Исчисления комбинаторных тождеств с помощью интегральных представлений

ДО

СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
SIBERIAH FEDERAL UniVERSITY





                В. П. Кривоколеско




ИСЧИСЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ ТОЖДЕСТВ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Сибирский федеральный университет









В. П. Кривоколеско





ИСЧИСЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ ТОЖДЕСТВ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ





Монография























Красноярск СФУ 2019

УДК 519.156:517.3
ББК 22.174.1
      К821



          Р е ц е н з е н т ы:
          А. Г. Александров, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник Института проблем управления РАН;
          К. В. Сафонов, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой прикладной математики СибГТУ им. М. Ф. Решетнева

          Кривоколеско, В. П.
К821 Исчисление комбинаторных тождеств с помощью интегральных представлений : монография / В. П. Кривоколеско. -Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2019. - 179 с.
          ISBN 978-5-7638-4141-1

          Данная работа посвящена интегральным представлениям голоморфных функций в ограниченных линейно выпуклых областях с кусочно-регулярными границами и их приложениями.
          Предназначена для специалистов по многомерному комплексному анализу, а также для студентов и аспирантов, изучающих этот предмет. Материал подобран согласно научным интересам автора.






Электронный вариант издания см.:
http://catalog.sfu-kras.ru









УДК 519.156:517.3
ББК 22.174.1

ISBN 978-5-7638-4141-1

                           © Сибирский федеральный университет, 2019

                Оглавление





Введение                                                                            5

Глава 1. Интегральные представления для ограниченных линейно выпуклых областей с кусочно-регулярными границами                                             7
   1.1. Предварительные сведения................................................... 7
       1.1.1. Линейная выпуклость в Cⁿ ............................................ 7
       1.1.2. Интегральная формула Коши-Фантаппье.................................. 8
   1.2. Интегральное представление в линейно выпуклой области с кусочно-регулярной границей в Cⁿ..................................................................... 10
       1.2.1. Смешанные левианы и интегральное представление...................... 10
       1.2.2. Доказательство интегрального представления.......................... 15
   1.3. Интегральное представление для n-круговой ограниченной линейно выпуклой области с кусочно-регулярной границей в Cⁿ............................................. 25

Глава 2. Приложения интегрального представления для ограниченной n-круговой линейно выпуклой области с кусочно-регулярной границей в Cⁿ                     34
   2.1. Некоторые свойства n-круговых множеств.................................... 34
   2.2. Полные линейно выпуклые области и тождества с полиномиальными коэффициентами 42 2.3. Интегрирование голоморфных мономов по кусочно-регулярной границе ограниченной
       n-круговой линейно выпуклой области в C² и C³.............................. 45
       2.3.1. Вспомогательные результаты.......................................... 45
       2.3.2. Пример интегрирования голоморфных мономов по кусочно-регулярной границе ограниченной бикруговой линейно выпуклой области в C²...................... 49
       2.3.3. Пример интегрирования голоморфных мономов по кусочно-регулярной границе ограниченной n-круговой линейно выпуклой области в C³...................... 58
   2.4. Применение метода коэффициентов Егорычева для обобщения полученного тождества 81
   2.5. Обобщение полученных тождеств применением композиции Адамара.............. 89

Глава 3. Интегралы от рациональных функций с параметрами и особенностями на комплексных гиперплоскостях                                                     95
   3.1. Предварительные сведения.................................................. 95
   3.2. Алгоритм вычисления интегралов по остову единичного полицилиндра в Cⁿ..... 97
   3.3. Примеры реализации алгоритма.............................................. 98
       3.3.1. Вычисление интеграла по остову единичного бицилиндра от рациональной функции с помощью его искусственной параметризации..........................112
   3.4. Частные случаи предложения 3.3 при n = 2 .................................114

Глава 4. Алгоритмы получения тождеств с полиномиальными коэффициентами и их компьютерная реализация                                                        129
   4.1. Алгоритмы интегрирования мономов zs по кусочно-регулярной границе ограниченой n-круговой линейно выпуклой области в C², C³, C⁴...............................129
       4.1.1. Алгоритм интегрирования голоморфных мономов zss¹ z2² по кусочно-регулярной
             границе ограниченной n-круговой линейно выпуклой области в C² (n = 2) ... 129
       4.1.2. Алгоритм интегрирования голоморфных мономов zss¹ z S,² z 3³ по кусочнорегулярной границе ограниченной n-круговой линейно выпуклой области в C³ . 133
       4.1.3. Алгоритм интегрирования голоморфных мономов zss¹ ...z 4⁴ по кусочнорегулярной границе ограниченной n-круговой линейно выпуклой области в C⁴ . 138
       4.1.4. Выбор програмных средств для алгоритмов ............................148

3

4.2. Пример для проверки программ интегрирования голоморфных мономов по кусочнорегулярной границе ограниченной линейно выпуклой области..........................150

4.2.1.     Построение проекции области и задание ее ориентации на диаграмме Рейнхарта 151
4.2.2.     Проверка линейной выпуклости области и ее границы на кусочную регулярность 152
4.2.3.     Нахождение и вычисление vJ - слагаемых интегрального представления .... 157   
4.2.4.     Получение комбинаторных тождеств..........................171                 
Заключение                                                                            173

Список литературы                                                       174

                                   Посвящяется моему дяде
                             Степану Андреевичу Тюшкевичу¹





                Введение




   Хорошо известно, что концепция линейной выпуклости для областей в комплексной плоскости C² появилась в середине 30-х годов XX века в совместной работе Г. Бенке и Э. Пешля (Н. Behnke, Е. Peschl), среди прочего содержащей и определение комплексного аналога понятия выпуклости, в котором гиперплоскости являются комплексными линейными пространствами.
   В дальнейшем, главным образом в течении десятилетий, охватывающих период 1960-1970 г., многие исследователи продолжили изучение линейно выпуклых областей в n-мерном комплекс ном пространстве Cп, причем представители красноярской школы комплексного анализа заняли одно из ведущих мест в этом процессе.
   В представленной монографии приведены результаты сороколетней работы, посвященные детальному описанию и изучению интегральных представлений для функций в комплексном пространстве Cп, которые голоморфны в ограниченных линейно выпуклых областях с кусочно-регулярными границами, а также многочисленным применениям и приложениям полученных результатов.
   Данная работа посвящена интегральным представлениям функций, голоморфных в ограниченных линейно выпуклых областях с кусочно-регулярными границами и их приложениям. Работа состоит из четырех глав.
   В теорема 1.1 первой главы доказано интегральное представление для функций, голоморфных в ограниченных линейно выпуклых областях с кусочно-регулярными границами в Cп. Доказательству этой теоремы предшествует ряд утверждений, представляющих самостоятельный интерес. В частным случае из полученного представления следует интегральная формула Л. А. Айзенберга для ограниченной линейно выпуклой области с дважды гладкой (регулярной) границей.
   В этой же главе в теореме 1.2 получено интегральное представление для функций, голоморфных в ограниченных п-круговых линейно выпуклых областях с кусочно регулярной границей, содержащее произведения линейных выражений относительно переменных интегрирования.
   Во второй главе приводятся приложения полученных интегральных представлений. В теореме 2.2 доказывается, что каждой ограниченной полной n-круговой линейно выпуклой области с кусочно-регулярной границей соответствует серия тождеств с полиномиальными коэффициентами, зависящая от геометрии области.
   При рассмотрении примера интегрирования голоморфных мономов по кусочнорегулярной границе ограниченной линейно выпуклой области в C² доказан ряд тож
  ХС. А. Тюшкевич окончил в 1941 году Лениградский электротехнический интститут и ушел добровольцем на фронт; доктор философских наук, профессор, академик РАЕН, заслуженный деятель науки РСФСР, лауреат Государственной премии СССР, генерал-майор. - Авт.


5

деств с полиномиальными коэффициентами, одно из которых явилось обощением известного тождества T.W. Chaundy and J.E. Bullard.
   Опираясь на полученные тождества, при рассмотрения примера интегрирования голоморфных мономов по кусочно-регулярной границе ограниченной линейно выпуклой области в C³ доказана еще одна серии тождеств с полиномиальными коэффици-ентамии.
   В результате интереса к полученным тождествам был получен ряд их обощений.
   Методом коэффициентов, совместно с Г.П. Егорычевым и М. Н. Давлетшиным, доказаны обобщения тождеств, полученных при рассмотрении примера C³.
   Применением композиции Адамара, совместно с Е.К. Лейнартасом, доказано несколько обобщений тождеств и дано их вероятностное истолкование.
   При рассмотрении примеров стало ясно, что нужно разобраться с вычислением интегралов по остову единичного полицилиндра в Cⁿ от рациональных дробей с параметрами и особенностями на комплексных гиперплоскостях.
   В третьей главе определяется вектор-функция T (V₁,..., Vₘ; G) = (р ₁,..., рт), характеризующая взаимное расположение в Cⁿ комплексных г иперплоскостей V₁,... ,Vₘ (семейств, порождаемых ими) и n-кругового множества G с помощью диаграммы Рейнхарта, и формулируется алгоритм вычисления интегралов такого типа.
   Там же, следуя алгоритму, вычислены интегралы для нескольких случаев, но ответы даны в виде ряда. Оказалось, что при п = 2, ответы можно «свернуть»- записать в виде суммы конечного числа слагаемых.
   В четвертой главе приведены алгоритмы интегрирования голоморфных мономов по кусочно-регулярной границе, ограниченной п-круговой линейно выпуклой области в C², C³ и C⁴. Нужно отметить, что алгоритм для C² применен при написании программы интегрирования голоморфных мономов по кусочно-регулярной границе ограниченной линейно выпуклой области, заданной линейными ограничениями.
   Материал, рассмотренный в работе, может быть полезен для дальнейших исследований приложений интегральных представлений функций, голоморфных в ограниченных линейно выпуклых областях с кусочно-регулярной в Cп.
   Хочу выразить благодарность моим учителям: А. П. Южакову, Л. А. Айзенбергу, Г. П. Егорычеву, Л. С. Маергойзу, а также А. К. Циху, А. М. Кытманову, Е. К. Лей-нартасу, В. А. Степаненко, В. М. Трутневу, Б. С. Зиновьеву и участникам семинара по теории функций под руководством А. К. Циха.

6

 Глава 1.





                Интегральные представления для ограниченных линейно выпуклых областей с кусочно-регулярными границами




            1.1. Предварительные сведения


        1.1.1. Линейная выпуклость в Cⁿ

  Напомним, что понятие линейной выпуклости было дано в середине 30-х годов прошлого столетия в работе Бенке и Пешля [36] для областей в C².
  Область D С Cⁿ называется линейно выпуклой (локально линейной выпуклой), если для каждой точки zо G dD существует комплексно (n — 1)-мерная аналитическая плоскость, проходящая через z₀ и не пересекающая D (в некоторой окрестности точки z₀).
  Бенке и Пешль [36] для областей в C² (точнее в P²) с дважды гладкой границей указали условия локальной линейной выпуклости, а также доказали, что для таких областей из локальной линейной выпуклости следует и их линейная выпуклость.
  В 1960-1970-х годах прошлого столетия было продолжено изучение линейно выпуклых областей в Cⁿ многими математиками, прежде всего в красноярской школе по комплексному анализу. С одной стороны, глубоко изучалась теория функций в линейно выпуклых областях в статьях Л. А. Айзенберга [1] и [2], А. Мартино (A. Martineau) [42] и [43], Л. Я. Макаровой, В. М. Трутнева [26]. С другой - появилась потребность в изучении геометрического аспекта понятия линейной выпуклости. В этом направлении прежде всего следует отметить результаты А. П. Южакова, В. П. Кривоко-леско [3], Ш. А. Даутова, В. А. Степаненко [7], Б. С. Зиновьева [11], С. В. Знаменского |12|, [14] и [13] и др. В последнее десятилетие возродился интерес к линейной выпуклости и близкому к нему понятию С-выпуклости в работах скандинавских математиков (М. Andersson, М. Passare, R. Sigurdsson [35]; L. Hormander [40], C. Kiselman [41] и др.).
  В упоминавшейся пионерской статье Бенке и Пешля отмечалось, что существует бесконечное множество топологически различных ограниченных линейно выпуклых

областей в Cп(n > 2) с негладкой границей.
   В работе [32] 1971 года А. П. Южаков и В. П. Кривоколеско доказали, что линейно выпуклая область с гладкой границей в Cп, n > 1 гомеоморфна шару и любое ее сечение комплексной одномерной плоскостью (комплексной прямой) односвязно.
   В то же время в работе 1972 года Ш. А. Даутов и В. А. Степаненко [7] привели простой пример ограниченной линейно выпуклой, но невыпуклой области с гладкой границей.
   Отметим, что для ограниченных линейно выпуклых областей с гладкими границами Л. А. Айзенбергом ([3], формула (8.6)) было получено интегральное представление для голоморфных функций с голоморфным ядром.
   В работе А. Мартино [43] 1968 года было введено понятие линейчатой выпуклости (lineelement convexce) множества. По определению А. Мартино множество называется lineelement convexce, если через каждую точку его дополнения проходит комплексная гиперплоскость, не задевающая это множество. За такими множествами в отечественной литературе 1970-х годов закрепился термин линейно выпуклые по Мартино (lineelement convexce).
   В работах М. Андерсона, М. Пассаре [33], [34] 1991-1992 годов было предложено открытое или замкнутое множество в CPп(Cп) называть С-выпуклым, если его пересечение с любой комплексной прямой ациклично (ацикличность открытого, или компактного, множества на комплексной проективной прямой означает связность самого множества и непустоту и связность дополнения к нему).
   С. В. Знаменским [12], [14] было дано описание класса С-выпуклых множеств: он состоит из таких линейно выпуклых областей или компактов, сечения которых комплексными прямыми ацикличны (в случае областей в Cп ацикличность сечения комплексной прямой означает его связность и односвязность), и было доказано в [13], что С-выпуклые области в Cп линейно выпуклы по Мартино.

        1.1.2. Интегральная формула Коши-Фантаппье

   В тридцатые годы прошлого века были найдены две достаточно общие интегральные формулы, сыгравшие заметную роль в развитии многомерного комплексного анализа (А. Вейль (1932), Бергман (1934), Мартинелли (1938), Бохнер (1943)).
   Следующий важный шаг был сделан Ж. Лере в 1956 году [22]. Отправляясь от идей Фантаппье, он нашел весьма общую интегральную формулу для функций, голоморфных в произвольных областях в Cп, которая, как позже выяснилось, содержит в себе как частные случаи формулы Бохнера-Мартинелли и Вейля. Напомним формулировку теоремы Лере (которую он назвал формулой Коши-Фантаппье).
   Пусть 9 - область в Cп, и z - фиксироваиная точка в 9. Рассмотрим в области Q = Cп х 9, снабженной координатами у = (у ₁,..., уп) G Cⁿl и С = (Сi, ■ ■ ■, Сп) G 9, гиперповерхность вида

Pz = {(у, С) G Q : (у, С - z} = 0}.

   Пусть hz — (2n — 1)-мерный цикл в области Q r Pz, проекция которого на 9 r {z}

  ¹ Греческие буквы набраны курсивом по техническим причинам. - Авт.


8

гомологична дQ, и Hz — класс компактных гомологий области Q r Pz, содержащий цикл hz.
   Теорема (Лере, 1956). Для любой голоморфной функции в области Q имеет место равенство
                    f (z) = ⁽ⁿ — ¹⁾! [    f (z)Ш⁽П) л ш⁽Z)               (1 1)
                    f⁽ )  (2пг)п     J    f ⁽Z) {п,С — z}ⁿ '               ’
hzeH (Q r Pz)
где
                     n
Ш (n) = 22 (—1)m-¹ dmdn 1 л ... л dnₘ-1 л dnₘ +1 Л ... Л d^n,
                    m =1
ш(Z) = dZ ₁ Л ... Л dnn.
   Для случая выпуклых областей с гладкой границей D = {Z G Cⁿ : р(Z) < 0}, удачную реализацию формулы (1.1) нашел сам Лере [22] в 1956 г. Именно в этом случае в качестве цикла hz в формуле (1.1) можно взять график отображения
■ n⁽Z-z) =   ⁽Z) = (>⁽z),...£(z)) ,< G dD.
   Тогда формула (1.1) приобретает вид

                     f (z) =     ! [ f (z)ш ⁽%⁽Z)) л ш⁽Z)                ₍₁₂₎
f ⁽z)= (2пг)ⁿ J f ⁽Z) h%(z) ,Z — z}n ’
ZedD

f(z f (z) G H (D) ,z G D.
   В 1967 году Л. А. Айзенберг [3] заметил, что формула (1.2) справедлива и для любой линейно выпуклой области с гладкой границей.
   Формула Коши-Фантаппье-Лере, т. е. формула (1.1), позволяет получать удачные интегральные представления в областях с кусочно-гладкой границей и несколькими барьерными функциями, например в полиэдрах Вейля или классических областях.
   Общая схема [29, с. 60-63] таких представлений такова. Пусть ограниченная область G в Cⁿ имеет границу GG, обладающую регулярным разбиением на гладкие (2n — 1)-мерные ориентированные куски Гj ,j = 1,..., N так, что
N            N
dG = J Гj, дГj = [J Гj,j,                      (1.3)
j=1          j=1
где J = ⁽j 1 ,...,jr) С {¹ ,...,N}; Г j - ориентированный (2n — r — 1)-мерный (гладкий) кусок границы (2n — r)-мерного многообразия ГJ. При этом многообразия ГJ и ГJо не пересекаются, если J не есть перестановка J', и совпадают в противном случае. Ориентация многообразий ГJ в силу (1.3) кососимметрична по перестановкам в мультииндексе J. Далее рассмотрим симплекс
N
△ = {t = (t о ,t 1,... ,tN) G Rⁿ⁺¹ : tj > 0, X tj = 1},
j=o

9