Математика. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
И. А. Кузоватов, Н. В. Кузоватова, А. Н. Полковников 
 
 
МАТЕМАТИКА 
 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ  ИСЧИСЛЕНИЕ  ФУНКЦИЙ 
НЕСКОЛЬКИХ  ПЕРЕМЕННЫХ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск  
СФУ 
2020 

УДК 517.2(07) 
ББК  22.161.114я73 
К892 
 
 
Р е ц е н з е н т ы :  
А. А. Кытманов, доктор физико-математических наук, директор 
Института космических и информационных технологий СФУ; 
Л. В. Кнауб, кандидат физико-математических наук, доцент, зав. 
кафедрой МОДУС Института математики и фундаментальной информатики СФУ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Кузоватов, И. А. 
К892 
 
Математика. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных : учеб. пособие / И. А. Кузоватов, Н. В. Кузоватова, А. Н. Полковников. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2020. – 
78 с. 
ISBN 978-5-7638-4427-6 
 
Приведены теоретические сведения, приемы и методы решения типовых 
задач раздела математического анализа «Дифференциальное исчисление 
функций нескольких переменных». 
Предназначено для студентов направлений подготовки 13.03.01 «Теплоэнергетика и теплотехника», 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника», 38.05.01 «Экономическая безопасность». 
 
Электронный вариант издания см.: 
УДК 517.2(07) 
http://catalog.sfu-kras.ru 
ББК 22.161.114я73 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7638-4427-6 
© Сибирский федеральный  
университет, 2020 

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1. Непрерывность
и
частные
производные
функций
нескольких переменных
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Ÿ1.1. Основные понятия функций нескольких переменных . . . . . .
6
Ÿ1.2. Предел функций нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Ÿ1.3. Непрерывность функций нескольких переменных . . . . . . . . . . 18
Ÿ1.4. Частные производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Ÿ1.5. Дифференциал функции нескольких переменных . . . . . . . . . . 26
Ÿ1.6. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
30
Ÿ1.7. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Ÿ1.8. Полный дифференциал сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Ÿ1.9. Дифференцирование неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Ÿ1.10.Частные производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Ÿ1.11.Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2. Приложения частных производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Ÿ2.1. Производная по направлению. Градиент . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Ÿ2.2. Касательная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Ÿ2.3. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Ÿ2.4. Экстремум функций нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . .
59
Ÿ2.5. Необходимые и достаточные условия существования экстремумов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Ÿ2.6. Условный экстремум функций нескольких переменных . . . .
65
Ÿ2.7. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой
области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Библиографический список. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3

ВВЕДЕНИЕ
Данное учебное пособие включает теоретический материал и примеры решения задач раздела математического анализа  ¾Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных¿.
Функции одной действительной переменной не могут охватить все
зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить
понятие функциональной зависимости для нескольких независимых переменных. Обобщение функциональной зависимости для нескольких переменных, как правило, начинают рассматривать со случая двух пространственных переменных с использованием наглядной графической
интерпретации.
Учебное пособие состоит из двух глав. Каждый параграф начинается с основных определений, затем приводятся теоретические результаты, приемы и методы решения типовых задач по данной теме. В конце
каждой главы приводятся контрольные задания, содержащие основные,
ключевые понятия, свойства и формулы данной главы.
Материал пособия непосредственно опирается на знания и умения,
полученные при изучении дифференциального исчисления функций одной переменной. На протяжении изучения всего курса широко используются понятия, термины и формулы линейной алгебры и аналитической
геометрии.
В первой главе приводятся основные понятия, определения и формулы дифференциального исчисления функций нескольких переменных,
такие как предел, непрерывность, частные производные и дифференциал
функций нескольких переменных; формулы дифференцирования сложной и неявной функций нескольких переменных.
Во второй главе, посвященной приложениям дифференциального исчисления функций нескольких переменных, даются материалы как
геометрического характера (производная по направлению, касательная
плоскость и нормальная прямая к поверхности), так и широко применя4

емая в вычислительной математике и математическом моделировании
формула Тейлора. Завершает вторую главу схема исследования функции нескольких переменных на экстремум.
Учебное
пособие
предназначено
для
студентов
инженернотехнических и экономических специальностей.
5

1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
И ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Ÿ1.1. Основные понятия функций
нескольких переменных
Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.
Площадь S прямоугольника, длины сторон которого равны a и b,
выражается формулой S =ab. Числовое значение S определяется произведением величин a и b. Объем V прямоугольного параллелепипеда с
ребрами, длины которых равны a, b и c, выражается формулой V =abc,
соответственно значение V определяется совокупностью значений a, b и
c. Такие же рассуждения справедливы и для других математических и
физических величин, вычисляемых при помощи формул.
Вторым примером, приводящим нас к понятию функции нескольких переменных, является существование физических параметров, присущих физическому объекту любой размерности. Примерами таких параметров могут служить: температура T, давление P, плотность ρ и так
далее. В таком случае говорят, что речь идет о функции точки M, принадлежащей некоторому физическому телу, T =f(M), P =f(M) и так
далее.
Математической реализацией подобных зависимостей является понятие функции нескольких переменных.
Прежде чем перейти к рассмотрению определений и иллюстрирующих примеров для основных понятий функций нескольких переменных,
6

напомним специальные математические символы, которые будем использовать для сокращения записей:
∀ означает для любого, для всякого (квантор всеобщности);
∃ означает существует, найдется (квантор существования);
:  означает имеет место, такое что, выполняется;
∈ символ принадлежности элемента множеству;
⊂ означает, что подмножество содержится во множестве.
Например, краткая запись при помощи кванторов  ∀x∈A:B,
означает: для всякого элемента x, принадлежащего множеству A выполняется утверждение B.
Напомним также обозначения основных числовых множеств:
N  множество натуральных чисел, N={1, 2, 3, . . . };
Z  множество целых чисел, Z={0, ±1, ±2, ±3, . . . };
R  множество действительных чисел;
R2 множество упорядоченных пар действительных чисел;
R2={(x, y) | x∈R, y∈R}.
Аналогично вводятся R3  пространство упорядоченных троек действительных чисел и Rn  пространство произвольной размерности n.
Определение функции нескольких переменных рассмотрим с наиболее наглядного случая двух независимых переменных.
Определение 1.1. Пусть задано некоторое множество D∈R2 точек P(x, y). Соответствие f, которое каждой паре (x, y)∈D сопоставляет
одно и только одно число z ∈R, называется функцией двух переменных x и y, определенной на множестве D⊂R2 со значениями на множестве действительных чисел. Записывается данное соответствие в виде
z =f(x, y),
при этом x и y называются независимыми переменными (аргументами), z  функцией (зависимой переменной). Также для записи
7

функции двух переменных можно использовать обозначения: z =f(P),
z =f(P(x, y)).
Функция z =f(x, y) может быть задана аналитически (формулой)
или каким-либо иным способом: например, в виде таблицы, какой-либо
словесной формулировки, графически и т. д.
Определение 1.2. Множество пар (x, y), для которых существует значение функции z =f(x, y), называется областью определения
данной функции, обозначается данное множество D(f) или D(z).
П р и м е р
1.1. Найти область определения функции
z =ln(1−x2−y2).
Решение. Логарифмическая функция существует только при положительных значениях аргумента, поэтому функция z =ln(1−x2 −y2)
определена, если 1 −x2 −y2>0 или x2 + y2<1. Последнее неравенство
задает область определения данной функции:
D(z)={(x, y)∈R2 | x2+y2<1}.
На плоскости Oxy ему соответствует внутренность круга радиуса 1 с
центром в начале координат (рис. 1.1).
П
р
и
м
е
р
1.2. Найти
область
определения
функции
z =
√
y2−1.
x2−4+
p
Решение. Функция имеет смысл, когда подкоренные выражения
неотрицательны, следовательно, область определения задается двумя
неравенствами: x2−4≥0 и y2−1≥0. На плоскости Oxy им соответствует
П р и м е р
1.3. Для функции z =x2 +y областью определения,
множество D(z)={(x, y)∈R2 
 |x|≥2, |y|≥1} (рис. 1.2).
очевидно, будет вся плоскость Oxy, так как нет никаких ограничений.
Определение 1.1 функции двух переменных без затруднений рас8