Теоретическая механика. Статика

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

О. В. Воротынова, С. Л. Крафт, Л. Ю. Фомина

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Статика

 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2020 

УДК 531.01(07) 
ББК  22.21я73 
В758 
 
Р е ц е н з е н т ы :  
Е. А. Чабан, кандидат технических наук, доцент кафедры «Общепрофессиональные дисциплины» КрИЖТ  ИрГУПС; 
О. В. Пиляева, кандидат технических наук, доцент кафедры «Агроинженерия» Ачинского филиала КрасГАУ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Воротынова, О. В. 
В758 
 
Теоретическая механика. Статика : учеб. пособие / О. В. Воротынова, С. Л. Крафт, Л. Ю. Фомина. – Красноярск : Сиб. федер. 
ун-т, 2020. – 152 с. 
ISBN 978-5-7638-4245-6 
 
Изложен теоретический материал и приведены примеры решения типовых задач по темам «Система сходящихся сил», «Плоская система сил», 
«Пространственная система сил». Предложены оригинальные задачи и задания для закрепления практических навыков. Особое внимание уделено темам «Законы трения», «Устойчивость равновесия».  
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 08.03.01 
«Строительство», 20.03.02 «Природообустройство и водопользование», 
08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений». 
 
Электронный вариант издания см.: 
УДК 531.01(07) 
http://catalog.sfu-kras.ru 
ББК 22.21я73 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7638-4245-6 
© Сибирский федеральный 
университет, 2020 

Введение 

ВВЕДЕНИЕ

 
 
История науки «Теоретическая механика» своими корнями уходит 
в древнейшую эпоху.  
Во все времена люди стремились к тому, как обустроить свой быт, 
освоить новые территории, и для облегчения своих физических усилий им 
необходимо было изобретать различные приспособления и механизмы.  
В связи с этим появилась и развивалась наука «Механика». 
Впервые термин «механика» появился в трудах древнегреческого философа Аристотеля в IV веке до н. э. и означал: «ухищрение», «машина». 
Вспомним, что под механическим движением мы понимаем простое 
перемещение тел в пространстве, т. е. изменение их местоположения с течением времени по отношению к другим телам. 
Теоретическая механика – это наука о наиболее общих законах механического движения и связанные с ним механические взаимодействия 
между телами. 
При изучении общих законов используют абстрактные понятия, которые позволяют отвлечься от несущественных свойств тел и явлений. 
Чтобы не рассматривать характер взаимодействия тел и площадь их соприкосновения, вводят понятие силы. В случаях когда можно пренебречь 
способностью тела деформироваться (изменять свои размеры), говорят об 
абсолютно твердом теле. Если можно пренебречь различием в движении 
отдельных точек тела (т. е. отвлечься от такого свойства тела, как протяженность) вводят понятие материальной точки. 
Классическая механика была сформирована англичанином И. Ньютоном (физик, математик) в XVII веке н. э., и базируется она на основных 
аксиомах механики (законах Ньютона). Классическая механика актуальна 
и в наши дни и является базой большинства инженерных расчетов (в частности, при проектировании зданий и сооружений). 

Дальнейшее развитие механика получила в трудах Л. Эйлера 

и Ж. Лагранжа (XVIII в.); Л. Навье, Дж. Стокса, Н. Е. Жуковского, А. М. Ляпунова, А. Пуанкаре и др. (XIX–XX вв.).  
Дисциплина «Теоретическая механика» включает в себя три модуля: 
«Статика», «Кинематика» и «Динамика». 
Задача дисциплины «Теоретическая механика» – дать будущим инженерам основные сведения о законах движения и равновесия тел, о методах расчета конструкций и их элементов, заложить базу для изучения таких специальных дисциплин, как сопротивление материалов, техническая 
механика, строительная механика, строительные конструкции, проектирование зданий и сооружений. 

3 

Введение 

Данное учебное пособие посвящено изучению модуля теоретической 

механики «Статика». 

Статика – это раздел механики, в котором изучают равновесие тел 

под действием приложенных к ним сил, а также замену одной системы сил 
другой, ей эквивалентной. 

В пособии приводится теоретический материал с формулировками 

и доказательством основных положений и теорем статики. Разобраны примеры решения задач и оригинальных заданий. Для самоконтроля степени 
усвоения теоретического материала в конце каждой главы имеются контрольные вопросы. Для закрепления практических навыков предлагаются 
задачи и задания для самостоятельного решения. 

В отличие от большинства имеющихся учебных пособий по дисцип
лине данное учебное пособие довольно подробно рассматривает такие темы, как «Равновесие тел с учетом трения»; «Устойчивость тел»; «Пространственная система сил». 

Для закрепления полученных знаний рекомендуется после изучения 

каждой главы пособия ответить на контрольные вопросы, решить задачи 
и задания из приложения по соответствующим темам. 
Для успешного усвоения материала теоретической механики необходимо иметь базовую математическую подготовку. Во всех разделах курса широко применяются: 
1) векторная алгебра (сложение и разложение векторов, скалярное 
и векторное произведение векторов, проекции векторов на плоскости и координатные оси); 
2) математический анализ (дифференцирование функций, нахож
дение интегралов от простейших функций – определенных и неопределенных);  
3) геометрия и тригонометрия. 
 
 

4 

1. Основные понятия, определения, теоремы 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ТЕОРЕМЫ

1.1. Основные понятия статики

 
Абсолютно твердое тело – тело, расстояние между двумя точками 
которого остается неизменным. 
Сила F  – векторная величина (рис. 1.1), являющаяся мерой механического взаимодействия между телами. Сила характеризуется величиной 
(модулем), направлением и точкой приложения А (рис. 1.1). Прямая, вдоль 
которой направлен вектор силы, называется линией действия силы. 
Система сил – это совокупность нескольких сил. 
Если линии действия сил системы принадлежат одной плоскости, 
то такая система называется плоской системой сил. Если линии действия 
сил системы не лежат в одной плоскости, то такая система называется 
пространственной системой сил. 
Если одну систему сил, действующих на твердое тело, заменить другой системой и при этом состояние тела не изменится, то такие две системы сил называют эквивалентными. 
Систему сил, которая будучи приложенной к твердому телу, находящемуся в покое, не выводит его из этого состояния, называют уравновешенной или эквивалентной нулю.  
Сила R


, эквивалентная системе сил, называется равнодействующей 
системы сил (рис. 1.2).  

Силу 

/
R


, равную по модулю равнодействующей, направленную 
с ней по одной прямой в противоположную сторону, называют уравновешивающей (рис. 1.3). 
 
 

 
 
 
Рис. 1.1 
Рис. 1.2 
 
 

 
 
Рис. 1.3 

5 

Теоретическая механика. Статика 

Силы, действующие на тела данной механической системы со стороны тел, не входящих в эту систему, называют внешними (
e
F


). 
Силы, действующие между телами данной механической системы, 
называют внутренними (
i
F


).* 
 
 

1.2. Основные аксиомы статики

 
Рассмотрим аксиомы механики. 
1. Принцип инерции: материальная точка, на которую не действуют силы или действует уравновешенная система сил, находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно. 
2. О равновесии тела под действием двух сил: твердое тело находится в равновесии под действием двух сил, если они равны по модулю, направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.4):
F
F′
= −



. 
 
 

 
 
Рис. 1.4 
 
 
3. О присоединении и исключении уравновешенной системы сил: 
если к системе сил, действующей на твердое тело, присоединить или из 
неё исключить уравновешенную систему сил, то действие этой системы 
сил на твердое тело не изменится. 
Из 2- и 3-й аксиом следует теорема: действие силы на твердое тело 
не изменится, если перенести точку приложения силы в любую другую 
точку тела на линии её действия. 
Вектор, обладающий таким свойством, называется скользящим, 
т. е. сила – это скользящий вектор. 
Доказательство 
Пускай на тело действует сила F


, приложенная к точке А (рис. 1.5, а).  
Тогда по 3-й аксиоме мы можем присоединить уравновешенную систему сил. Прикладываем к точке В тела систему сил 
;
F
F
′
′′



, и по 2-й аксиоме имеем следующее: так как это уравновешенная система двух сил, то 
они направлены по одной прямой и F
F
′
′′
= −



 (рис. 1.5, б). 

*Верхние индексы e и i от латинских: exterior (внешний) и interior  (внутренний). 

6 

1. Основные понятия, определения, теоремы 

 
а 
 

 
б 
 

 
в 
 
Рис. 1.5 
 
 
Причем силу F′

 выбрали так, чтобы она была направлена по линии 
действия силы F


 и F
F′
=



.  
Тогда F
F′′
= −



 и система сил 
;
F F′′



 по 2-й аксиоме является уравновешенной, которую, следуя 3-й аксиоме, можно исключить. 
В результате осталась одна сила F′

, приложенная к точке В 
(рис. 1.5, в). 
Теорема доказана. 
4. Параллелограмм двух сил: равнодействующая двух пересекающихся сил, действующих на твердое тело, приложена к точке пересечения 
линий их действия и определяется диагональю параллелограмма, построенного на этих силах (рис. 1.6), т. е. 
 

1
2
R
F
F
=
+




. 

 
Модуль равнодействующей можно определить, используя теорему 
косинусов:  
 

2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
cos
2
cos (180
)
R
F
F
F
F
F
F
F
F
=
+
−
⋅
⋅
⋅
β =
+
−
⋅
⋅
⋅
° − α =

2
2
1
2
1
2
2
cos
.
F
F
F
F
=
+
+
⋅
⋅
⋅
α

7 

Теоретическая механика. Статика 

5. Равенство действия и противодействия: две материальные 
точки взаимодействуют друг с другом с силами, равными по модулю, направленными по одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.7). 
 
 

 
 
Рис. 1.6 
 
 

 
Рис. 1.7 
 
 

2 1
1 2
F
F
−
−
= −



. 

 
Из 5-й аксиомы следует важное свойство внутренних сил: система 
внутренних сил является уравновешенной. 
6. Принцип отвердевания: равновесие системы сил, приложенной 
к деформирующемуся телу, сохраняется при его отвердевании. 
Этот принцип используют, например, при расчете составных конструкций. 
7. Принцип освобождаемости от связей: всякое несвободное тело 
можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить их 
реакциями.  
 
 

1.3. Система сходящихся сил

 
Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, 
называется системой сходящихся сил (рис. 1.8).  
Теорема. Система сходящихся сил имеет равнодействующую, приложенную к точке пересечения линий действия сил системы и равную 
геометрической сумме сил системы. 

8 

1. Основные понятия, определения, теоремы 

 
 
Рис. 1.8 
 
 
Для системы из n сил 
1
2
3
,
,
,...,
n
F F
F
F





 имеем: 

 

 

1

n

k
k
R
F

=
=∑



. 
(1.1)  

 
Доказательство 
Пусть система состоит из трех сил 
1
2
3
,
,
F F
F




 (рис. 1.9, а), линии действия которых пересекаются в точке О. Тогда пользуясь свойством силы, 
что сила – скользящий вектор, переносим каждую из сил по линии её действия в точку О. 
Используя 4-ю аксиому статики, две пересекающиеся силы 
1
F


и 
2
F


 
заменяем равнодействующей 
1,2
1
2
R
F
F
=
+




. Теперь в системе осталось две 

пересекающиеся силы 
1,2
R


 и 
3
F
 , которые по 4-й аксиоме статики можем 
заменить одной силой – равнодействующей (рис.1.9, б): 
 

1,2,3
1,2
3
1
2
3
R
R
R
F
F
F
F
=
=
+
=
+
+








. 

 
 

 
 
 
а 
б 
 
Рис. 1.9 

9 

Теоретическая механика. Статика 

Если сил в системе больше трех, то повторяем вышеприведенные 
рассуждения и в результате останется одна сила – равнодействующая этой 
системы сил.  
Теорема доказана. 
Рассмотрим способы сложения сил. 
1. Геометрический способ: 
а) последовательное построение параллелограмма на двух силах 
(рис. 1.9, б); 
б) построение многоугольника из сил системы (рис. 1.10). 
2. Аналитический способ – векторы определяются через проекции на 
координатные оси: 
 

 

1
1
1
;
;
.

n
n
n

x
kx
y
ky
z
kz
k
k
k
R
F
R
F
R
F

=
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
 
(1.2) 

 

2
2
2
x
y
z
R
R
R
R
=
+
+
. 

 
Условия равновесия системы сходящихся сил. 
Необходимое и достаточное условие равновесия для системы сходящихся сил – равнодействующая этой системы сил равна нулю, т. е. 
 

 

1
0

n

k
k
R
F

=
=
=
∑



. 
(1.3) 

 
Тогда: 
1. Геометрическое условие равновесия: силовой многоугольник, построенный на силах системы, должен быть замкнут. Например, для 
уравновешенной системы из четырех сходящихся сил 
1
2
3
4
,
,
,
F F
F
F





 получим рис. 1.11. 
 
 

 
 
Рис. 1.10 
Рис. 1.11 
 

10