Дифференциальные уравнения : в 2 частях. Часть. 1

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
А. А. Родионов 
А. А. Краснов 
Д. А. Краснова 
 
 
 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ 
 
Учебное пособие 
В двух частях 
Часть 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2020 
 

УДК 
517.91(07) 
ББК 
22.161.6я73 
Р605 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы:  
В. М. Белолипецкий, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник отдела вычислительной математики ИВМ СО РАН; 
О. В. Капцов, доктор физико-математических наук, профессор, 
ведущий научный сотрудник отдела вычислительных моделей в гидрофизике ИВМ СО РАН 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Родионов, А. А. 
Р605  
Дифференциальные уравнения : учеб. пособие : в 2 ч. Ч. 1 / 
А. А. Родионов, А. А. Краснов, Д. А. Краснова. – Красноярск : Сиб. 
федер. ун-т, 2020. – 104 с. 
 
ISBN 978-5-7638-4247-0 (ч. 1) 
ISBN 978-5-7638-4360-6 
 
 
 
Содержит теоретический материал, примеры решения типовых задач, контрольные вопросы и задания, упражнения для самостоятельного выполнения. 
Предназначено для студентов второго и старших курсов, аспирантов, преподавателей и научных работников в области дифференциальных уравнений. 
 
 
Электронный вариант издания см.: 
УДК 517.91(07) 
         http://catalog.sfu-kras.ru 
ББК 22.161.6я73 
 
 
ISBN 978-5-7638-4247-0 (ч. 1) 
ISBN 978-5-7638-4360-6 
      © Сибирский федеральный университет, 2020 

Оглавление
Предисловие.........................................................................................
4
1.
Основные понятия. Примеры ...................................................
5
2.
Построение ОДУ. Метод изоклин........................................... 10
2.1. Графический метод решения ОДУ (метод изоклин) .............. 15
3.
ОДУ простейшего вида .............................................................. 19
4.
Теорема существования и единственности решения ......... 33
5.
Метод последовательных приближений ............................... 44
6.
Принцип сжатых отображений................................................ 53
7.
Уравнения, не разрешенные относительно производной. 59
7.1. Простейшие типы ОДУ, не разрешенные относительно производных .................................................................................... 62
8.
Особые решения ........................................................................... 68
9.
Уравнения n-го порядка, решаемые в квадратурах или
понижением порядка................................................................... 75
10. Зависимость решения ОДУ первого порядка от начальных данных и от правой части уравнения ........................... 81
11. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
с постоянными коэффициентами ............................................ 90
11.1. Метод вариации постоянных для неоднородного уравнения
(11.1)........................................................................................... 99
Библиографический список.............................................................103
3

Предисловие
Дифференциальные уравнения применяются в различных областях физики, в экономике и в естественных науках. Для множества практических задач нельзя найти достаточно точное решение без применения
методов теории дифференциальных уравнений. При этом недостаточно только сформулировать дифференциальное уравнение, для выбора
правильного и оптимального решения необходимо верно определить тип
уравнения.
Основная цель данного учебного пособия  дать представление
о предмете и методах дисциплины ¾Дифференциальные уравнения¿.
Рассмотрены типы наиболее часто встречающихся дифференциальных
уравнений, указаны методы их интегрирования, а также задачи прикладного применения некоторых уравнений. Главное внимание уделено
решению дифференциальных уравнений с приведением конкретных примеров.
Пособие состоит из одиннадцати глав, с содержанием которых читатель может ознакомиться по оглавлению.
После каждой главы приведены вопросы и задания для самостоятельной работы.
4

1.
Основные понятия. Примеры
Цель главы. Изложить теоретические основы обыкновенных дифференциальных уравнений: привести основные определения, продемонстрировать примеры уравнений в явной и параметрической формах,
привести их физическую или геометрическую интерпретацию.
Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ)
называется уравнение вида
F(x, y, y′, ..., y(n)) = 0,
где F  известная функция, x  независимая переменная, y(x)  неизвестная функция. Число n определяет наивысший порядок производной
функции y(x) и называется порядком дифференциального уравнения.
ОДУ первого порядка называется уравнение вида
F(x, y, y′) = 0.
(1.1)
Определение. ОДУ называется разрешенным относительно производной, если оно имеет вид
dy
dx = f(x, y).
(1.2)
Предполагаем, что функция f(x, y) в (1.2) определена и непрерывна по (x, y) ∈D, D называется областью определения уравнения (1.2).
Если в окрестности точек (x, y) f(x, y) обращается в бесконечность, то
рассматривается уравнение вида
dx
dy =
1
f(x, y).
(1.2′)
Наряду с уравнениями (1.2) и (1.2′) рассматриваются уравнения
dy −f(x, y)dx = 0
(1.3)
5

или уравнения более общего вида
M(x, y)dx −N(x, y)dy = 0.
(1.4)
Непрерывные функции M(x, y), N(x, y) называются коэффициентами
уравнения (1.4).
Определение. Решением уравнения (1.2) на интервале I (например,
(a, b)) называется функция y = ϕ(x), определенная и непрерывно дифференцируемая на I, не выходящая из области D задания функции f(x, y)
и, при подстановке в (1.2), обращающая уравнение в тождество для
всех x ∈I, то есть
dϕ(x)
dx
≡f(x, ϕ(x)),
x ∈I.
Говорят: y = ϕ(x) удовлетворяет уравнению (1.2).
Пример 1. a)
Функция y = e2x + Cex является решением уравнения
y′ = y + e2x на интервале (−∞; +∞).
2; π
2
б)
y = tg(x + C)  решение уравнения y′ = y2 + 1 при x ∈

−π

.
в)
y =
1
1 −x  решение уравнения y′ = y2 при x ∈(−∞; 1).
x + 1 на
г)
y = (x + 1)[C + ln |x + 1|] + 1  решение уравнения y′ = x + y
интервалах I1 = (−∞; −1); I2 = (−1; +∞); при x = −1 тождество
не выполнено.
Определение. Процесс отыскания решения ОДУ называется интегрированием, а решение y = ϕ(x)  интегральной линией.
Часто при интегрировании ОДУ получают решение в неявной форме.
Определение. Решением ОДУ в неявном виде называется соотношение Φ(x, y) = 0, если оно определяет y как неявную функцию от x,
которая является решением уравнения (1.2). В этом случае равенство
∂Φ
∂x + ∂Φ
∂x + ∂Φ
∂y
dy
dx = 0
∂Φ
∂y f(x, y) = 0

(1.5)
6

с учетом (1.2) должно выполнятся тождественно в силу Φ(x, y) = 0.
Пример 2. Для ОДУ dy
dx = 2x2 + y2 −2x −3
2x2 + y2 + y −3 решением в неявном виде
является соотношение
2x2 + y2 −3 = 0.
(∗)
dx = 0, подставляя dy
dx из
Действительно, дифференцируя (∗): 4x + 2ydy
уравнения 4x+2y2x2 + y2 −2x −3
2x2 + y2 + y −3 ≡0, получаем тождество в силу (∗).
Из основного курса математического анализа известна теорема существования неявной функции.
Теорема 1. Если функция Φ(x, y) непрерывна вместе с частными производными первого порядка в некоторой окрестности точки M(x0, y0)
и
Φ(x0, y0) = 0,
∂Φ
∂y (x0, y0) ̸= 0,
то существует такая окрестность точки x0, в которой уравнение
Φ(x, y) = 0 определяет y как однозначную функцию от x, y = y(x),
обладающую свойствами:
1) y(x) непрерывна вместе со своей производной;
2) y(x0) = y0.
Для последнего примера Φ(x, y) = 2x2 + y2 −3. В окрестности
точки x0 = 1, y0 = y(1) = 1 имеем Φ(1, 1) = 0, Φ′
y(1, 1) = 2 ̸= 0. Условия
теоремы выполнены. Искомым решением будет y =
√
3 −2x2.
Определение. Пусть при интегрировании (1.2) получили (x, y) как
непрерывные функции параметра t
x = x(t),
y = y(t),
t0 < t < t1.
(1.6)
Функция (1.6), заданная параметрически, называется решением уравнения (1.2) в параметрической форме, если при подстановке в (1.2)
получаем тождество
y′(t)
x′(t) ≡f(x(t), y(t)),
x′(t) ̸= 0
(t0 < t < t1).
7

b2 + 4ay
2a
решение в параметриПример 3.
a) Для ОДУ y′ = −b +
p
ческой форме будет: x = 2at + b ln t, y = at2 + bt (t > 0, a > 0,
b > 0).
б) x = a cos t, y = b sin t определяют решение в параметрической форме уравнения dy
a2
x
y на интервале [0, 2π].
dx = −b2
При интегрировании ОДУ возникает бесчисленное множество решений за счет появления константы интегрирования. Если ОДУ описывает физический процесс, то часто к ОДУ присоединяют дополнительные условия, что делает задачу "физически определенной".
Определение. Задачей Коши для уравнения (1.2) называется задача
нахождения решения y = y(x), которое при заданном x0 (начальное
значение) принимает заданное значение y0 = y(x0) (начальное условие), то есть
dy
dx = f(x, y),
y(x0) = y0.
(1.7)
Пример 4.
а) Радиоактивный
распад
описывается
уравнением
dm/dt = −αm, где m(t)  масса неустойчивого вещества, t
 время, α > 0  коэффициент распада (сечение). Решением
уравнения будет m(t) = Ce−αt с произвольной постоянной C. Если
в начальный момент t = 0 масса вещества была m(0) = m0, то
решением задачи Коши dm/dt = −αm, m(0) = m0 будет функция
m(t) = m0e−αt.
б) Для уравнения dy/dx = ex, x ∈(−∞, +∞) решение будет y =
ex + C; если y = A при x = 0, то A = 1 + C, ⇒C = A −1, ⇒y =
ex + A −1.
в) Для уравнения dy/dx = cos x, x ∈(−∞, +∞) получаем y = sin x+
C; если y = 2 при x = π
2, то 2 = sin π
2 +C, ⇒C = 1, ⇒y = sin x+1.
Контрольные вопросы и задания
1. Дать определение обыкновенного дифференциального уравнения
n-го порядка.
8

2. Дать определение решения ОДУ y′ = f(x, y) в неявной форме.
3. Дать определение решения ОДУ y′ = f(x, y) в параметрическом
виде.
4. Сформулировать теорему о неявной функции.
5. Дать определение задачи Коши для ОДУ 1-го порядка.
9

2.
Построение ОДУ. Метод изоклин
Цель главы. Привести примеры построения дифференциальных уравнений для решения экономических, физических, геометрических задач.
Дать геометрическую интерпретацию обыкновенных дифференциальных уравнений. Описать и продемонстрировать графический метод
решения дифференциальных уравнений, известный так же как метод
изоклин.
При построении ОДУ в задачах естествознания различают два
класса задач:
1) использующие
понятие
производной
как
скорость
изменения
какого-либо процесса (в физике, химии, экономике,...);
2) задачи с геометрической интерпретацией производной (в математике, технике,...).
Пример 5. Материальная точка массы m движется прямолинейно под
действием силы F1 (F1 пропорциональна времени t). Сила сопротивления среды F2 пропорциональна скорости движения v. Найти зависимость
скорости точки от времени v = v(t), где v(t0) = v0.
Решение. Из условия следует, что F1 = k1t, F2 = k2t, где k1, k2 ⩾0
 заданные постоянные. Из закона Ньютона имеем F = ma, где F =
F1 −F2, a = dv/dt. Получаем задачу Коши на функцию v(t):
mdv
dt = k1t −k2t,
v(t0) = v0.
Пример 6. Скорость роста капитала в банке пропорциональна вкладу,
вклад увеличивается на η% ежемесячно. Через сколько месяцев вклад
увеличится в N раз.
Решение. Из уравнения dM/dt = kM роста капитала, где k  коэффициент роста, M  масса имеющихся денег, следует решение M = Cekt,
C = const. Пусть в момент t1 в банке было M1 = Cekt1 денег, тогда через
10