Математика

МАТЕМАТИКА

Н.С. ЮХНО

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве учебника для учебных заведений, 

реализующих основную профессиональную программу среднего профессионального 
образования на базе основного общего образования (протокол № 10 от 12.10.2020)

Москва
ИНФРА-М

2022

УЧЕБНИК

УДК 51(075.32)
ББК 22.1я723
 
Ю94

Р е ц е н з е н т ы:

Боярчук Е.И., преподаватель математики высшей категории

ISBN 978-5-16-014744-4 (print)
ISBN 978-5-16-109475-4 (online)
© Юхно Н.С., 2021

Юхно Н.С.

Ю94  
Математика : учебник / Н.С. Юхно. — Москва : ИНФРА-М, 

2022. — 204 с. — (Среднее профессио нальное образование). — 
DOI 10.12737/1002604.

ISBN 978-5-16-014744-4 (print)
ISBN 978-5-16-109475-4 (online)
В учебнике представлены: теоретический материал, решенные разно
уровневые задания по темам и практические упражнения, тестовые задания, теоретические вопросы, формирующие коммуникативную компетенцию студентов при самостоятельной работе.

Соответствует требованиям федеральных государственных образова
тельных стандартов среднего профессио нального образования последнего 
поколения.

Предназначен для изучения теоретического материала и выполнения 

самостоятельной работы по математике в рамках обязательных часов, предусмотренных рабочими программами по дисциплине ПД.01 «Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия» для студентов 
специальностей 23.02.03 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта», 13.02.11 «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)».

УДК 51(075.32)

ББК 22.1я723

Предисловие

Учебник «Математика» согласован с рабочей программой в соответствии с ФГОС СПО по дисциплине ПД.01 «Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия», разработанной 
по специальностям: 23.02.03 «Техническое обслуживание и ремонт 
автомобильного транспорта», 13.02.11 «Техническая эксплуатация 
и обслуживание электрического и электромеханического оборудования».
Требования к результатам освоения учебной дисциплины:
знать
 
• значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
 
• значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; 
историю развития понятия числа, создания математического 
анализа, возникновения и развития геометрии;
 
• универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
 
• вероятностный характер различных процессов окружающего 
мира.

Алгебра
уметь
 
• выполнять арифметические действия над числами, сочетая 
устные и письменные приемы; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения;
 
• находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах;
 
• выполнять преобразования выражений, применяя формулы, 
связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;
 
• использовать приобретенные знания и умения в практической 
деятельности и повседневной жизни для практических расчетов 

по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя 
при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.

Функции и графики
уметь
 
• вычислять значение функции по заданному значению аргумента 
при различных способах задания функции;
 
• определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;
 
• строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;
 
• использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;
 
• использовать приобретенные знания и умения в практической 
деятельности и повседневной жизни для описания с помощью 
функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.

Начала математического анализа
уметь
 
• находить производные элементарных функций;
 
• использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;
 
• применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение 
наибольшего и наименьшего значения;
 
• вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;
 
• использовать приобретенные знания и умения в практической 
деятельности и повседневной жизни для решения прикладных 
задач, в том числе социально-экономических и физических, 
на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения.

Уравнения и неравенства
уметь
 
• решать рацио нальные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы;
 
• использовать графический метод решения уравнений и неравенств;

• изображать на координатной плоскости решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными;
 
• составлять и решать уравнения и неравенства, связывающие 
неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) 
задачах;
 
• использовать приобретенные знания и умения в практической 
деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей.

Комбинаторика, статистика и теория вероятностей
уметь
 
• решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, 
а также с использованием известных формул;
 
• вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;
 
• использовать приобретенные знания и умения в практической 
деятельности и повседневной жизни для анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков; 
анализа информации статистического характера.

Геометрия
уметь
 
• распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; 
соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;
 
• описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;
 
• анализировать в простейших случаях взаимное расположение 
объектов в пространстве;
 
• изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять 
чертежи по условиям задач;
 
• строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;
 
• решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
 
• использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;
 
• проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
 
• использовать приобретенные знания и умения в практической 
деятельности и повседневной жизни для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе 

и зученных формул и свойств фигур; вычисления объемов 
и площадей поверхностей пространственных тел при решении 
практических задач, используя при необходимости справочники 
и вычислительные устройства.
Освоение учебной дисциплины «Математика: алгебра, начала 
математического анализа, геометрия» обеспечивает достижение 
студентами следующих результатов:
 
• сформированность представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, идеях и методах математики;
 
• развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления 
на уровне, необходимом для будущей профессио нальной деятельности, для продолжения образования и самообразования;
 
• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественно-научных дисциплин и дисциплин профессио нального 
цикла, для получения образования в областях, не требующих 
углубленной математической подготовки;
 
• готовность и способность к самостоятельной творческой и ответственной деятельности;
 
• готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности.
В результате освоения дисциплины студенты СПО должны 
уметь:
 
• самостоятельно определять цели и составлять планы деятельности;
 
• самостоятельно осуществлять, контролировать и корректировать деятельность; использовать все возможные ресурсы для достижения поставленных целей и реализации намеченных планов;
 
• выбирать успешные стратегии в различных ситуациях;
 
• продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников 
деятельности, эффективно разрешать конфликты;
 
• ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать 
адекватные языковые средства;
 
• принимать решения, основанные на сообразительности и интуиции, развитости пространственных представлений; способности воспринимать красоту и гармонию мира.
Самостоятельная работа по естественно-научной дисциплине 
«Математика» предназначена для студентов, обучающихся по программам общего образования.

Выполнение самостоятельной работы определяется государственным образовательным стандартом среднего образования и является обязательным для каждого студента согласно действующему 
рабочему плану промышленно-экономического факультета.
Самостоятельная работа студента СПО по математике способствует достижению следующих целей:
 
• систематизация и закрепление полученных теоретических 
знаний студентов;
 
• углубление и расширение теоретических знаний;
 
• развитие познавательных способностей и активности студентов, 
самостоятельности, ответственности и организованности;
 
• формирование готовности к самообразованию, самостоятельности, способностей к саморазвитию.
Названия глав сформулированы аналогично заданиям для самостоятельной работы студентов по дисциплине «Математика». 
Главы включают теоретический материал, примеры с подробным 
решением, задания разного уровня сложности для самостоятельной 
работы.
Данный учебник предлагается также для студентов СПО заочной формы обучения в связи с аналогичностью видов самостоятельной работы.
Автор учебника надеется, что полученные основные теоретические сведения по математике, практические умения студентов 
промышленно-экономического факультета программ СПО заложат 
необходимую основу для дальнейшего саморазвития и овладения 
базовыми компетенциями.

Рекомендации по распределению времени 
на самостоятельную работу студента

Распределение времени на самостоятельную работу студента 
(СРС) осуществляется согласно программе дисциплины равномерно 
по занятиям. По рабочей учебной программе ПД.01 «Математика: 
алгебра, начала математического анализа, геометрия» на внеаудиторную самостоятельную работу студента отводится 106 ч. Распределение времени по темам дисциплины приведено в таблице.

№ 
п/п
Тема 
Вид СРС
Время, 
ч

1
Понятие 
о числе
Решение примеров на действия; выполнение вычислений с приближенными 
значениями; выполнение действий с комплексными числами; решение уравнений 
на множестве комплексных чисел

3

2
Корни, степени и логарифмы

Выучить свойства корней, свойства степени, свойства логарифма; преобразование 
и вычисление иррациональных выражений; 
преобразование и вычисление логарифмических и показательных выражений

10

3
Основы тригонометрии
Выучить основные формулы; тождественные преобразования тригонометрических выражений

9

4
Тригонометрические уравнения и неравенства

Выучить формулы для нахождения 
корней простейших тригонометрических 
уравнений; решение тригонометрических 
уравнений различными способами

9

5
Иррациональные уравнения и неравенства

Выучить методы решения иррациональных 
уравнений; решение иррациональных уравнений различными способами; выучить 
виды иррациональных неравенств; решение 
иррациональных неравенств

5

6
Показательные 
уравнения 
и неравенства

Выучить методы решения показательных 
уравнений; решение показательных уравнений различными способами; знать 
свойства и график показательной функции; 
решение показательных неравенств

5

№ 
п/п
Тема 
Вид СРС
Время, 
ч

7
Логарифмические уравнения и неравенства

Выучить методы решения логарифмических уравнений; решение логарифмических уравнений; выучить виды логарифмических неравенств; знать график 
и свойства логарифмической функции; 
решение логарифмических неравенств

5

8
Предел 
функции
Выучить определение предела, теоремы 
о пределах; вычисление пределов 
функций

6

9
Производная 
функции
Выучить определение производной, 
свойства производной; выучить таблицу 
производных от элементарных функций; 
находить производные от различных 
функций; строить графики функций 
при помощи производной

6

10
Неопределенный интеграл

Выучить определение и свойства неопределенного интеграла; выучить 
методы решения неопределенного интеграла; решение неопределенных интегралов

3

11
Определенный 
интеграл
Выучить основные понятия и свойства 
определенного интеграла; выучить методы его решения

5

12
Элементы 
комбинаторики

Выучить основные определения; решение 
комбинаторных задач
6

13
Теория вероятности
Выучить основные определения; решение 
задач на классическое определение вероятности; решение задач по теме «Числовые характеристики дискретной случайной величины»

6

14
Прямые 
и плоскости 
в пространстве

Выучить основные определения 
и теоремы; решение задач
8

15
Многогранники
Определение видов и элементов многогранников; формулы площади и объема; 
решение задач

8

Продолжение таблицы

№ 
п/п
Тема 
Вид СРС
Время, 
ч

16
Тела вращения Определение видов и элементов тел вращения; выучить формулы нахождения 
площадей и объема; решение задач

6

17
Векторы 
в пространстве
Выучить определения; действия над векторами; решение задач
6

Самостоятельные работы выполняются в свободное от занятий 
время. Перед выполнением работы студенту СПО необходимо повторить теоретический материал, пройденный на аудиторных занятиях; выполнить работу согласно заданию; ответить на вопросы.
При выполнении самостоятельных работ студент вправе выбрать метод решения, который считает более рацио нальным. Если 
у студента возникают какие-либо вопросы, он может обратиться 
за консультацией к преподавателю.

Окончание таблицы

Глава 1. 

ПОНЯТИЕ О ЧИСЛЕ

1.1. МНОЖЕСТВА ЧИСЕЛ

Первоначально под числом понимали лишь натуральные числа, 
которых достаточно для счета предметов.
Утверждение. Множество 
{
}
1; 2; 3...
N =
 натуральных чисел 
замкнуто относительно операций сложения и умножения. Это 
значит, что сложение и произведение натуральных чисел являются 
натуральными числами.
Утверждение. Разность натуральных чисел не всегда является 
натуральным числом.
Пример 1. 5
5
0, 5
7
2
−
=
−
= − .
Для того чтобы сделать выполнимой операцию вычитания, 
вводят отрицательные целые числа, т.е. числа, противоположные 
натуральным. Таким образом получают множество целых чисел 
{
}
...;–3;–2;–1; 0;1; 2;...
Z =
.
Утверждение. Частное двух целых чисел не всегда является 
целым числом.

Определение. Числа вида m
n , где m — целое и n — натуральное, 

называются рацио нальными.
Утверждение. При выполнении четырех арифметических 
действий над рацио нальными числами всегда получаются рациональные числа.
Утверждение. Каждое рацио нальное число можно представить 
в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Определение. Периодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, у которой, начиная с некоторого десятичного знака, 
повторяется одна и та же цифра или несколько цифр — период дроби.
Например, 0,3333...
0,(3),1,057373...
1,05(73)
=
=
.
Утверждение. Каждая бесконечная периодическая дробь является рацио нальным числом, так как может быть представлена 

в виде m
n , где m — это целое число, n — натуральное число.

Пример 2. Записать бесконечную периодическую дробь 2,3(82)
−
 
в виде обыкновенной дроби.
Решение
Распишем период дроби: 
2,3(82)
2,38282...
x = −
= −