Математика. Теория вероятностей

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИКА  
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2020
 

УДК 519.21(07) 
ББК 22.171я73 
М340 
Р е ц е н з е н т ы:
Н. М. Сучков, доктор физико-математических наук, профессор кафедры 
алгебры и математической логики Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета; 
О. В. Кравцова, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики № 2 Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета 
М340 
Математика. Теория вероятностей : учеб. пособие / А. И. Созутов, В. П. Сакулин, Н. Н. Рыбакова, Е. Б. Лученкова. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2020. – 128 с. 
ISBN 978-5-7638-4316-3 
Излагаются основные разделы курса теории вероятностей. Теоретический 
материал сопровождается иллюстрациями и примерами прикладного характера, также предлагаются упражнения для самостоятельного решения. 
Предназначено для бакалавров и магистрантов инженерных специальностей. 
Электронный вариант издания 
УДК 519.21(07) 
см.: http://catalog.sfu-kras.ru 
ББК 22.171я73 
ISBN 978-5-7638-4316-3 
© Сибирский федеральный 
университет, 2020 

Оглавление
Введение
7
1. Алгебра множеств
8
1.1. Общая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.
Операции над множествами
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3.
Применение к математической логике . . . . . . . . . . . . .
15
2. Элементы комбинаторики
18
2.1. Правило суммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2.
Правило произведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.
Размещения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.4.
Сочетания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.5.
Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3. Алгебра событий
22
3.1.
События, пространство элементарных событий
. . . . . . .
22
3.2.
Действия над событиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4. Вероятность
27
4.1.
Частота, статистическая вероятность . . . . . . . . . . . . .
27
4.2.
Классическая вероятность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.3.
Геометрическая вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.4.
Теорема сложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.5.
Аксиоматическое определение вероятности . . . . . . . . . .
34
4.6.
Полиномиальные вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3

5. Формулы умножения вероятностей
39
5.1.
Формула полной вероятности и формула Байеса . . . . . . .
40
5.2.
Последовательность независимых испытаний
. . . . . . . .
43
6. Схема Бернулли
44
6.1.
Формула Бернулли
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
6.2.
Локальная теорема Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
6.3.
Интегральная теорема Лапласа
. . . . . . . . . . . . . . . .
47
7. Случайные величины
49
7.1.
Определениe и примеры случайных величин . . . . . . . . .
49
7.2.
Действия над случайными величинами . . . . . . . . . . . .
49
7.3.
Функция распределения вероятностей случайной величины
50
7.4.
Дискретные и непрерывные случайные величины . . . . . .
52
7.5.
Свойства функции распределения вероятностей . . . . . . .
52
7.6.
Закон распределения дискретной случайной величины . . .
54
7.7.
Плотность распределения непрерывной случайной величины
54
8. Числовые характеристики случайных величин
57
8.1.
Математическое ожидание дискретной СВ . . . . . . . . . .
57
8.2.
Математическое ожидание непрерывной СВ . . . . . . . . .
59
8.3.
Свойства математического ожидания . . . . . . . . . . . . .
59
8.4.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
. . . . . .
62
8.5.
Простейшие свойства дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . .
63
8.6.
Мода и медиана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
9. Некоторые распределения
66
4

9.1.
Биномиальное распределение
. . . . . . . . . . . . . . . . .
66
9.2.
Распределение Пуассона
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
9.3.
Равномерное распределение
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
10. Нормальное распределение
72
10.1. Стандартное нормальное распределение
. . . . . . . . . . .
73
10.2. Интеграл Пуассона
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
10.3. Определение нормального распределения, связь со стандартным распределением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
10.4. Числовые характеристики нормального распределения . . .
77
10.5. ¾Правило тр¼х сигм¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
10.6. Логарифмически-нормальное распределение . . . . . . . . .
81
11. Независимые случайные величины
83
11.1. Определения и простейшие свойства
. . . . . . . . . . . . .
83
11.2. Математическое ожидание произведения независимых
случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
11.3. Дисперсия суммы независимых случайных величин . . . . .
85
12. Зависимые случайные величины
86
12.1. Ковариация
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
12.2. Коэффициент корреляции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
13. Закон больших чисел
92
13.1. Неравенство Чебыш¼ва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
13.2. Теорема Чебыш¼ва
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
13.3. Приложения теоремы Чебыш¼ва . . . . . . . . . . . . . . . .
97
5

13.4. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . .
98
14. Задания для самостоятельной работы
100
Приложение 1. Таблица значений функции ϕ(x) =
1
√
2π · e−x2/2
123
Приложение 2. Таблица значений функции Φ(x) =
1
√
2π
0
e−x2/2 dx124
x
R
Библиографический список
125
6

Введение
Раздел дисциплины Математика ¾Теория вероятностей¿ для бакалавров
инженерных направлений подготовки является заключительным в данной
дисциплине, что говорит о важности его изучения. Цель освоения данного
раздела  обеспечение математической подготовки студентов для изучения
других дисциплин в магистратуре, связанных с проведением различных наблюдений, исследований, составлением моделей с применением современного математического аппарата.
Теория вероятностей  наука о вычислении вероятностей случайных
событий [14, С. 37], позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных какимлибо образом с первыми [9, С. 655]. В более широком смысле она изучает
количественные закономерности массовых случайных явлений и занимается созданием, определением и описанием моделей, связанных с понятием
вероятности [7, С. 481]. Теория вероятностей возникла в XVII веке и применялась вначале в основном в азартных играх (кости, карты и т.д.). Основателями ее можно считать Гюйгенса, Паскаля, Ферма и Я. Бернулли.
В XIX веке развитие теории вероятностей стимулировалось потребностями обработки экспериментальных данных, теории стрельбы, статистики и
т.д. Известные уч¼ные Лаплас, Гаусс, Пуассон обогатили теорию и методами математического анализа. Большой вклад в развитие теории внесли
русские уч¼ные Чебыш¼в, Марков, Ляпунов, Хинчин, Колмогоров [14].
Теория вероятностей лежит в основе многих дисциплин (таких, как ¾Теория массового обслуживания¿, ¾Теория над¼жности¿, ¾Математическая статистика¿ и др.).
7

1.
Алгебра множеств
1.1.
Общая теория
Понятие класса, или совокупности, или множества обьектов,  одно из
самых фундаментальных в математике. Множество определяется некоторым свойством (атрибутом) A, которым должен обладать или не обладать
каждый рассматриваемый обьект; те объекты (элементы), которые обладают свойством A, образуют множество A. Так, если мы рассматриваем
натуральные числа и свойство A заключается в ч¼тности, то соответствующее множество A состоит из всех ч¼тных чисел: 2, 4, 6, . . . .
Математическая теория множеств основывается на том, что из исходных
множеств с помощью определ¼нных операций можно образовывать новые
множества и устанавливать соотношения между ними, подобно тому, как
из чисел посредством операций сложения и умножения получаются новые
числа (1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 · 3 = 6, . . .), устанавливаются соотношения между ними. Пример  таблица умножения: 6 × 8 = 48, 7 × 9 = 63
и т.д. Операции над множествами  предмет алгебры множеств, которая
имеет много общего с обыкновенной числовой алгеброй, хотя кое в ч¼м и
отличается от не¼.
Тот факт, что алгебраические методы могут быть применены при
изучении нечисловых обьектов, каковыми являются множества, иллюстрирует общность идей современной математики. Алгебра множеств открывает новые стороны многих областей математики (например, теория меры
и теория вероятностей); она полезна при систематизации математических
понятий и выяснении их логических связей.
8

В дальнейшем через E будем обозначать некоторое постоянное множество обьектов, природа которых нам сейчас безразлична, и которое мы
будем называть универсальным множеством, или универсумом рассуждений; A, B, C, . . .  какие-то подмножества из множества E. Если E
есть совокупность всех натуральных чисел, то A, скажем, будет обозначать
множество всех ч¼тных чисел, B  множество всех неч¼тных чисел, C 
множество всех простых чисел и т.п. Если E обозначает совокупность всех
точек на плоскости, то A может быть множеством точек внутри какого-то
круга, B  множеством точек внутри другого круга и т.п. В число подмножеств нам удобно включить само E, а также пустое множество ⊘,
не содержащее никаких элементов. Цель, которую преследует такое искусственное расширение,  сохранение того положения, при котором каждому
свойству A соответствует некоторое множество элементов из E, обладающих этим свойством.
В случае, если E есть универсально выполняемое свойство, примером
которого может служить, если речь ид¼т о числах, свойство удовлетворять
равенству x = x, то соответствующее подмножество E будет само E, так
как каждый элемент обладает таким свойством; с другой стороны, если A
есть какое-то внутренне противоречивое свойство (например, x ̸= x), то
подмножество не содержит элементов вовсе, оно ¾пустое¿, всегда обозначаемое символом ⊘(вне зависимости от природы элементов множества E).
Говорят, что множество A есть подмножество множества B, короче,
¾A входит в B¿, или ¾B содержит A¿, если во множестве A нет такого
элемента, который не был бы также во множестве B. Этому соотношению
соответствует запись
9

A ⊂B,
или
B ⊃A.
Например, множество A всех целых чисел, делящихся на 10, есть подмножество множества B всех целых чисел, делящихся на 5, так как каждое
число, делящееся на 10, делится также на 5. Соотношение A ⊂B не исключает соотношения B ⊂A. Если имеет место и то, и другое, то мы пишем
A = B.
Это означает, что каждый элемент множества A есть вместе с тем элемент множества B и наоборот, так что множества A и B содержат как раз
одни и те же элементы.
Соотношение A ⊂B между множествами во многом напоминает соотношение a ⩽b между числами. В частности, отметим следующие свойства
этого соотношения:
1) A ⊂A;
2) если A ⊂B и B ⊂A, то A = B;
3) если A ⊂B и B ⊂C, то A ⊂C.
По этой причине соотношение A ⊂B называют иногда отношением
порядка. Главное отличие рассматриваемого соотношения от соотношения
a ⩽b между числами заключается в том, что между всякими двумя заданными (действительными) числами a и b непременно существует по меньшей
мере одно из соотношений a ⩽b или b ⩽a, тогда как для соотношения
A ⊂B между множествами аналогичное утверждение неверно. Например,
если A есть множество, состоящее из чисел 1, 2, 3,
A = { 1, 2, 3 },
10