Математический анализ. Теория пределов и дифференциальное исчисление функции одной переменной

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
И. А. Кузоватов, Н. В. Кузоватова, А. Н. Полковников 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 
 
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ  
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск  
СФУ 
2020 

УДК 517.518.152(07) 
ББК  22.161.113я73 
К892 
 
 
Р е ц е н з е н т ы :  
А. А. Кытманов, доктор физико-математических наук, директор 
института космических и информационных технологий СФУ; 
Л. В. Кнауб, кандидат физико-математических наук, доцент, зав. 
кафедрой МОДУС ИМиФИ СФУ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Кузоватов, И. А. 
К892 
 
Математический анализ. Теория пределов и дифференциальное исчисление функции одной переменной : учеб. пособие / 
И. А. Кузоватов, Н. В. Кузоватова, А. Н. Полковников. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2020. – 106 с. 
ISBN 978-5-7638-4296-8 
 
Представлены теоретические сведения, приемы и методы решения типовых задач по следующим разделам математического анализа: «Теория 
пределов» и «Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной». 
Предназначено для студентов направлений подготовки 13.03.01 «Теплоэнергетика и теплотехника», 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника», 38.03.02 «Менеджмент». 
 
Электронный вариант издания см.: 
УДК 517.518.152(07) 
http://catalog.sfu-kras.ru 
ББК 22.161.113я73 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7638-4296-8 
© Сибирский федеральный  
университет, 2020 

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1. Введение в математический анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Ÿ1.1. Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Ÿ1.2. Понятие предела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Ÿ1.3. Основные теоремы о пределах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Ÿ1.4. Замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Ÿ1.5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции . . . . . . . . . 23
Ÿ1.6. Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. Производная функции одной действительной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Ÿ2.1. Определение производной и правила дифференцирования . 33
Ÿ2.2. Производная сложной и обратной функций . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Ÿ2.3. Логарифмическая производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Ÿ2.4. Производная неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Ÿ2.5. Производная функции, заданной параметрически . . . . . . . . . . 42
Ÿ2.6. Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Ÿ2.7. Геометрические и физические приложения производной . . .
45
Ÿ2.8. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью . . . 48
Ÿ2.9. Дифференциал функции одной действительной переменной
49
Ÿ2.10.Вектор-функция. Дифференцирование вектор-функции . . .
58
Ÿ2.11.Кривизна кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3. Приложения производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
Ÿ3.1. Теоремы о дифференцируемых функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Ÿ3.2. Правило Лопиталя  Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
Ÿ3.3. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Ÿ3.4. Возрастание и убывание дифференцируемой функции . . . . . 81
Ÿ3.5. Максимум и минимум дифференцируемой функции . . . . . . .
84
Ÿ3.6. Исследование дифференцируемой функции на экстремум .
87
3

Ÿ3.7. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . . 91
Ÿ3.8. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба 92
Ÿ3.9. Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Ÿ3.10.Общий план исследования функций и построение графиков
96
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
4

ВВЕДЕНИЕ
Математический анализ занимает особое место среди других математических дисциплин. Методы математического анализа являются
мощным инструментом для исследования теоретических и прикладных
задач в механике, физике, технике, экономике, статистике и других областях.
Создание Ньютоном и Лейбницем три с лишним столетия тому
назад основ дифференциального и интегрального исчисления представляется крупнейшим событием в истории науки вообще и математики в
особенности. Дальнейшее развитие математического анализа происходило в трудах Л. Эйлера (¾Основы дифференциального исчисления¿, 1755)
и Ж.Л. Лагранжа (¾Теория аналитических функций¿, 1797).
Изучение и применение математического анализа невозможно без
других фундаментальных математических дисциплин  алгебры и геометрии. Математический анализ совместно с алгеброй и геометрией образовали устойчивую систему, на которой построено ¾дерево знаний¿
современной математики.
Пособие посвящено фундаментальным разделам математического
анализа ¾Теория пределов¿ и ¾Дифференциальное исчисление функции
одной действительной переменной¿.
В первой главе излагаются предел числовой последовательности
и предел функции одной переменной, свойства предела, замечательные
пределы, непрерывность функции.
Во второй главе приводятся основные понятия, определения и формулы дифференциального исчисления функции одной действительной
переменной.
В третьей главе, посвященной приложениям производной, излагаются дифференциальные теоремы о среднем функции одной переменной,
правило Лопиталя  Бернулли раскрытия неопределенностей, формула
5

Тейлора и схема исследования поведения функции и построение графика
функции одной переменной.
Теория пределов и дифференциальное исчисление функции одной
действительной переменной являются основными, краеугольными разделами математического анализа. Без усвоения теории пределов, приемов
и правил вычисления производной и дифференциала невозможно изучение интегрального исчисления, дифференциальных уравнений и других
смежных математических, физических и технических дисциплин.
Пособие может быть использовано студентами для самостоятельного изучения соответствующего материала, является базой для подготовки к зачету и/или экзамену по математическому анализу.
Пособие предназначено для студентов технических и экономических специальностей.
6

1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Ÿ1.1. Элементарные функции
При изучении различных явлений природы и решении технических задач приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, при изучении движения
пройденный путь рассматривается как переменная, изменяющаяся в зависимости от изменения времени.
Определение 1.1. Если каждому значению переменной x, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной y, то y есть функция от x или в символической
записи y=f (x). Переменная x называется независимой переменной или
аргументом. Зависимость переменных x и y называется функциональной
зависимостью.
Определение 1.2. Совокупность значений x, для которых определяются значения функции y, называется областью определения функции (или областью существования функции).
Определение 1.3. Если функция y=f (x) такова, что большему значению аргумента x соответствует большее значение функции,
то функция y=f (x) называется возрастающей.
Аналогичным образом определяется убывающая функция.
Основными элементарными функциями называются следующие
аналитическим способом заданные функции:
1) степенная функция y=xα, где α  действительное число;
2) показательная функция y=ax, где a  положительное число, не равное единице;
3) логарифмическая функция y=loga x, где основание логарифмов a 
положительное число, не равное единице;
7

4) тригонометрические функции
y=sin x,
y=cos x,
y=tg x,
y=ctg x;
5) обратные тригонометрические функции
y=arcsin x,
y=arccos x,
y=arctg x,
y=arcctg x;
6) гиперболические функции
y=ch x  гиперболический косинус,
y=sh x  гиперболический синус,
y=th x  гиперболический тангенс,
y=cth x  гиперболический котангенс.
Рассмотрим области определения основных элементарных функций.
Степенная функция y=xα:
1) α  действительное положительное число. Функция определена
в бесконечном интервале −∞<x<+∞;
2) α  действительное отрицательное число. В этом случае функция определена при всех значениях x, кроме x=0.
Показательная функция y=ax, где a>0, a̸=1. Эта функция определена при всех значениях x.
Логарифмическая функция y=loga x, где a>0, a̸=1. Данная
функция определена только при значениях x>0.
При работе с тригонометрическими функциями следует обратить
внимание, что независимая переменная x в формулах y=sin x, y=cos x,
y=tg x, y=ctg x выражается в радианах. Функции y=sin x, y=cos x
определены при всех значениях x; функция y=tg x определена всюду,
2, здесь n  любое целое число; функция y=ctg x
кроме точек x=(2n+1)·π
определена при всех значениях x, кроме точек x=nπ, n  любое целое
8

число.
Определение 1.4. Функция y=f (x) называется периодической,
если существует такое постоянное число T, от прибавления (или вычитания) которого к аргументу x значение функции не изменяется:
f (x+T)=f (x), такое наименьшее положительное число называется периодом функции.
Все перечисленные тригонометрические функции  периодические. Функции y=sin x, y=cos x имеют период T =2π. Функции y=tg x,
y=ctg x имеют период T =π.
Обратные тригонометрические функции y=arcsin x, y=arccos x
определены при значениях −1≤x≤1; функции y=arctg x, y=arcctg x
определены при любом значении x.
Гиперболические функции определяются по формулам:
ch x= ex+e−x
2
,
sh x= ex−e−x
2
,
th x= sh x
ch x,
cth x= ch x
sh x.
Аналогично основному тригонометрическому тождеству справедливо основное гиперболическое тождество
ch2 x−sh2 x=1.
Для гиперболических функций наряду с тригонометрическими справедливы формулы двойного аргумента, понижения степени и другие
формулы, аналогичные тригонометрическим. Функции y=ch x, y=sh x,
y=th x определены при всех значениях аргумента x; функция y=cth x
определена при всех значениях x, кроме точки x=0.
Определение 1.5. Если переменная y является функцией от промежуточной переменной u, а промежуточная переменная u, в свою очередь, зависит от независимой переменной x, то переменная y также зависит от независимой переменной x. Пусть даны функции y=F (u) и
u=ϕ (x). Объединив, получаем функцию переменной y от независимой
переменной x: y=F (ϕ (x)). Данная функция называется функцией от
9

функции или сложной функцией.
Областью определения сложной функции y=F (ϕ (x)) является
или вся область определения функции u=ϕ (x), или та ее часть, в которой определяются значения промежуточной переменной u, не выходящие
из области определения функции F (u).
П р и м е р
1.1. Областью определения функции y=
√
1−x2 является отрезок [−1; 1], так как промежуточная переменная u=1−x2 отрицательна при значениях |x|>1, следовательно, функция y=√u не определена при этих значениях x.
Определение 1.6. Элементарной функцией называется функция,
которая может быть задана одной формулой вида y=f (x), где справа
стоящее выражение составлено из основных элементарных функций и
постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
Графики основных элементарных функций
2. Показательная:
y = ax, (a > 0, a ̸= 1)
1. Степенная: y = xα,
(α ̸= 0)
y
y
10
5
α > 1
α = 1
4
8
6
3
0 < α < 1
4
2
a > 1
a > 1
2
1
x
α < 0
x
1
2
3
4
5
−6
−4
−2
2
4
6
10