Теория функций комплексного переменного

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
Лесосибирский педагогический институт – филиал СФУ 
 
 
 
 
 
 
 
С. С. Ахтамова 
Е. К. Лейнартас 
А. П. Ляпин 
 
 
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ  
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 
 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2020 
 

УДК 517.53 (07) 
ББК 
22.161.55я73  
А957 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
Е. Н. Михалкин, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры теории функций СФУ; 
М. С. Апанович, кандидат физико-математических наук, доцент  
кафедры медицинской кибернетики и информатики КрасГМУ  
им. профессора В. Ф. Войно-Ясенецкого 
 
 
Ахтамова, С. С.  
А957 Теория функций комплексного переменного : учеб.-метод. пособие / 
С. С. Ахтамова, Е. К. Лейнартас, А. П. Ляпин. – Красноярск : Сиб. 
федер. ун-т, 2020. – 100 с. 
 
ISBN 978-5-7638-4330-9 
  
Представлен материал по основным разделам дисциплины «Теория 
функций комплексного переменного», сопровождающийся множеством прикладных и методических наработок авторов, а также приведены задания  
к практическим, домашним и самостоятельным работам. 
Предназначено для студентов, изучающих математику в качестве основной дисциплины, обучающихся по направлениям 01.03.01 «Математика», 
01.03.02 «Прикладная математика и информатика», 02.03.01 «Математика и компьютерные науки», 44.03.05 «Педагогическое образование (с двумя профилями)».  
 
 
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru 
 
 
 
 

УДК 517.53 (07) 
ББК 22.161.55я73  
 

ISBN 978-5-7638-4330-9 
© Сибирский федеральный 
университет, 2020 
© Лесосибирский 
педагогический институт – филиал СФУ, 2020 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
 
Теория функций комплексной переменной (ТФКП) является одним 

из заключительных разделов общего курса высшей математики, изучаемой 
студентами-математиками. Фундаментальные понятия её разделов находят 
широкое применение в большинстве разделов современной математики  
и физики. Она связана с изучением аналитических функций. В данном пособии важнейшие понятия математического анализа функций действительной переменной, такие как предел, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость, ряд и его сходимость формулируются для функций комплексной переменной со своими свойствами. При этом возникают 
новые интересные аспекты, связанные с конформными отображениями и 
методами вычисления интегралов от функций действительной переменной.  

Курс «Теория функций комплексной переменной» направлен на разви
тие методов исследования функций в комплексной области и применение их  
к задачам математического анализа. Формулируются базовые понятия математического анализа, такие как предел, непрерывность, производная, интеграл  
и ряд для комплексных функций, зависящих от комплексной переменной. Материалы данного курса используются при изучении дисциплин «Теория алгоритмов», «Дифференциальные уравнения», «Электродинамика», «Квантовая 
механика», а также спецкурсов по теоретической физике и математике. Знание 
методов теории функций комплексной переменной является необходимым 
элементов математического образования современного ученого. 

Цель пособия – формирование представлений о методах решения за
дач теории функций комплексного переменного и их приложений в решении сложных задач алгебры, физики и действительного анализа.  

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи: 
– познакомить с современными направлениями развития комплексно
го анализа на основе понятий теории функций действительной переменной; 

– сформировать представления об аналитических функциях, кон
формном отображении, аналитическом продолжении, римановой поверхности, рядах аналитических функций, комплексном интеграле; 

– выработать умения и навыки дифференцирования функций ком
плексной переменной, построения конформных отображений простейших 
областей, вычисления комплексных интегралов, разложения функций в ряд 
Тейлора; 

– научить применять методы комплексного анализа для вычисления 

определённых и несобственных интегралов и решения других задач алгебры и анализа. 
 

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 
 
 
 
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ  
 
 
Определение. Комплексным числом называется пара действительных чисел z = (x, y), где x, y ∈ R, взятых в определенном порядке. 
Число x называется действительной частью числа z, это обозначается 
так: x = Rez. Число y называется мнимой частью числа z: y = Imz. 
Замечание. Множество действительных чисел R есть часть множества комплексных чисел. При y = 0, обозначая (x, 0) через x, мы получим 
действительное число x. 
 
Алгебраическая форма комплексного числа:  
z = x + iy, где i – новый объект («мнимая единица»), для которого 
при вычислениях полагаем i2= –1. 
Число 
yi
x
z


 называется числом, сопряжённым к числу z = x + iy. 
Операция сопряжения имеет следующие свойства: 

 

.
;
;

;
|
|
;
Im
2
;
Re
2
;

2

1

____

2

1
2
1

______

2
1
2
1

_______

2
1

2
__

z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z

z
z
z
i
z
z
z
z
z
z
z
z

























 

 
Арифметические операции: пусть z1 = x1 + iy1  и  z2 = x2 + iy2 
1) сложение (вычитание): z = (x1 + x2) + (y1 + y2) i (сложить действительные и мнимые части); 
2) умножение: z = (x1x2 – y1y2) + (x1y2 + x2y1) i (перемножить почленно); 

3) деление: 


















2
2
2
2

2
1
2
1
2
1
2
1

2
2
2
2

2
2
1
1

2
2

2
1

2

1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

y
x

i
y
x
x
y
y
y
x
x
i
y
x
i
y
x
i
y
x
i
y
x
z
z
z
z
z
z
 

=
i
y
x

y
x
x
y

y
x

y
y
x
x
2
2
2
2

2
1
2
1
2
2
2
2

2
1
2
1







 (числитель и знаменатель умножаем на 

число, сопряженное к знаменателю); 
4) правила равенства комплексных чисел: |x1|=|x|; |y1| = |y2|. 
 
Тригонометрическая форма комплексного числа: 



)
(cos(arg z
z
z
 






sin
cos
))
sin(arg
i
z
z
i
, угол φ называется аргументом комплексного числа z. 

Арифметические 
операции: 
пусть 


1
1
1
1
sin
cos




i
z
z
,



2
2
2
2
sin
cos




i
z
z
. 

1) умножение: 

















2
2
2
1
1
1
2
1
sin
cos
sin
cos
i
z
i
z
z
z
 


 



 












2
1
2
2
1
1
2
1
sin
cos
sin
cos
z
z
i
i
z
z
 


















2
1
2
1
2
1
2
1
cos
sin
sin
cos
sin
sin
cos
cos
i
 

 
)
sin(
)
cos(
2
2
2
1
2
1










i
z
z
 (при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются); 

2) деление: 

 













|
|
|
|
)
sin(
)
cos(
|
|
|
|

2
2

2
1
2
1
2
1

2
2

2
1

2

1
z
z
i
z
z
z
z
z
z
z
z
 


)
sin(
)
cos(
|
|
|
|
2
1
2
1
2

1








i
z
z
 (при делении комплексных чисел 

их модули делятся друг на друга, аргумент частного равен разности 
аргументов делимого и делителя); 
3) возведение в степень: 






n
i
n
z
z
n
n
sin
cos
 – формула Муавра; 

4) извлечение корня: √𝑧

|𝑧|

cos
𝑖 ∙ sin
, где k = 0, 
1, 2,…(n – 1); 
5) правило равенства комплексных чисел: |z1|=|z2|; φ1 = φ2 + 2πk. 
 
Показательная форма комплексного числа:  








i
z
i
z
i
e
z
e
z
e
z
z
arg
Arg
 






sin
cos
i
ei
 (формула Эйлера), 
2
2
y
x
z


. 
 
Арифметические операции: пусть z1 = |z1|eiφ1 и z2 = |z2|eiφ2. 
1) умножение:   𝑧∙ 𝑧|𝑧| ∙ |𝑧|𝑒; 
2) деление: 𝑧: 𝑧|𝑧|: |𝑧|𝑒; 
3) правило равенства: |𝑧| |𝑧|; φφ2π𝑘; 

4) извлечение корня: √𝑧

|𝑧|

∙ 𝑒

. 
 
Задание кривых и областей на комплексной плоскости  
Так как модуль разности |𝑧 𝑧| 𝑥 𝑥𝑦 𝑦равен расстоянию между точками z и z0, то: 
1) |𝑧 𝑧| 𝑅 – уравнение окружности радиуса R с центром в точке z0; 
2) |𝑧 𝑧| 𝑅  – замкнутая область, ограниченная этой окружностью, 
то есть круг радиуса R с центром в точке z0, включающий свою границу; 
3) |𝑧 𝑧| 𝑅   – открытая область, состоящая из точек, находящихся вне круга радиуса R с центром в z0; круг не включен в эту область; 

4) |𝑧 𝑧| |𝑧 𝑧| = 2a – эллипс, построенный на точках z1 и z2, 
рассматриваемых как фокусы (большая полуось равна 2а, малая –

4
|
|
2
2
1
2
z
z
a


). Области, лежащие внутри и вне эллипса, описываются 

соответствующими неравенствами; 
5) |𝑧 𝑧| |𝑧 𝑧|2𝑎 – гипербола с фокусами в точках z1 и z2, 
расстояние между фокусами 2с = 
|
|
2
1
z
z 
, между вершинами 2а. Уравнение 
а
z
z
z
z
2
|
|
|
|
2
1




 дает ветвь гиперболы, расположенную ближе  
к фокусу z2; неравенство 
а
z
z
z
z
2
|
|
|
|
1
2




 – открытую область, содержащую фокус z1 и ограниченную соответствующей ветвью гиперболы; 
6) Re𝑧 α (или x = a) – прямая, параллельная оси Оу. 𝑅𝑒𝑧 α – область, лежащая справа от этой прямой (включая прямую); 𝑅𝑒𝑧 α – область слева от прямой (прямая не включена в область). 𝐼𝑚𝑧 𝑏 (или – 
𝑦 𝑏 прямая, параллельная оси Ох; 𝐼𝑚𝑧 𝑏, 𝐼𝑚𝑧 𝑏 – области, расположенные выше и ниже этой прямой; 
7) arq 𝑧 α  – луч, выходящий из точки 𝑧 0 под углом α к оси Ох. 
arq 𝑧𝑧 𝑧α – луч, выходящий из точки 𝑧под углом α к оси Ох. 
α arq 𝑧𝑧 𝑧β – область, расположенная между лучами, выходящими из точки 𝑧. 
 
 
 
1.2. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ 
 
 

Пример 1. Выполнить действия: а) 2 𝑖;  б) 
. 

 
Решение. 
а) 2 𝑖8 3 ∙ 2∙ 𝑖 3 ∙ 2 ∙ 𝑖𝑖2 11 ∙ 𝑖; 
 

б) 


3 𝑖10
9 6𝑖 1
10
4
5 𝑖 3
5. 

 
Пример 2. Показать, что 𝑧𝑧𝑧𝑧. 
 
Решение.    𝑧𝑧𝑥𝑥𝚤𝑦𝑦= 𝑥𝑥𝑖𝑦𝑦𝑥𝑖𝑦𝑥𝑖𝑦𝑧𝑧. 

Пример 3. Найти действительные решения уравнения: 
 
4 2𝑖𝑥 5 3𝑖𝑦 13 𝑖. 
 
Решение. Приравняем действительные и мнимые части обеих частей 
уравнения: 
 

4𝑥 5𝑦 13
2𝑥 3𝑦 1 , 

 
решая систему, находим: x = 2, y = 1. 
 
Пример 4. Решить уравнение  𝑧1 3𝑖𝑧 2 2𝑖 0. 
 
Решение. Так как корни квадратного уравнения 𝑧𝑝𝑧 𝑞 0 
находятся по формуле 
 

𝑧,𝑞, 

 
то в нашем случае имеем 
 

𝑧,2 2𝑖√, 

 

где √2𝑖 √2 cos

𝑖 sin

, k = 0, 1. 

 
Тогда  
 
𝑧2𝑖,  𝑧1 𝑖. 
 
Пример 5. Найти модуль и аргумент комплексного числа:  
 
𝑧 sin
𝑖cos
. 
 
Решение.      𝑥 sin
0,    𝑦 cos
0. 
 

arg 𝑧 π arctg π arctgtg ) =  

= – π arctg π π π 2π𝑘,   𝑘 0, 1, 2 … … 

|𝑧| sincos1. 

 
Пример 6. Записать в тригонометрической форме комплексное число 

.3
1 i
z



 
 
Решение:  |𝑧| 2, tg φ √√3. 
 
φ π arctg√3 π , 
 

1 𝑖√3 2 cos π𝑖sin π. 

 

Пример 7. Вычислить: а) 
 ;
3
1
90
i

 б) (1 + i)45; в) 
 .
3
1
60
i


 

 
Решение: 
а) запишем комплексное число 
3
1 i
z


 в тригонометрической или 
показательной форме: 
 

1 𝑖√3 2 cos 𝑖sin 2𝑒. 

 
Применяя формулу возведения в натуральную степень, получаем: 
 

1 𝑖√32𝑒2𝑒2cos30π 𝑖sin30π2; 
 

б) для числа 𝑧 1 𝑖 √2 cos
𝑖sin
√2𝑒имеем: 

 

1 𝑖√2cos 45 ∙
𝑖sin 45 ∙
= 

2∙ √2 √𝑖
√21 𝑖; 

 
в) представим число в тригонометрической форме: 
 
1 𝑖√32 cos
π 𝑖sin
π

 
и по формуле Муавра возведем в степень: 
 
1 𝑖√32cos 60 ∙
π𝑖 sin 60 ∙
π= 

2cos40π 𝑖sin40π2. 

y 

x 
0 

𝑧𝑧𝑧𝑧
Пример 8. Найти все значения корней: а) 
;1
4 
 б) 
;
1
3
i


 в) 
.
1
4
i
  

 
Решение: 
а) запишем число z = –1 в тригонометрической или показательной 
форме:  
 

1 1 ∙ cos
𝑖sin
√1

∙ 𝑒, k = 0, 1, 2, 3. 
 
Подставляя k = 0, 1, 2, 3, получаем четыре различных значения 4
1
 : 
 

𝑧cos
𝑖sin
√𝑖 √, 

 

𝑧cos
𝑖sin
√𝑖 √, 

 

𝑧cos
𝑖sin
√𝑖 √,  

 

𝑧cos
𝑖sin
√𝑖 √. 
 
Точки, соответствующие значениям 4
1
 , находятся в вершинах 
квадрата, вписанного в окружность радиуса 1 с центром в начале координат; 

б) так как 1 𝑖 √2 cos 2π𝑘𝑖sin 2π𝑘, то 

 

√1 𝑖
√2

cos

𝑖sin 

, k = 0, 1, 2. 

Подставляя k = 0, 1, 2, получаем: 
 

𝑧√2

cos
𝑖sin
√1 𝑖, 

 
𝑧√2

cos
𝑖sin
√2

cos
𝑖sin
, 

 

𝑧√2

cos 19π
4
𝑖sin 19π
4 √2

cos π
12 𝑖sin π
12. 

 
в) запишем комплексное число в тригонометрической форме: 
 
1 𝑖 √2cos 𝑖sin . 

y 

x 

O 
1 
3 

По формуле извлечения корня получим: 
 

√1 𝑖
√2

cos 𝑖sin , 

 
полагая k = 0, 1, 2, 3 – четыре значения: 
 

√1 𝑖
√2

cos 𝑖sin , k = 0, 

 

√1 𝑖
√2

cos 𝑖sin , k = 1, 

 

√1 𝑖
√2

cos 𝑖sin , k = 2, 

 

√1 𝑖
√2

cos 𝑖sin , k = 3. 

 
Пример 9. Какое множество точек на комплексной плоскости задается условиями 1 < |z –1| ≤ 2? 
Решение. Требуется найти все точки z комплексной плоскости, удовлетворяющие двум условиям: расстояние от z до точки z0 = 1 должно быть 
строго больше единицы и меньше либо равно 
двум. Этим условиям удовлетворяют точки z, 
находящиеся в кольце, ограниченном окружностями радиуса 1 и 2 с центром в точке z0 = 1, 
включая окружность радиуса 2. 
 

Пример 10. Вычислить  
∙ √3 3𝑖. 

 
Решение: 
 

2cos 7π
6 𝑖sin 7π
6 𝑖1
∙ √3 3𝑖2 cos 7π
6 𝑖 sin 7π
6 √2 cos 3π
4 𝑖 sin 3π
4 ∙ 2cos π
6 𝑖 sin π
6
 

2√2cos 4π
3 𝑖 sin 4π
3 cos 3π
4 𝑖 sin 3π
4 2√2cos 7π
12 𝑖 sin 7π
12.