Математика: математический анализ

 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

Сибирский федеральный университет 

 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

А. В. Литаврин  

 
 

МАТЕМАТИКА:  

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 

 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Красноярск 

СФУ 
2019 

УДК 
517.1(07) 

ББК 
22.14я73 
Л640 

 
 

Р е ц е н з е н т ы:  
О. В. Кравцова, кандидат физико-математических наук, доцент 

кафедры высшей математики № 2 Сибирского федерального университета;  

А. Н. Полковников, кандидат физико-математических наук, 

старший преподаватель кафедры высшей математики № 2 Сибирского федерального университета 
 
 
 
Литаврин, А. В. 
Л640  
Математика: математический анализ : учеб. пособие / А. В. Литаврин. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2019. – 136 с. 

 

ISBN 978-5-7638-4124-4 

 

Изложен теоретический и практический материал по следующим частям 

математического анализа: теория пределов, дифференциальное исчисление 
функций одной переменной, интегральное исчисление функций одной переменной. Каждый раздел содержит теоретический материал (основные определения, свойства, методы и теоремы, необходимые для решения задач), разобранные примеры решений типовых задач и задания для самостоятельной  
работы. 
Предназначено для студентов укрупненной группы направлений подготовки 38.00.00 «Экономика и управление» (38.03.01 «Экономика», 38.03.02 
«Менеджмент», 38.03.03 «Управление персоналом», 38.05.01 «Экономическая 
безопасность»). 

 
 
 
Электронный вариант издания см.: 
УДК 517.1(07) 
http://catalog.sfu-kras.ru 
ББК 22.14я73 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7638-4124-4 
      © Сибирский федеральный университет, 2019 

ВВЕДЕНИЕ

Методы математического анализа активно используют во многих дисциплинах, изучаемых студентами экономических специальностей.
Часть этих дисциплин также можно отнести к разделам математики. В
то время как другие дисциплины, использующие язык математического
анализа, узкоспециальные.
Представлены материалы следующих глав математического анализа: теория пределов, дифференциальное исчисление функций одной
переменной и интегральное исчисление функций одной переменной.
Пособие разделено на три главы: «Введение в математический анализ и основы теории пределов», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной» и «Интегральное исчисление функций одной переменной». Каждая глава содержит разделы, состоящие из теоретического материала, разобранных примеров и перечня задач для работы на
практических занятиях, а также для самостоятельной работы.
Разделы начинаются с теоретического материала, который представлен обзорно. Изложение теоретического материала необходимо для
формирования у студентов корректных навыков использования методов
и понятий математического анализа. Разобранные типовые примеры помогут не только освоить навыки решения типовых задач, но и помочь
осмыслить связи между теоретическими сведениями (теоремами, формулами и определениями) и алгоритмами решения задач.
Пособие предназначено для студентов экономических специальностей, его цель – помочь освоить навыки решения типовых задач и ознакомиться с основными понятиями и теоремами математического анализа
функции одной переменной.

3

1. Введение в математический анализ
и основы теории пределов

1.1. Элементы теории множеств и понятие функции

1.1.1. Некоторые сведения о множествах. Базовое понятие математики – множество. Оно постулируется. Естественными примерами
множеств выступают числовые множества: N – множество натуральных
чисел, Z – множество целых чисел, Q – множество всевозможных рациональных чисел и множество действительных чисел R.
Если M – множество элементов некоторой природы, объект x есть
элемент множества M, а объект y не является элементом множества M,
то имеет место символическая запись:

x∈M,
y /∈M.

Если каждый элемент x множества A является элементом некоторого множества B, то говорят, что A – подмножество множества B и
пишут
A⊆B.

Если A⊆B и существует y∈B такой, что y /∈A, то пишут A⊂B.
Для приведенных числовых множеств справедливы цепочки включений:
N⊆Z⊆Q⊆R,
N⊂Z⊂Q⊂R.

Два множества – A и B – считаем равными (одинаковыми) тогда и
только тогда, когда одновременно выполняются следующие включения:

A⊆B,
B ⊆A.

Пусть заданы множества A и B. Тогда можно задать множество
A×B, состоящее из всевозможных упорядоченных пар (a, b), где a пробегает все значения A и b пробегает все значения из B. То есть

A×B :={(a, b) | a∈A,
b∈B}.

Говоря, что пара (a, b) – упорядочена, мы имеем в виду, что пары
(a, b) и (b, a) – две различные пары. Множество A×B называют прямым
произведением множеств A и B.
1.1.2. Определение числовой функции, равенство двух числовых
функций и некоторые замечания. Одним из ключевых понятий математики является понятие функции (в математическом анализе центральное
место занимает понятие числовой функции). Дадим определение.

4

Определение
1.1.1. Будем говорить, что задана функция
y=f(x) с областью определения A и значениями из множества B, если
для каждого элемента x∈A однозначно определен элемент y∈B.
Множество A называют областью определения функции f(x) и
обозначают записью Df. Функцию y=f(x) можно обозначать одним
из трех способов:

f :A→B;
y=f(x);
f(x)
(x∈A, y∈B, f(x)∈B).

Множество
Ef :={f(x) | x∈A}⊆B

называют множеством допустимых значений функции f(x).
Если x∈Df и y=f(x), то элемент x будем называть прообразом
элемента y, а элемент y будем называть образом элемента x.
Замечание. Если мы записали формулу «y=f(x), x∈A, y∈B»,
то символ x из этой формулы называют независимой переменной, а символ y – зависимой переменной. Если функция f(x) задана с помощью
формулы (в широком смысле), то говорят, что функция задана аналитически. В общем случае символ «f(x)» ассоциируют с законом (или
правилом), задающим функцию. Этот закон может иметь выражение в
формальном языке (например, некоторая формула) или в естественном
языке (правило, по которому работает функция, описано словами).
Если f(x) – функция с областью определения A и значениями в
множестве B и A, B – некоторые подмножества множества R, то говорят,
что задана числовая функция f(x) с областью определения A.
Любую функцию f(x) с областью определения A и значениями из
множества B можно отождествить с множеством пар

Uf :={(x, f(x)) | x∈A}⊂A×B.
(1.1.1)

Множество Uf естественно называть графиком функции f(x). Когда речь
идет о числовой функции f(x), то отождествление f(x) с множеством Uf
позволяет изображать функцию на плоскости. Кроме того, такое отождествление выражает универсальный способ задания функции.
Определение 1.1.2. Пусть f1(x) – функция с областью определения A1 и значениями в множестве B, а f2(x) – функция с областью
определения A2 и значениями из B. Пусть Uf1 и Uf2 – множества, поставленные в соответствие функциям f1(x) и f2(x), соответственно,
с помощью равенства (1.1.1). Тогда функции f1(x) и f2(x) считаются
равными тогда и только тогда, когда

Uf1 =Uf2.

5

Для выполнения последнего равенства необходимо и достаточно,
чтобы A1=A2 и при любом x∈A1 выполнялось равенство f1(x)=f2(x).
Если мы говорим, что функция f(x) определена (или задана) на
некотором множестве M, то имеем в виду, что множество M является
частью области определения этой функции f(x) (т. е. M ⊆Df).
В данном материале запись «f :A→B» всегда говорит о том, что
A – область определения функции f(x) (это следует непосредственно из
определения 1.1.1).
Пример. Пусть f(x)=√x+1 – функция с областью определения
Df =[−1; +∞) и значениями в множестве R. Тогда можно написать

f(x)=
√

x+1: [−1; +∞)→R;
y=
√

x+1, x∈[−1; +∞), y∈R.

Кроме того, будет справедливо утверждение: на множестве [−0.5; 550)
определена функция f(x)=√x+1.
Если x0 – некоторое число из R и b∈R, b>0 , то множество

Ub:=(x0−b; x0+b)

называем окрестностью точки x0, а множество

Vb:=(x0−b; x0)∪(x0; x0+b)

называем проколотой окрестностью точки x0.
Пример. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности
Ub точки x0, то она определена и в некоторой проколотой окрестности Vb
точки x0. Если функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности Vb точки x0, то она может быть определена в x0, а может и не быть
определена в x0.

Замечание. Исходя из определения 1.1.1 (и определения 1.1.2) мы
можем из функции f(x) с областью определения Df получить другую
функцию f, просто сузив область определения Df.
Пример. Следующие две функции различны:

y1=2x+4,
Dy1 =R;
y2=2x+4,
Dy2 =(0; 10).

В самом деле, истинность последнего утверждения вытекает из
определения 1.1.2.

1.1.3. Некоторые конструкции, связанные с функциями. Важную
роль играют понятия композиции двух функций и обратной функции.
Сформулируем их.

6

Определение 1.1.3. Пусть заданы две функции:

f :A→B,
g:B →C
(A=Df,
B =Dg).

Тогда определена функция u:A→C такая, что для любого x∈A будет
выполняться равенство
u(x)=g(f(x)).

Функцию u:A→C называют композицией (суперпозицией) функций f
и g. Также распространен термин сложная функция.
Определение 1.1.4. Пусть функция f(x) задана на множестве
M и введено множество

f(M):={f(x) | x∈M}.

Если для любых различных x1, x2∈M выполняется условие f(x1)̸=f(x2)
и на множестве f(M) задана функция g(x) с значениями в множестве
M такая, что для всяких x∈M,
y∈f(M) выполняются равенства

f(g(y))=y,
g(f(x))=x,

то функцию g(x) называют обратной функцией к функции f(x) на множестве M (или при x∈M). В этом случае говорят, что функция f(x)
является обратимой на множестве M; если множество M совпадает с множеством определения Df, то говорят, что f(x) обратимая
функция. При этом функцию g(x) обозначают символом f −1(x).
Пример. Функция f(x)=ax+b, a, b∈R, a̸=0 с областью определения Df =R обратима на всей своей области определения. И функция
f −1(x)=(x−b)/a – обратная функция к функции y. В самом деле, справедливы равенства

f(f −1(x))=a(x−b)/a+b=x;
f −1(f(x))=((ax+b)−b)/a=x,
x∈R.

Теорема 1.1.1. Пусть функция f(x) определена и непрерывна в
каждой точке множества M. Тогда для того, чтобы f(x) была обратима на множестве M, необходимо и достаточно, чтобы f(x) была
монотонна на M.

1.1.4. Поиск области определения функции. Если область определения числовой функции y=f(x) не указана явно (при определении) и
функция y=f(x) задается некоторой формулой f(x), то естественно ставить вопрос о нахождение области определения. В этом случае задача о

7

нахождении области определения понимается как задача о нахождении
всевозможных значений x, которые можно подставить в формулу f(x)
и получить некоторое действительное число, выполнив корректные вычисления.
Если функция y=f(x) задана как композиция элементарных
функций, то для вычисления области определения нужно использовать
области определения основных элементарных функций. Приведем некоторые из них:

y=a0xn+a1xn−1+...+an,
Dy =R,
n∈N;

y= Q(x)

P(x),
Dy ={x | P(x)̸=0}

(Q(x) и P(x) – некоторые многочлены);

y=
2n√x,
n∈N,
Dy =[0; +∞);

y=
2n+1√x,
n∈N,
Dy =R;

y1=cos x,
y2=sin x,
Dy1 =Dy2 =R;

y1=arccos x,
y2=arcsin x,
Dy1 =Dy2 =[−1; 1];

y=ax,
a>0,
a̸=1,
Dy =R;

y=loga x,
Dy =(0; +∞).

Примеры

Пример 1.1.1. Найти область определения функции

y=arcsin(2x+4)−
x
√

4x2+x
.

Решение. Функция f(x)=arcsin x определена при x∈[−1; 1], следовательно, x удовлетворяет неравенствам

−1≤2x+4≤1,
−5

2 ≤x≤−3

2.

Область определения g(x)=√x равна [0; +∞), учитывая деление
на
√

4x2+x, получаем, что x удовлетворяет неравенству

4x2+x>0,

следовательно, x∈(−∞; −1/4)∪(0; +∞).

8

Таким образом, окончательно получаем множество

Df =[−5

2; −3

2]∩((−∞; −1

4)∪(0; +∞))=

=[−5

2; −3

2].

Ответ: Df =[−5

2; −3

2].

Пример 1.1.2. Исследовать на обратимость функцию

y=2(x+1)2+4,

записать обратные функции.
Решение. Функция y определена для любого x∈R (т. е. Df =R),
область значений задается равенством Ef =[4; +∞). Далее, используя
равенство y=2(x+1)2+4, выразим y через x:

x=±

y−4

2
−1.

Выражение под корнем всегда (т. е. при любом x∈R) больше нуля, так
как y∈Ef =[4; +∞). Учитывая включение y∈Ef =[4; +∞), получаем

x1=

y−4

2
−1∈[−1; +∞);
x2=−

y−4

2
−1∈(−∞; −1].

Заменяем x1, x2 на y1, y2, а y меняем на x. Получаем две функции:

y1=

x−4

2
−1;
y2=−

x−4

2
−1.

Функция y1 будет обратной к функции y на множестве M1:=
[−1; +∞), а функция y2 является обратной к функции y на множестве
M2:=(−∞; −1].
На множестве M1 функция y монотонно возрастает, а на множестве
M2 – монотонно убывает.
Проверка. Используем определение 1.1.4. Пусть x∈M1=[−1; +∞)
и y∈[4; +∞). Проводим вычисления:

y(y1(y))=2((

y−4

2
−1)+1)2+4=y;

y1(y(x))=

(2(x+1)2+4)−4

2
−1=x.

9

Любым различным x1 и x2 из M1 будут соответствовать различные
значения функции y (поскольку функция y монотонно возрастает при
x∈M1). Таким образом, в силу определения 1.1.4, y1 – обратная функция
для функции y на множестве M1.
Проверка для y2 при x∈M2=(−∞; −1] проходит аналогично.

Ответ: функция y – обратима на интервалах [−1; +∞), (−∞; −1];
функция y1 обратная к функции y при x∈[−1; +∞), а функция y2 обратная к функции y при x∈(−∞; −1].

10