Теория игр и ее экономические приложения

ТЕОРИЯ ИГР 
И ЕЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ 
ПРИЛОЖЕНИЯ

А.В. СИГАЛ

Москва
ИНФРА-М
2022

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано Учебно-методическим советом ВО в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению подготовки 38.03.05 «Бизнес-информатика»
(квалификация (степень) «бакалавр»)

УДК [519.83+33](075.8)
ББК 22.18:65я73
 
С34

Сигал А.В.
С34 
 
Теория игр и ее экономические приложения : учебное пособие / 
А.В. Сигал. — Москва : ИНФРА-М, 2022. — 418 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/textbook_5b4462825d3c38.99437329.

ISBN 978-5-16-017115-9 (print)
ISBN 978-5-16-106634-8 (online)
В учебном пособии изложены основные разделы теории игр, основные 
понятия теории экономических рисков и концептуальные основы моделирования процесса принятия управленческих решений в экономике на основе комбинированного применения статистических и антагонистических 
игр. 
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Предназначено для бакалавров и магистрантов, обучающихся по направлению подготовки «Бизнес-информатика». Будет полезно студентам 
и аспирантам, обучающимся по укрупненным группам направлений подготовки «Экономика и управление», «Математика и механика», «Управление в технических системах», а также научно-педагогическим работникам, 
специализирующимся в области применения теории игр, риск-менеджерам, управленцам и экономистам-практикам.

УДК [519.83+33](075.8)
ББК 22.18:65я73

Р е ц е н з е н т ы:
Жуковский В.И., доктор физико-математических наук, профессор, 
заслуженный деятель науки РФ, профессор кафедры оптимального 
управления факультета вычислительной математики и кибернетики 
Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова;
Лившиц В.Н., доктор экономических наук, профессор, заслуженный деятель науки и техники РСФСР, заведующий лабораторией 
«Системный анализ эффективности естественных монополий» Института системного анализа Федерального исследовательского центра 
«Информатика и управление» Российской академии наук (г. Москва)

ISBN 978-5-16-017115-9 (print)
ISBN 978-5-16-106634-8 (online)
© Сигал А.В., 2019

Основные сокращения и обозначения

АИ
— антагонистическая игра;

БКИ
— бюро кредитных историй;

ДЕ
— денежная единица;

ДСВ
— дискретная случайная величина;

ДЭ
— детерминированный эквивалент;

ЗЛП
— задача линейного программирования;

ИС
— информационная ситуация;

КАИ
— классическая антагонистическая игра;

ЛПР
— лицо, принимающее решения;

МНК
— метод наименьших квадратов;

МОКА
— модель оценки капитальных активов;

НАИ
— неоклассическая антагонистическая игра;

НСВ
— непрерывная случайная величина;

ОВ
— ожидаемый выигрыш;

ОВЗ
— область возможных значений;

ПР
— премия за риск;

СВ
— случайная величина;

СКО
— среднеквадратичное отклонение;

СС
— страховая сумма;

СТП
— современная теория портфеля;

УЕ
— условная единица;

ЭР
— экономический риск;

( )
( )
2
D X
X
= σ
— дисперсия (вариация) СВ X;

{
}
1 2
; ;...; ;...;
i
k
=
I
— множество чистых стратегий первого игрока;

(i; j)
— ситуация в чистых стратегиях в партии АИ;

(i*; j*)
— ситуация равновесия в АИ в чистых стратегиях;

{
}
1 1
1
1
; ;...; ;...;
n =
J
— n-мерный вектор, все компоненты которого 
равны 1;

{
}
1 2
; ;...; ;...;
j
n
=
J
— множество чистых стратегий второго игрока;

( )
l
H S
— функция выигрыша игрока l;

{
}
1 2
; ;...; ;...;
l
L
=
L
— множество всех игроков;

( )
M
m
X
=
— математическое ожидание СВ X;

(
)
1;...;
k
p
p
=
p
— стратегия первого игрока;

(
)
1 ;...;
k
p
p
∗
∗
∗
=
p
— оптимальная стратегия первого игрока;

(
)
;
∗
∗
p q
— ситуация равновесия в АИ;

ip, 
jq
— вероятность применения игроками чистых 
стратегий;

(
)
1;...;
n
q
q
=
q
— стратегия второго игрока;

(
)
1 ;...;
n
q
q
∗
∗
∗
=
q
— оптимальная стратегия второго игрока;

( )
k n
i jr
×
=
=
R
R
— платежная матрица;

i jr
— выигрыш первого игрока в ситуации (i; j);

iR
— СВ, характеризующая норму прибыли актива i;

Rx
— СВ, характеризующая норму прибыли портфеля 
x;

R∗
x
— СВ, характеризующая норму прибыли портфеля 
x*;

(
)
1;...; L
s
s
=
S
— ситуация в игре L игроков;

(
)
1 ;...; L
s
s
∗
∗
∗
=
S
— ситуация равновесия в игре L игроков;

lS
— множество всех стратегий игрока l;

ls
— произвольная стратегия игрока l ( l
l
s ∈ S);

l
∗
S
— множество всех оптимальных стратегий игрока 
l;

ls∗
— произвольная оптимальная стратегия игрока 
l ( l
l
s∗
∗
∈ S );

{
}
supp
0
i
i p
=
>
p
— спектр стратегии p первого игрока;

{
}
supp
0
j
j q
=
>
q
— спектр стратегии q второго игрока;

lv
— выигрыш игрока l в отдельно взятой партии 
игры;

(
)
T
;
V
=
⋅
⋅
p q
p R q
— платежная функция АИ;

l
V
— ожидаемый (средний) выигрыш игрока l,
если он применил свою стратегию sl;

I
1

k

j
i j
i
i
V
r
p

=
=
⋅
∑

— ожидаемые выигрыши первого игрока;

II
1

n

i
i j
j
j
V
r
q

=
=
⋅
∑

— ожидаемые проигрыши второго игрока;

V ∗
R
— значение (цена) игры;

(
)
1;...;
;...;
i
k
x
x
x
=
x
— портфель инвестора;

(
)
1 ;...;
;...;
i
k
x
x
x
∗
∗
∗
∗
=
x
— портфель, обладающий наименьшим уровнем 
риска;

ix
— доля актива i-го вида в портфеле инвестора;

lX
— СВ, характеризующая выигрыш игрока l,
если он применил свою стратегию sl;

maxmin i j
j
i
r
α =
— нижняя чистая цена игры (максимин) АИ

, ,
Γ
=
R
R
I J
;

minmax i j
j
i
r
β =
— верхняя чистая цена игры (минимакс) АИ

, ,
Γ
=
R
R
I J
;

, ,
Γ
=
R
R
I J
— антагонистическая игра (АИ);

1
2
,
,V
Γ
=
R



S S
— смешанное расширение АИ 
, ,
Γ
=
R
R
I J
;

( )
D X
σ =
— СКО СВ X.

Предисловие

Данное учебное пособие предназначено прежде всего для магистров всех форм обучения, обучающихся по направлению подготовки «Бизнес-информатика» и изучающих дисциплину «Экономические приложения теории игр». Оно будет полезно не только 
магистрам, которые обучаются по направлению подготовки 
«Бизнес-информатика», но и бакалаврам, магистрам и аспирантам, 
обучающимся по укрупненной группе направлений подготовки 
«Экономика и управление», научно-педагогическим работникам, 
специализирующимся в области применения теории игр в экономике, а также риск-менеджерам, управленцам и экономистампрак тикам.
Ряд особенностей, которыми обладает учебное пособие, позволяет существенно расширить круг его читателей. Во-первых, 
с целью облегчения понимания всех аспектов применения теории 
игр в экономике и большего охвата теоретического материала приведены основные разделы теории игр, особенно разделы, связанные 
с классами игр, наиболее широко применяемыми в экономической 
теории и практике. Во-вторых, с целью системности и систематичности изложения материала приведены элементы теории экономического риска, наиболее существенные для приложений теории игр 
в экономике и управлении. В-третьих, в учебном пособии особое 
внимание уделено подходу к моделированию процесса принятия 
управленческих решений в экономике, основанному на комбинированном применении статистических и антагонистических игр.
В основе большинства предлагаемых в учебном пособии экономических приложений теории игр лежит использование авторской 
концепции применения антагонистических игр в экономических 
исследованиях: концепции моделирования процесса принятия 
управленческих решений в экономике на основе комбинированного применения статистических и антагонистических игр. Особое 
внимание уделяется принятию управленческих решений с учетом 
конфликтности, неопределенности, случайности, неполноты информации и обусловленного ими экономического риска, а также 
вопросам корректности применения в экономике антагонистических игр.
Абрахам Вальд, создатель последовательного статистического 
анализа, считал, что основной моделью принятия решений является статистическая игра. Следуя за А. Вальдом, Д. Блекуэлл 

и М.А. Гиршик в монографии «Теория игр и статистических решений» излагают и используют теорию игр как основу для теории 
принятия статистических решений, т.е. теории статистических игр. 
Антагонистические игры и статистические игры имеют одну и ту же 
формальную структуру. Это совпадение формальных структур 
и дает теоретическую и практическую возможность комбинированно применять статистические и антагонистические игры.
Как отмечалось выше, в учебном пособии предлагается подход 
к моделированию процесса принятия управленческих решений 
в экономике, который по своей сути является комбинированным 
применением статистических и антагонистических игр. Основными чертами, которые отличают предлагаемый подход от других 
подходов, применяемых для теоретико-игрового моделирования 
экономики, являются следующие. Во-первых, предлагаемые модели нацелены на принятие оптимальных решений, адекватно 
учитывающих конфликтность, неопределенность, случайность, 
неполноту информации и обусловленный ими экономический 
риск. Во-вторых, рассматривается применение антагонистических 
игр совместно с теорией вероятностей, математической статистикой, теорией случайных процессов, эконометрией, нечеткой 
математикой, энтропийным подходом, конкретной математикой 
и другими разделами математики. В-третьих, предлагается использование антагонистических игр и в тех случаях, когда они не являются непосредственной моделью рассматриваемого процесса принятия управленческих решений.
Моделирование принятия управленческих решений в экономике нуждается в учете ряда особенностей как самой экономики, 
так и процесса принятия управленческих решений в экономике. 
Экономика представляет собой динамическую, слабо структурированную сложную систему, которая состоит из многих элементов, 
в том числе из большого количества хозяйствующих единиц, которые находятся в довольно тесном, непрерывном взаимодействии. 
Всем социально-экономическим системам присущи такие особенности, как хаотичность, непредсказуемость и случайность. Одним 
словом, для них характерна неопределенность.
Кроме того, любой экономической деятельности внутренне 
присуща конфликтность. В экономической деятельности нередко 
возникают недоразумения, противоречия, напряженные отношения, конфликты интересов как внутри экономических систем 
(в частности, внутри трудовых коллективов), так и между партнерами, контрагентами, конкурентами. Множественность целей 
и многокритериальность также влекут и неопределенность, и кон

фликтность. Наконец, несовпадение интересов участников социально-экономических явлений — еще один фактор возникновения 
конфликтности.
Неопределенность — это недостаточность обеспеченности процесса принятия управленческих решений необходимой информацией или, в более общей трактовке, знаниями о проблемной 
ситуации. Неопределенность влияет на эффективность экономической деятельности. Фундаментальная неопределенность экономической деятельности — это неопределенность ее результатов. Неполное, недостоверное, неточное знание разнообразных параметров 
порождается разными причинами, прежде всего — неполной и недостоверной информацией об условиях реализации решений, о связанных с этими решениями возможных выгодах и затратах, наличием множественности целей и многокритериальности их оценки. 
Подчеркнем, что в экономике приходится иметь дело с существованием некоторой неопределенности, которую невозможно устранить, и с неполнотой информации, которую невозможно преодолеть 
за приемлемую плату, а порой и абсолютно невозможно преодолеть 
в принципе. Приведенное замечание о невозможности устранения 
неопределенности бесспорно справедливо для условий, которые 
сложатся для рассматриваемых экономических ситуаций в будущем.
Причины неопределенности в экономике разнообразны. В частности, к неопределенности приводят такие особенности, как случайность, неполнота информации, наличие динамических изменений внутренних и внешних условий развития экономических 
объектов, случайность и принципиальная недетерминированность 
многих процессов, которые протекают в социально-экономических 
системах, наличие ошибок в прогнозировании и отклонений 
во время анализа сложных систем, вероятностный и (или) нечеткий 
характер экономических параметров (например, темпа инфляции, 
уровня спроса, уровня предложения, уровня запасов полезных ископаемых, урожайности сельскохозяйственных культур, погодных 
условий).
Понятие вероятности не тождественно неопределенности, поэтому при постановке и решении задач принятия управленческих 
решений в экономике необходимо стремиться учесть и неопределенность, и случайность. Если поведение тех или иных участников 
носит недетерминированный, стохастический характер, то моделирование поведения субъекта принятия решений, его тактики 
и стратегии существенным образом усложняется.
Итак, в экономике приходится осуществлять выбор наилучших 
альтернатив и принимать управленческие решения в условиях 

конфликтности, неопределенности, случайности, неполноты информации и обусловленного ими экономического риска. Согласно 
определению В.В. Витлинского, экономический риск — это экономическая категория, отображающая характерные особенности восприятия лицом, принимающим решения, конфликтности, неопределенности, случайности, неполноты информации, объективно 
существующих и внутренне присущих процессам определения 
целей, управлению, оцениванию альтернативных вариантов действий и принятию решений. Все эти процессы отягощены возможными опасностями и неиспользованными возможностями. Экономический риск имеет диалектическую объективно-субъективную 
природу. Количественная оценка уровня экономического риска 
является многомерной величиной, характеризующей возможность 
отклонения от целей, от желательного (ожидаемого) результата, 
возможность неудачи, в том числе возможность возникновения 
потерь. При этом важно учитывать влияние контролируемых 
(управляемых) и неконтролируемых (неуправляемых) факторов, 
прямых и обратных связей. Приведенное определение экономического риска, являющегося характерным феноменом рыночной 
экономики, основывается на системном подходе к этой экономической категории, указывает на необходимость тщательного анализа влияния на объекты (процессы) оценивания и управления 
множества внутренних и внешних факторов, а также на необходимость учета отношения к риску субъектов хозяйствования (субъектов риска).
Перечисленные особенности социально-экономических систем 
и требование адекватности математических моделей заставляют 
разработать такой теоретико-игровой подход к моделированию 
процесса принятия управленческих решений в экономике, который бы, с одной стороны, давал возможность в достаточной мере 
учитывать конфликтность, неопределенность, случайность, неполноту информации и обусловленный ими экономический риск, 
а с другой — характеризовался бы научной корректностью и практической реализуемостью.
Следует отметить, что в основной части учебного пособия антагонистическими играми называются конечные игры двух лиц с нулевой суммой. При этом различаются два принципиально разных 
класса антагонистических игр. Первый класс образуют классические антагонистические игры, представляющие собой антагонистические игры с полной информацией. Второй класс образуют 
неоклассические антагонистические игры, представляющие собой 
антагонистические игры с неполной информацией.

Классические антагонистические игры принято называть матричными играми, поскольку любую такую игру однозначно задает 
ее полностью известная платежная матрица (матрица выигрышей 
первого игрока). Неоклассическая антагонистическая игра является 
простейшим обобщением классической антагонистической игры. 
Главная особенность неоклассической антагонистической игры 
состоит в том, что ее платежная матрица известна частично, т.е. 
не для всех элементов этой матрицы известны их точные истинные 
значения.
С целью расширения сферы применения антагонистических 
игр для неоклассических антагонистических игр в учебном пособии приводится упрощенная концепция их решения, основанная 
на классификации информационных ситуаций неполноты информации относительно истинных значений элементов платежной 
матрицы, значения которых неизвестны. Эта классификация информационных ситуаций в значительной мере повторяет классификацию информационных ситуаций неполноты информации 
относительно стратегии поведения экономической среды, предложенную в 1981 г. Р.И. Трухаевым в монографии «Модели принятия решений в условиях неопределенности». Классификация 
информационных ситуаций неполноты информации относительно 
истинных значений элементов и позволяет применять теорию антагонистических игр для принятия управленческих решений с учетом 
конфликтности, неопределенности, случайности, неполноты информации и обусловленного ими экономического риска.
Комбинированное применение статистических и антагонистических игр, которое лежит в основе предлагаемой концепции, 
характеризуется теоретической и вычислительной простотой. 
Благодаря преимуществам теории антагонистических игр эта методика легко может быть реализована (для задач большой размерности на компьютере) в экономической практике. Комбинированное применение антагонистических и статистических игр, даже 
в случае применения конечных игр, существенно расширяет сферу 
применения теоретико-игрового моделирования процессов принятия управленческих решений в экономике. Комбинированное 
применение антагонистических и статистических игр совместно 
с теорией вероятностей, математической статистикой, теорией 
случайных процессов, эконометрией, нечеткой математикой, энтропийным подходом, экспертными процедурами, конкретной 
математикой и другими разделами математики позволяет успешно 
решать задачи принятия управленческих решений с учетом неопределенности, неполноты информации, конфликтности и порожден