Математика. Теория вероятностей

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 
ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ 
 
У÷ебное ïособие 
 
 
 
Электронное издание 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2020 

УДК 519.21(07) 
ББК 22.171я73 
М340 

А в т о р ы: 
Ñозутов Анатолий Ильи÷; Ñакулин Владимир Петрови÷; 
Ðыбакова Наталья Николаевна; Ìельникова Ирина Витальевна; 
Лученкова Елена Борисовна 

Р е ц е н з е н т ы: 
С. Г. Колесников, доктор физико-математи÷еских наук, ïрофессор кафедры алгебры и математи÷еской логики института математики и фундаментальной информатики СФУ; 
О. Н. Жданов, доцент кафедры безоïасности информационных технологий СибГУ имени М. Ф. Решетнева 

М340 Ìатеìатика. Òеоðиÿ веðоÿтноñтеé : у÷еб. ïособие/ А. И. Со- 

зутов, В. П. Сакулин, Н. Н. Рыбакова [и др.]. – Электрон. 
дан. (1 Мб). – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2020. – 
Систем. требования : PC не ниже класса Pentium I ; 128 Mb 
RAM ; Windows 98/XP/7 ; Adobe Reader V8.0 и выше. – 
Загл. с экрана. 
ISBN 978-5-7638-4426-9 

Излагаются основные разделы курса теории вероятностей. Теорети÷еский материал соïровождается иллюстрациями и ïримерами 
ïрикладного характера. 
Предназна÷ено для бакалавров и магистрантов инженерных сïециальностей. 

Электðонныé ваðиант изданиÿ ñì.: 
УДÊ 519.21(07) 

http://catalog.sfu-kras.ru 
ББÊ 22.171ÿ73 

Электронное у÷ебное издание 

Редактор А. В. Прохоренко 

Комïьютерная верстка И. В. Мельниковой 

Подïисано в свет 25.12.2020. Заказ № 12272 

Тиражируется на машино÷итаемых носителях 

Библиоте÷но-издательский комïлекс  

Сибирского федерального университета 

660041, г. Красноярск, ïр. Свободный, 82а, тел. (391)206-26-16 

ISBN 978-5-7638-4426-9 
© Сибирский федеральный  
университет, 2020 

Оглавление

Введение
7

1. Алгебра множеств
8

1.1. Общая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

1.2.
Операции над множествами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.
Применение к математической логике . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Задания для самостоятельной работы к главе 1
. . . . . . . . . 17

2. Элементы комбинаторики
18

2.1. Правило суммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.
Правило произведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.
Размещения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.
Сочетания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.
Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6. Размещения с повторениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7.
Перестановки с повторениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.8.
Сочетания с повторениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.9. Задания для самостоятельной работы к главе 2
. . . . . . . . . 24

3. Алгебра событий
26

3.1.
События, пространство элементарных событий
. . . . . . . . . 26

3.2.
Действия над событиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3. Задания для самостоятельной работы к главе 3
. . . . . . . . . 30

4. Вероятность
31

4.1.
Частота, статистическая вероятность . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.
Классическая вероятность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3.
Геометрическая вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4.
Теорема сложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3

4.5.
Аксиоматическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . 37

4.6.
Полиномиальные вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.7. Задания для самостоятельной работы к главе 4
. . . . . . . . . 42

5. Формулы умножения вероятностей
44

5.1.
Формула полной вероятности и формула Байеса . . . . . . . . . 45

5.2.
Последовательность независимых испытаний
. . . . . . . . . . 47

5.3. Задания для самостоятельной работы к главе 5
. . . . . . . . . 48

6. Схема Бернулли
50

6.1.
Формула Бернулли
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2.
Локальная теорема Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.3.
Интегральная теорема Лапласа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.4. Задания для самостоятельной работы к главе 6
. . . . . . . . . 54

7. Случайные величины
55

7.1.
Определениe и примеры случайных величин . . . . . . . . . . . 55

7.2.
Действия над случайными величинами . . . . . . . . . . . . . . 56

7.3.
Функция распределения вероятностей случайной величины
. . 56

7.4.
Дискретные и непрерывные случайные величины . . . . . . . . 58

7.5.
Свойства функции распределения вероятностей . . . . . . . . . 59

7.6.
Закон распределения дискретной случайной величины . . . . . 60

7.7.
Плотность распределения непрерывной случайной величины
. 60

7.8. Задания для самостоятельной работы к главе 7
. . . . . . . . . 63

8. Числовые характеристики случайных величин
64

8.1.
Математическое ожидание дискретной СВ . . . . . . . . . . . . 64

8.2.
Математическое ожидание непрерывной СВ . . . . . . . . . . . 65

8.3.
Свойства математического ожидания . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.4.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
. . . . . . . . 68

4

8.5.
Простейшие свойства дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.6.
Мода и медиана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.7. Задания для самостоятельной работы к главе 8
. . . . . . . . . 72

9. Некоторые распределения
74

9.1.
Биномиальное распределение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.2.
Распределение Пуассона
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

9.3.
Равномерное распределение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9.4. Задания для самостоятельной работы к главе 9
. . . . . . . . . 80

10. Нормальное распределение
82

10.1. Стандартное нормальное распределение
. . . . . . . . . . . . . 83

10.2. Интеграл Пуассона
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

10.3. Определение нормального распределения, связь со стандарт
ным распределением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

10.4. Числовые характеристики нормального распределения . . . . . 87

10.5. «Правило трёх сигм» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10.6. Логарифмически-нормальное распределение . . . . . . . . . . . 90

10.7. Задания для самостоятельной работы к главе 10
. . . . . . . . 92

11. Независимые случайные величины
93

11.1. Определения и простейшие свойства
. . . . . . . . . . . . . . . 93

11.2. Математическое ожидание произведения независимых

случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

11.3. Дисперсия суммы независимых случайных величин . . . . . . . 96

11.4. Задания для самостоятельной работы к главе 11
. . . . . . . . 96

12. Зависимые случайные величины
97

12.1. Ковариация
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

12.2. Коэффициент корреляции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5

12.3. Задания для самостоятельной работы к главе 12
. . . . . . . . 103

13. Закон больших чисел
104

13.1. Неравенство Чебышёва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

13.2. Теорема Чебышёва
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

13.3. Приложения теоремы Чебышёва . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

13.4. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

13.5. Задания для самостоятельной работы к главе 13
. . . . . . . . 110

14.
Ответы
112

14.1.
Ответы к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

14.2.
Ответы к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

14.3.
Ответы к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

14.4.
Ответы к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

14.5.
Ответы к главе 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

14.6.
Ответы к главе 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

14.7.
Ответы к главе 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

14.8.
Ответы к главе 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

14.9.
Ответы к главе 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

14.10.
Ответы к главе 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

14.11.
Ответы к главе 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

14.12.
Ответы к главе 12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

14.13.
Ответы к главе 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Приложение 1. Таблица значений функции ϕ(x) =
1
√

2π · e−x2/2
126

Приложение 2. Таблица значений функции Φ(x) =
1
√

2π

x0
e−x2/2 dx 127

Библиографический список
128

6

Введение

Раздел дисциплины Математика «Теория вероятностей» для бакалав
ров инженерных направлений подготовки является заключительным в дан
ной дисциплине, что говорит о важности его изучения. Цель освоения данного

раздела — обеспечение математической подготовки студентов для изучения

других дисциплин в магистратуре, связанных с проведением различных на
блюдений, исследований, составлением моделей с применением современного

математического аппарата.

Теория вероятностей — наука о вычислении вероятностей случайных

событий [14, С. 37], позволяющая по вероятностям одних случайных собы
тий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо

образом с первыми [9, С. 655]. В более широком смысле она изучает количе
ственные закономерности массовых случайных явлений и занимается созда
нием, определением и описанием моделей, связанных с понятием вероятности

[7, С. 481]. Теория вероятностей возникла в XVII веке и применялась вначале

в основном в азартных играх (кости, карты и т.д.). Основателями ее можно

считать Гюйгенса, Б. Паскаля, П. Ферма и Я. Бернулли. В XIX веке развитие

теории вероятностей стимулировалось потребностями обработки эксперимен
тальных данных, теории стрельбы, статистики и т.д. Известные учёные Ла
плас, Гаусс, Пуассон обогатили теорию и методами математического анализа.

Большой вклад в развитие теории внесли русские учёные Чебышёв, Марков,

Ляпунов, Хинчин, Колмогоров [14, С. 40].

Теория вероятностей лежит в основе многих дисциплин (таких, как

«Теория массового обслуживания», «Теория надёжности», «Математическая

статистика» и др.).

7

1.
Алгебра множеств

1.1.
Общая теория

Понятие класса, или совокупности, или множества объектов, — одно

из самых фундаментальных в математике. Множество определяется некото
рым свойством (атрибутом) A, которым должен обладать или не обладать

каждый рассматриваемый объект; те объекты (элементы), которые облада
ют свойством A, образуют множество A. Так, если мы рассматриваем на
туральные числа и свойство A заключается в чётности, то соответствующее

множество A состоит из всех чётных чисел: 2, 4, 6, . . . .

Математическая теория множеств основывается на том, что из исход
ных множеств с помощью определённых операций можно образовывать но
вые множества и устанавливать соотношения между ними, подобно тому, как

из чисел посредством операций сложения и умножения получаются новые

числа (1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 · 3 = 6, . . .), устанавливаются соотношения

между ними. Пример — таблица умножения: 6 × 8 = 48, 7 × 9 = 63, . . .. Опе
рации над множествами — предмет алгебры множеств, которая имеет много

общего с обыкновенной числовой алгеброй, хотя кое в чём и отличается от

неё.

Тот факт, что алгебраические методы могут быть применены при

изучении нечисловых объектов, каковыми являются множества, иллюстри
рует общность идей современной математики. Алгебра множеств открывает

новые стороны многих областей математики (например, теория меры и тео
рия вероятностей); она полезна при систематизации математических понятий

и выяснении их логических связей.

В дальнейшем через E будем обозначать некоторое постоянное множе
ство объектов, природа которых нам сейчас безразлична, и которое мы будем

называть универсальным множеством, или универсумом рассуждений; A,

8

B, C, . . . — какие-то подмножества из множества E. Если E есть совокуп
ность всех натуральных чисел, то A, скажем, будет обозначать множество

всех чётных чисел, B — множество всех нечётных чисел, C — множество

всех простых чисел и т.п. Если E обозначает совокупность всех точек на

плоскости, то A может быть множеством точек внутри какого-то круга, B —

множеством точек внутри другого круга и т.п. В число подмножеств нам

удобно включить само E, а также пустое множество ⊘, не содержащее ника
ких элементов. Цель, которую преследует такое искусственное расширение, —

сохранение того положения, при котором каждому свойству A соответствует

некоторое множество элементов из E, обладающих этим свойством.

В случае, если E есть универсально выполняемое свойство, примером

которого может служить, если речь идёт о числах, свойство удовлетворять

равенству x = x, то соответствующее подмножество E будет само E, так

как каждый элемент обладает таким свойством; с другой стороны, если A

есть какое-то внутренне противоречивое свойство (например, x ̸= x), то под
множество не содержит элементов вовсе, оно «пустое», всегда обозначаемое

символом ⊘ (вне зависимости от природы элементов множества E).

Говорят, что множество A есть подмножество множества B, короче, «A

входит в B», или «B содержит A», если во множестве A нет такого элемента,

который не был бы также во множестве B. Этому соотношению соответствует

запись

A ⊂ B,
или
B ⊃ A.

Например, множество A всех целых чисел, делящихся на 10, есть под
множество множества B всех целых чисел, делящихся на 5, так как каждое

число, делящееся на 10, делится также на 5. Соотношение A ⊂ B не исклю
чает соотношения B ⊂ A. Если имеет место и то, и другое, то мы пишем

A = B.

Это означает, что каждый элемент множества A есть вместе с тем эле
9

мент множества B и наоборот, так что множества A и B содержат как раз

одни и те же элементы.

Соотношение A ⊂ B между множествами во многом напоминает соот
ношение a ⩽ b между числами. В частности, отметим следующие свойства

этого соотношения:

1) A ⊂ A;

2) если A ⊂ B и B ⊂ A, то A = B;

3) если A ⊂ B и B ⊂ C, то A ⊂ C.

По этой причине соотношение A ⊂ B называют иногда отношением по
рядка. Главное отличие рассматриваемого соотношения от соотношения a ⩽ b

между числами заключается в том, что между всякими двумя заданными

(действительными) числами a и b непременно существует по меньшей мере

одно из соотношений a ⩽ b или b ⩽ a, тогда как для соотношения A ⊂ B

между множествами аналогичное утверждение неверно. Например, если A

есть множество, состоящее из чисел 1, 2, 3,

A = { 1, 2, 3 },

а B — множество, состоящее из чисел 2, 3, 4,

B = { 2, 3, 4 },

то не имеет места ни соотношение A ⊂ B, ни соотношение B ⊂ A. По этой

причине говорят, что подмножества A, B, C, ... множества E являются ча
стично упорядоченными, тогда как действительные числа a, b, c, . . . образуют

вполне упорядоченную совокупность.

Заметим, что из определения соотношения A ⊂ B следует, что, каково

бы ни было подмножество A множества E, имеют место соотношения

4) ⊘ ⊂ A;

5) A ⊂ E.

10