
будущему инженеру необходимо получить математическую подготовку
высокого качества.
Однако достичь этого нелегко, если содержание обучения математике будет абстрактно и изолировано от специфики инженерной работы. В этой ситуации, например, трудно сформировать навыки математического моделирования инженерных объектов и процессов. Дисциплина «Математика» часто предстаёт исключительно как совокупность абстрактных понятий и теорем, и её прикладной характер в учебном процессе разглядеть почти невозможно.
«Вернуть» на занятия прикладную сущность математики, показать связь изучаемых понятий и теорем с инженерной практикой, другими учебными дисциплинами могут прикладные математические задачи.
Если содержание такой задачи связано с работой будущего инженера, то
его познавательная активность возрастает, соответственно, повышается
качество фундаментальной математической подготовки, формируются
навыки математического моделирования.
Как правило, этап построения математической модели наиболее
сложен. Каждая из прикладных задач создаёт проблемную ситуацию, в
которой необходимо понять, с чего начать применение математических
знаний. Накапливая по крупицам опыт применения математических знаний за пределами предметного поля математики, будущий инженер учится применять их в профессиональной деятельности, формируется его математическая компетентность.
Авторы считают, что следует оптимально сочетать фундаментальность и прикладную направленность обучения. Решая прикладные зада
4

чи, можно эффективно учить будущего инженера применять знания по
основным разделам математики в профессиональной деятельности.
В двух последних главах показано, как можно решать математические задачи с помощью пакетов прикладных программ MathCad, Maple,
Excel, а также обучающей электронной среды. Также можно организовать самостоятельную работу студентов, при которой решение и проверка этих задач будет в онлайн-режиме. Все вопросы, возникающие по ходу
выполнения заданий, студенты могут задать как в аудитории на практическом занятии, так и в онлайн-режиме на соответствующем форуме
для различных математических дисциплин.
В заключение подчеркнём, что задачи, включённые в данное учебное пособие, предназначены для установления более тесных связей содержания обучения математике с инженерной деятельностью.

5

Глава 1

Алгебра и аналитическая геометрия

1.1. Матрицы и системы линейных уравнений
Теория матриц и систем линейных уравнений находит многочисленные практические применения в задачах, связанных с экономикой
(отражение соотношения затрат и результатов производства), электротехникой и механикой (при исследовании малых колебаний механических систем), транспортными перевозками (логистикой), современными
вычислительными технологиями (идентификация систем, обработка сигналов) и т. д.
Матрицей размера m×n называется прямоугольная таблица чисел
или буквенных выражений, размещённых в m строках и n столбцах:

A = (aij) =









a11
a12
. . .
a1n
a21
a22
. . .
a2n
. . .
. . .
. . .
. . .
am1 am2 . . . amn








,

где aij (i = 1, m, j = 1, n) — элементы матрицы A. Матрица размера
n × n называется квадратной порядка n.

Матрицы упоминались ещё в древнем Китае и назывались тогда «волшебными квадратами». Чуть позднее «волшебные квадраты» стали известны
арабским математикам, возник принцип сложения матриц. Впервые матрица как математическое понятие появилась в середине XIX в. в работах
У. Гамильтона, А. Кэли, Дж. Сильвестра. Последний в 1850 г. ввёл термин
«матрица». Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат
К. Вейерштрассу, К. Жордану, Г. Фробениусу (вторая половина XIX и
начало XX в.).

6

Многие технические объекты и производственные процессы допускают описание или представление в виде матриц. Изучение таких объектов эффективно проводится методами матричной алгебры, которая позволяет: осуществлять компактную запись исследуемого объекта или процесса с помощью матриц и действий над ними; проводить преобразования систем линейных уравнений и находить их решения; делать точные
и приближённые вычисления по известным формулам при программной
реализации на компьютере.
Суммой матриц A = (aij) и B = (bij) одного размера m × n
называется матрица A + B = (aij + bij) того же размера.
Произведением матрицы A = (aij) размера m × n на число k называется матрица kA = (kaij) того же размера.
Произведением матрицы A = (aij) размера m × n на матрицу
B = (bjk) размера n × p называется матрица AB = (cik) размера m × p,
элементы которой находятся по формуле

cik =

n
j=1
aijbjk
(i = 1, m, k = 1, p).

Произведение произвольных матриц A и B не всегда определено (их
размеры должны быть согласованы). Для квадратных матриц A и B
одного порядка существуют оба произведения AB и BA, однако в общем
случае они не совпадают: AB ̸= BA.
Определителем (детерминантом) квадратной матрицы A порядка n называется число, обозначаемое det A или |A|, которое может быть
вычислено по формуле

|A| = a11A11 + a12A12 + · · · + a1nA1n.

Здесь A1j = (−1)1+jM1j — алгебраическое дополнение элемента a1j первой строки матрицы A, а M1j — определитель матрицы порядка n − 1,
получаемой из A вычёркиванием первой строки и j-го столбца (j = 1, n).
Указанная формула вычисления определителя называется разложением
его по элементам первой строки. Отметим, что определитель можно вычислять, разлагая его по элементам любой строки или столбца; значение
определителя при этом не изменится.

7

Идею определителя приписывают японскому математику С. Кова (1683)
и независимо Г. Лейбницу (1693), который пришёл к этому понятию при
решении систем линейных уравнений. Основы теории определителей были заложены швейцарским математиком Г. Крамером, опубликовавшим
в 1750 г. правило решения систем линейных уравнений с буквенными коэффициентами (правило Крамера). Примерно в это же время появился и
метод Гаусса. Термин «определитель» в современном его значении ввёл
О. Коши в 1815 г., а обозначение определителя с помощью вертикальных
линий предложил А. Кэли в 1841 г.

Квадратная матрица A называется невырожденной, если её определитель отличен от нуля: |A| ̸= 0. В противном случае матрицу A называют вырожденной. Матрица A−1 называется обратной к квадратной
матрице A порядка n, если AA−1 = A−1A = E, где

E =









1
0
. . .
0
0
1
. . .
0
. . . . . . . . . . . .
0
0
. . .
1









— единичная матрица порядка n. Обратная матрица определена только
для невырожденных матриц и может быть вычислена по формуле

A−1 = 1

|A| (Aij)T = 1

|A|









A11 A21 . . . An1
A12 A22 . . . An2
. . .
. . .
. . .
. . .
A1n A2n . . . Ann








,

где верхний индекс T означает операцию транспонирования матрицы
(переход к матрице, строки которой являются столбцами исходной).
Систему из m линейных уравнений с n неизвестными x1, . . . , xn
n
j=1
aijxj = bi,
i = 1, m,

с помощью матриц можно записать в виде AX = B, где

A =









a11
a12
. . .
a1n
a21
a22
. . .
a2n
. . .
. . .
. . .
. . .
am1 am2 . . . amn








,
X =









x1
x2...
xn








,
B =









b1
b2...
bm








.

8

Основным методом решения произвольной системы линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, или
метод Гаусса. При m = n система линейных уравнений называется квадратной. Если при этом матрица A невырожденна, то такая система имеет
единственное решение, которое можно найти по формуле

X = A−1B

(метод обратной матрицы) или формулам Крамера:

xj = ∆j

∆ ,
j = 1, n,

где ∆j — определитель, который получается из определителя ∆ = |A|
заменой j-го столбца на столбец B свободных членов системы.
Для решения систем линейных уравнений по указанным формулам
можно использовать системы компьютерной алгебры (Maple, MathCAD
и др.), в которых реализованы стандартные операции над матрицами.

Задача 1.1. В соответствии с программой строительно-дорожных
работ установлено, что для ремонта и строительства дорог необходимо:

1) для 1-го района — 4 ед. техники типа I и 2 ед. типа II;

2) для 2-го района — 12 ед. техники типа I и 3 ед. техники типа III;

3) для 3-го района — 8 ед. техники типа III.

Определить расход горюче-смазочных материалов видов p и q в каждом
районе, если нормы расхода материалов для одной единицы техники таковы: для техники типа I — 2 ед. материала p и 5 ед. материала q; для
техники типа II — 10 ед. материала p и 20 ед. материала q; для техники
типа III — 10 ед. материала p и 50 ед. материала q.

Решение. Данные задачи удобно записать в виде матрицы A необходимых затрат по типу техники и матрицы B норм расхода горючесмазочных материалов:

A =





4
2 0
12 0 3
0
0 8




 ,
B =





2
5
10 20
10 50




 .

9

Легко видеть, что, например, для 1-го района расход горюче-смазочного
материала p составляет

4 · 2 + 2 · 10 + 0 · 10 = 28 (ед.),

т. е. получается как произведение 1-й строки матрицы A на 1-й столбец
матрицы B. Аналогично, для любого района расход каждого горючесмазочного материала равен произведению строки матрицы A, соответствующей этому району, на столбец матрицы B, соответствующий нормам расхода этого материала. Таким образом, ответ к задаче даётся матрицей C, равной произведению матрицы A на матрицу B:

C = AB =





4
2 0
12 0 3
0
0 8










2
5
10 20
10 50




 =





28
60
54 210
80 400




 .

Задача 1.2. Даны матрица A коэффициентов прямых затрат производства (зарплата сотрудникам, налоги, материалы и т. д.) и матрица
B коэффициентов полных затрат производства:

A =





0
0, 2
0
0, 2
0
0, 1
0
0, 1 0, 2




 ,
B =





1, 04 0, 21 0, 03
0, 21 1, 06 0, 13
0, 03 0, 13 1, 27




 .

Требуется найти матрицу коэффициентов косвенных затрат (аренда помещения, обслуживание производства и т. д.).

Решение. Матрица C коэффициентов косвенных затрат представляет собой разность между матрицей B коэффициентов полных затрат
производства и матрицей A коэффициентов прямых затрат:

C = B − A =

=





1, 04 0, 21 0, 03
0, 21 1, 06 0, 13
0, 03 0, 13 1, 27




 −





0
0, 2
0
0, 2
0
0, 1
0
0, 1 0, 2




 =





1, 04 0, 01 0, 03
0, 01 1, 06 0, 03
0, 03 0, 03 1, 07




 .

Задача 1.3. Для производства изделий a1, a2 необходимы узлы b1,
b2, для которых, в свою очередь, необходимы детали c1, c2, c3 в количе
10