Организация, планирование и обработка результатов эксперимента

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Сибирский федеральный университет

В. И. Белокопытов

Организация, планирование и обработка 

результатов эксперимента

Учебное пособие

Красноярск

СФУ
2020

УДК 669.01:519.252(07)
ББК 34.3я73+22.172я73

Б435

Р е ц е н з е н т ы:
М. Г. Мотков, кандидат технических наук, технический директор 

ООО «КраМЗ»;

Р. И. Галиев, кандидат технических наук, зам. директора ООО «Завод 

современных материалов»

Белокопытов, В. И.

Б435
Организация, планирование и обработка результатов экспе
римента : учеб. пособие / В. И. Белокопытов. – Красноярск : Сиб. 
федер. ун-т, 2020. – 132 с.

ISBN 978-5-7638-4297-5

Изложены вопросы, касающиеся применения теории вероятностей и ма
тематической статистики в таких областях, как научная работа, контроль качества продукции, управление действующим технологическим процессом. 
Приведены примеры, предложены варианты расчетных заданий, а также 
справочные данные для их выполнения.

Предназначено для магистрантов направления 22.04.02 «Металлургия».

Электронный вариант издания см.:

http://catalog.sfu-kras.ru

УДК 669.01:519.252(07)
ББК 34.3я73+22.172я73

ISBN 978-5-7638-4297-5
© Сибирский федеральный университет, 2020

Оглавление

Введение...................................................................................................... 5

1. Построение гистограммы, расчет количественных 
характеристик, проверка гипотезы нормальности 
распределения ........................................................................................... 7
1.1. Построение гистограммы ................................................................... 7
1.2. Количественные характеристики  распределения ........................... 9
1.3. Нормальное распределение.............................................................. 11
Задание....................................................................................................... 16
Вопросы для самоконтроля ..................................................................... 16

2. Статистическое оценивание и проверка количественных 
оценок........................................................................................................ 17
2.1. Проверка средних значений ............................................................. 17
2.2. Проверка ошибок при оценке дисперсии ....................................... 22
2.3. Проверка различия средних арифметических................................ 24
2.4. Статистическое оценивание количественных значений. 
Интервальная оценка................................................................................ 26
2.5. Статистическая проверка доли дефектных изделий 
в генеральной совокупности ................................................................... 28
Задание....................................................................................................... 30
Вопросы для самоконтроля ..................................................................... 33

3. Корреляционный, регрессионный и дисперсионный 
анализ........................................................................................................ 35
3.1. Корреляционный анализ................................................................... 35
3.2. Регрессионный анализ ...................................................................... 37
3.3. Дисперсионный анализ..................................................................... 42
Задание....................................................................................................... 52
Вопросы для самоконтроля ..................................................................... 54

4. Планирование эксперимента........................................................... 55
4.1. Полный факторный эксперимент .................................................... 56
4.2. Дробный факторный эксперимент .................................................. 64
Задание....................................................................................................... 68
Вопросы для самоконтроля ..................................................................... 69

5. Поиск оптимальной области............................................................ 71
5.1. Поиск оптимальной области  методом крутого восхождения...... 71
5.2. Симплексный метод поиска экстремума  целевой функции ........ 76

Задание....................................................................................................... 80
Вопросы для самоконтроля ..................................................................... 81

6. Контрольные листки как формы регистрации данных............. 82
6.1. Контрольный листок  для регистрации распределения
измеряемого параметра в ходе  производственного процесса ............ 82
6.2. Контрольный листок для регистрации  видов дефектов............... 83
6.3. Контрольный листок причин дефектов........................................... 84
Задание....................................................................................................... 85
Вопросы для самоконтроля ..................................................................... 87

7. Диаграммы........................................................................................... 88
7.1. Диаграмма Парето............................................................................. 88
7.2. Диаграмма Исикавы .......................................................................... 91
Задание....................................................................................................... 93
Вопросы для самоконтроля ..................................................................... 94

8. Контрольные карты........................................................................... 95
8.1. Контрольная карта  для выборочного среднего и размаха ........... 95
8.2. Контрольная карта  для доли дефектных изделий......................... 99
8.3. Исследование показаний контрольных карт ................................ 102
8.4. Анализ технологических процессов на основании 
контрольных карт ................................................................................... 103
Задание..................................................................................................... 107
Вопросы для самоконтроля ................................................................... 108

9. Одноступенчатый выборочный контроль 
по количественным признакам, основанный 
на оперативной характеристике ....................................................... 110
9.1. Метод, гарантирующий среднее значение  
показателя качества в партии................................................................ 111
9.2. Метод, гарантирующий  долю дефектных изделий в партии..... 114
Задание..................................................................................................... 116
Вопросы для самоконтроля ................................................................... 117

Библиографический список ............................................................... 119

Приложение ........................................................................................... 122

Введение

Целью дисциплины «Организация, планирование и обработка 

результатов эксперимента» является формирование у студента навыков организации технологического эксперимента в условиях лаборатории и цеха, сбора данных о состоянии качества изделий, обработки 
результатов измерений и представления их в форме, удобной для анализа и принятия решений, связанных с управлением технологическими процессами.

В результате изучения дисциплины студент должен уметь выби
рать методы испытаний, анализировать и обрабатывать результаты 
исследований и измерений, оценивать технические и организационные решения с позиций достижения необходимого качества металлопродукции. Поэтому основным содержанием предлагаемого пособия 
будут теоретические аспекты расчетов, связанных с определением количественных характеристик распределения, статистическим оцениванием и проверкой количественных оценок, корреляционным, регрессионным и дисперсионным анализом, планированием и обработкой результатов эксперимента, построением контрольных карт и осуществлением выборочного контроля продукции.

Автор использовал издания, в которых изложены отдельные 

теоретические положения и справочные материалы (см. библиографический список).

В учебном пособии акцент сделан на самостоятельную работу

по заданным вариантам заданий, что позволяет расширять и углублять знания, умения и навыки, определяемые содержанием базовых 
дисциплин основной образовательной программы подготовки магистра, а также сформировать на их основе компетенции, необходимые
в дальнейшей профессиональной деятельности выпускника в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом 
высшего образования.

Обязательные профессиональные компетенции (ОПК)
ПКО-1. Способен выбирать методы планирования, подготовки

и проведения исследований, наблюдений, испытаний, измерений
и применять их на практике анализировать, обрабатывать и представлять результаты.

ПКО-2. Способен планировать, проводить подготовку и прове
дение экспериментов, анализировать, обобщать и представлять результаты, делать выводы, составлять и оформлять отчёты.

Рекомендуемые профессиональные компетенции (ПК)
ПК-1. Способен проводить анализ и обработку данных, полу
ченных в результате исследований, испытаний, наблюдений и измерений, анализировать и представлять результаты, делать выводы, составлять и оформлять отчёты.

ПК-6. Способен анализировать устойчивость технологических 

процессов по результатам статистической обработки наблюдений
и измерений.

1. Построение гистограммы, расчет

количественных характеристик, проверка

гипотезы нормальности распределения

Одним из способов графического изображения плотности 

распределения является гистограмма (столбиковая диаграмма). 
Это такой вид диаграммы, который при помощи столбиков, расставленных в ряд на мелких размерных интервалах, отражает состояние качества проверенной партии изделий и помогает разобраться в состоянии измерений или качестве изделий в генеральной совокупности, а также выявить в ней положение среднего значения и характер рассеивания.

1.1. Построение гистограммы

Анализируя данные табл. 1.1 без их графического представле
ния, затруднительно составить правильное мнение о состоянии качества изделий в той или иной партии. Один из способов такого представления – это построение гистограммы.

Построение гистограммы (рис. 1.1) складывается из следующих 

действий:

1) в табл. 1.1 находят наибольшее хmax и наименьшее хmin значе
ния и определяют разброс данных в распределении по формуле
R = хmax – хmin. В этом случае R =1,8 – 0,1 = 1,7;

2) рассчитывают
количество интервалов
в распределении: 

100
10
k
n



, где n – число измерений;

3) относят разброс данных в распределении R к числу интервалов 

k и получают разброс данных в одном интервале: h = R/k = 1,7/10 = 
= 0,17  0,2;

4) вносят в регистрационный бланк (табл. 1.2) значения интерва
лов распределения и определяют центр каждого интервала;

Таблица 1.1

Исходные данные

№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0

1
0,9
1,5
0,9
1,1
1,0
0,9
1,1
1,1
1,2
1,0

2
0,6
0,1
0,7
0,8
0,7
0,3
0,5
0,8
1,2
0,6

3
0,5
0,8
0,3
0,4
0,5
1,0
1,1
0,6
1,2
0,4

4
0,6
0,7
0,5
0,2
0,5
0,3
0,5
0,4
1,0
0,8

5
0,7
0,8
0,3
0,4
0,6
0,7
1,1
0,7
1,2
0,8

6
0,8
1,0
0,6
1,0
0,7
0,6
0,3
1,2
1,4
1,0

7
1,0
0,9
1,0
1,2
1,3
0,9
1,3
1,2
1,4
1,0

8
1,4
1,4
0,9
1,1
0,9
1,4
0,9
1,8
0,9
1,4

9
1,1
1,4
1,4
1,4
0,9
1,1
1,4
1,1
1,3
1,1

0
1,5
1,6
1,6
1,5
1,6
1,5
1,6
1,7
1,8
1,5

Рис. 1.1. Гистограмма

5) выбирают из табл. 1.1 значения, попадающие в тот или иной 

интервал, и заносят их в виде штриховых отметок в соответствующий 
столбец регистрационного бланка. Группа штриховых отметок IIII означает пять попаданий в интервал, что упрощает подсчет частот;

6) на графике (в выбранном масштабе по горизонтали) показы
вают границы интервалов, а по вертикали – частоту попадания в интервал. Высота каждого столбика соответствует частоте попадания.

0,1       0,3      0,5       0,7      0,9    1,1       1,3     1,5   
1,7
1,9

20

15

10

5

Ч
а
с
т
о
т
а

Коэффициент деформации, %

Таблица 1.2

Регистрационный бланк

№ 
п/п
Интервал
Центр интервала
Штриховые

отметки
Частота f
Суммарная 

частота

1
0,1–0,3
0,2
II
2
2

2
0,3–0,5
0,4
IIII III
8
10

3
0,5–0,7
0,6
IIII IIII III
13
23

4
0,7–0,9
0,8
IIII IIII IIII
15
38

5
0,9–1,1
1,0
IIII IIII IIII

IIII
20
58

6
1,1–1,3
1,2
IIII IIII IIII II
17
75

7
1,3–1,5
1,4
IIII IIII III
13
88

8
1,5–1,7
1,6
IIII IIII
9
97

9
1,7–1,9
1,8
III
3
100

1.2. Количественные характеристики 

распределения

Для численного выражения распределения наиболее часто ис
пользуют следующие количественные характеристики: среднее 
арифметическое, сумму квадратов отклонений, дисперсию и среднее 
квадратическое отклонение.

Среднее арифметическое. Среднее арифметическое х находят 

путем деления суммы значений результатов измерений х1, х2, х3, ... , хn
на их количество, равное n,

n

х
х
х
х
х
n





...
3
2
1
,

или

n
x

n

x

х

n

i

i





 1
.
(1.1)

Если результаты измерений занесены в регистрационный бланк,

то, обозначив значения центра каждого интервала через хj = х1, х2,
х3,…,xk, а частоту в этих интервалах, соответственно, через fj = f1, f2, 
f3,…, fk , среднее арифметическое х находят из выражения

n

f
x
f
x
f
х
х
k
k





2
2
1
1
,

или в свернутом виде 






k

j
j
j f
x
n
х

1

1
.
(1.2)

Разброс значений. В качестве количественной характеристики 

разброса значений используют сумму квадратов отклонений, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Отклонение есть результат сравнения величины измеренного зна
чения со средним арифметическим (хi – х ). Если применить это ко всем 
измеренным данным, то полученная сумма возведенных в квадрат отклонений и будет представлять собой сумму квадратов (отклонений) S:

2
2

2

2

1
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
x
x
S
n 







,







 










n

i

n

i

n

i

i

i
i
n

x

x
x
x
S

1
1

2

1
2
2)
(
.
(1.3)

Если сумма квадратов отклонений S выражает рассеивание зна
чений во всем комплексе данных, то дисперсия
2
e
 , полученная деле
нием S на число n – 1 данных, является мерой рассеивания на каждую 
отдельную единицу данных:

2

1
2
2
2

1
1

1
1
(
)
1
1
1

n

i
n
n

i

е
i
i

i
i

x

S
x
x
x
n
n
n
n


















 









 












2

1

1
(
)
1

k

j
j

j

x
x
f
n






 
(1.4)

Чтобы привести в соответствие размерности характеристики 

разброса и результата измерения, необходимо извлечь корень квадратный из дисперсии. Этот показатель называют средним квадратическим отклонением е: