Общая физика: сборник задач

ОБЩАЯ ФИЗИКА

СБОРНИК ЗАДАЧ

С.В. ПАВЛОВ
Л.А. СКИПЕТРОВА

Под редакцией кандидата физико-математических наук, 
доцента физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова 
С.В. Павлова

Москва
ИНФРА-М
2021

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано Учебно-методическим советом ВО в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлениям подготовки 05.03.01 «Геология», 05.03.02 «География»,
05.03.06 «Экология и природопользование», 06.03.02 «Почвоведение»
(квалификация (степень) «бакалавр»)

УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73
 
П12

Павлов С.В.
П12  
Общая физика: сборник задач : учебное пособие / С.В. Павлов, 
Л.А. Скипетрова ; под ред. С.В. Павлова. — Москва : ИНФРА-М, 
2021. — 319 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/
textbook_5ad4b0fd3ee963.26468696.

ISBN 978-5-16-013262-4 (print)
ISBN 978-5-16-105995-1 (online)
Сборник задач предназначен для студентов естественно-научных специальностей университетов, для которых физика не является профилирующей дисциплиной. Задачник охватывает следующие разделы общей 
физики: механику, молекулярную физику и термодинамику, электромагнетизм и оптику. Каждому разделу предшествует краткое теоретическое 
введение, по каждой теме вначале предложены простые качественные задачи, далее следуют задачи с решениями, затем задачи для самостоятельной работы. В конце сборника приведены ответы ко всем задачам. 
Задачник соответствует требованиям Федерального государственного 
образовательного стандарта высшего образования последнего поколения.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «Экология и природопользование», «Почвоведение», «Геология», 
«География». Может быть полезен для студентов технических специальностей вузов.

УДК 53(075.8)
ББК 22.3я73

А в т о р ы:
С.В. Павлов, кандидат физико-математических наук, доцент физического факультета Московского государственного университета 
имени М.В. Ломоносова (разделы «Молекулярная физика и термодинамика», «Электричество и магнетизм» и «Оптика»);
Л.А. Скипетрова, кандидат физико-математических наук, доцент 
физического факультета Московского государственного университета 
имени М.В. Ломоносова (раздел «Механика»)

ISBN 978-5-16-013262-4 (print)
ISBN 978-5-16-105995-1 (online)
© Павлов С.В., Скипетрова Л.А., 
2018

Предисловие

Данный сборник задач по физике предназначен для студентов 
естественно-научных специальностей университетов, для которых физика не является профилирующей дисциплиной. Рекомендованная Министерством образования и науки РФ примерная 
программа дисциплины «Физика» для студентов биологических, 
геологических, географических факультетов и факультетов почвоведения, а также экологов охватывает последовательно изучаемые 
разделы физики: классическую механику, молекулярную физику 
и термодинамику, электромагнетизм, геометрическую, волновую 
и квантовую оптику. Этот материал изучается, как правило, в течение двух семестров, один из которых (весенний) укорочен в связи 
с производственной практикой студентов. Поэтому на семинарские занятия отводится 32 часа (16 занятий) в осенний семестр и 16 
часов (8 занятий) в весенний семестр. Таким образом, на 22 темы 
семинаров приходится 24 занятия; поэтому каждая тема может быть 
рассмотрена не более чем на одном семинаре, и существенное значение приобретает самостоятельная работа студентов, в частности, 
на контрольные работы отводится, как правило, время внеаудиторных занятий.
Цель семинарских занятий — углубление и закрепление лекционного материала, практические занятия ставят целью научить студента решению типовых задач. Студенты должны освоить основные 
понятия физики, применение фундаментальных физических законов для качественного и количественного описания различных 
конкретных ситуаций. Лишь в ряде случаев задачи требуют применения высшей математики в рамках дифференциального и интегрального исчислений.
Задачник включает четыре раздела: механику, молекулярную 
физику и термодинамику, электричество и магнетизм и оптику. 
Каждый раздел разбит на темы, в которых приведены краткое теоретическое введение, простые качественные задачи, не требующие 
для решения математических выкладок, типовые задачи с решениями и задачи для самостоятельной работы. Ответы к задачам 
приведены в конце сборника.
Мы полагаем, что уже имеющиеся пособия подобного рода, 
предназначенные, в основном, для специальностей с физической 
и технической ориентацией, не соответствуют в полной мере программе изучения физики на факультетах естественно-научного 

профиля в классических университетах. Цель авторов данного издания — создание учебного пособия, соответствующего реальной 
программе по физике для всех естественно-научных факультетов, 
достаточно глубокое освоение которой будет являться основой для 
изучения последующих специальных курсов — биофизики, геофизики, физики почв и т.д.
В результате освоения материала, содержащегося в сборнике, 
студент должен:
знать место и роль физики в системе научного знания; основные физические понятия и законы физики; физические величины и единицы их измерения, основные принципы и методы решения задач общей физики;
уметь применять эти методы для решения задач общей физики, 
делать простейшие оценки и расчеты для анализа физических явлений, применять физику в своей будущей профессиональной деятельности;
владеть приемами и методами решения типовых задач из основных разделов общей физики, физическими методами при решении профессиональных проблем.
Задачник может быть использован для реализации индивидуальных учебных планов, организации самостоятельной работы студентов, при проведении контрольных работ и коллоквиумов.
Раздел «Механика» написан Л.А. Скипетровой, «Молекулярная 
физика и термодинамика», «Электричество и магнетизм» и «Оптика» — С.В. Павловым.

Раздел 1
МЕХАНИКА

Тема 1.1
КИНЕМАТИКА 
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Кинематика описывает движения тел (материальных точек) независимо от вызвавшей их причины. Основной прием описания 
движения материальной точки состоит во введении зависящего 
от времени радиус-вектора r(t), т.е. вектора, проведенного из начала координат в данную точку. Перемещение 
r
Δточки есть 
вектор, проведенный из ее начального положения в конечное 
и равный приращению радиус-вектора данной точки. Скорость 
определяется как производная от радиус-вектора движущейся 
точки по времени: 
d
d
v
r
t
=
/
. Ускорение находится из соотношения 
2
2
d
d
d
d
a
v
t
r
t
=
=
/
/
. В случае равномерного движения 
(v= const) выполняется соотношение r
v t
Δ
=
Δ
. Формулы движения 
с постоянным ускорением имеют вид:

 
0
v
v
at
=
+ , 
(1.1.1)

 

2

0
2
at
r
v t
Δ
=
+
, 
(1.1.2)

где 0v— начальная скорость.
В криволинейном движении точки полное ускорение aесть векторная сумма тангенциального aτ
и нормального naускорений. Модуль полного ускорения равен при этом

 
2
2
n
a
a
a
τ
=
+
, 
 (1.1.3)

 

2

n
v
a
n
R
=
, 
(1.1.4)

 
d
d
v
v
a
t
v
τ =
τ τ =
,
, 
(1.1.5)

где R — радиус кривизны траектории в данной точке; v— скорость 
точки; n— единичный вектор, направленный перпендикулярно 
к скорости.
Если материальная точка движется в одном измерении, то достаточно задать скалярную, зависящую от времени координату 
x(t). По известной зависимости x(t) легко найти значения скорости 
vx = dx / dt и ускорения ax = dvx / dt = d2x / dt2. В соответствии со 
своими определениями величины x(t), vх(t) и aх(t) связаны математически следующими соотношениями:

 
0
0
d
x
x
x
v t
t

τ
τ =
+ ∫
( )
( )
, 
(1.1.6)

 
0
0
d
x
v
v
a t
t

τ
τ =
+ ∫
( )
( )
, 
(1.1.7)

где x0 и v0 — начальные координата и скорость; τ — время.
В случае прямолинейного равнопеременного движения (движения с постоянным ускорением) формулы (1.1.1), (1.1.2) записываются в виде

 
v = ± v0 ± at, 
(1.1.8)

 
x = ± x ± v0t ± 

2

2
at . 
(1.1.9)

Перед x0, v0 и a знак «плюс» берется, когда начальная скорость 
v0, координата x0 и ускорение a направлены вдоль оси Х, а знак 
«минус» — если их направление противоположно оси.

КАЧЕСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ

1.1.1. На рис. 1.1 представлены графики изменения координат 
трех тел, движущихся прямолинейно. Написать законы движения 
каждого из тел и определить, какое тело имело бо́льшую скорость.
1.1.2. Зависит ли форма траектории от выбора системы отсчета? 
Свой ответ проиллюстрируйте примерами.
1.1.3. Велосипедист движется со скоростью 10 м/с. Его обгоняет 
мотоциклист, движущийся со скоростью 54 км/ч. Какова скорость 
мотоциклиста относительно велосипедиста?
1.1.4. Две материальные точки движутся со скоростями v1 = 
= 4 м/с и v2 = 3 м/с, направленными под прямым углом друг к другу. 
С какой скоростью удаляются материальные точки друг от друга? 
Насколько переместится первая точка в системе координат, связанной со второй точкой, за время τ = 10 с?

8

4

0

–4

2
4
6
8

I
II

III

x, м

t, c

Рис. 1.1

1.1.5. Какие из приведенных зависимостей описывают равномерное движение:
а) s = 2t + 3; б) s = 5t2; в) s = 3t; г) v = 4 − t; д) v = 7, где s — путь; 
v — скорость; t — время1?
1.1.6. Три тела брошены так: первое — вниз без начальной 
скорости, второе — вниз с начальной скоростью, третье — вертикально вверх. Тела движутся в поле сил тяжести. Что можно 
сказать об ускорениях этих тел? Сопротивление воздуха не учитывать.
1.1.7. Из окна железнодорожного вагона свободно падает тело. 
Будут ли равны между собой времена падения тела, вычисленные 
для случаев: а) вагон неподвижен; б) вагон движется с постоянной 
скоростью v; в) вагон движется с постоянным ускорением a?
1.1.8. Какие из приведенных зависимостей описывают равнопеременное движение:
а) v = 3 + 2t; б) s = 3 + 2t; в) s = 5t2; г) s = 4t − t2; д) s = 2 − 3t + 4t2, 
где s — путь; v — скорость; t — время?
1.1.9. Зависимость скорости движущегося тела от времени 
v = 5 + 4t. Какова зависимость от времени пройденного пути s(t)?

1 
В подобных записях, если нет других указаний, числовым и буквенным 
коэффициентам следует приписывать такие размерности, чтобы при подстановке времени в секундах значения координаты, пройденного пути, перемещения получались в метрах, значение скорости — в метрах в секунду 
и т.д.

1.1.10. Материальная точка движется вдоль оси х. На рис. 1.2 
приведена зависимость проекции ускорения ax на ось x от времени t. В какой момент времени скорость vx достигает наибольшего 
значения? Начальная скорость движения равна нулю.

0
2τ
3τ
4τ
τ
t, с

ax, м/с2

Рис. 1.2

1.1.11. Каковы направления нормального 
naи тангенциального 

aτ
ускорений относительно траектории, чем определяются их абсолютные значения, какова их роль в изменении скорости?
1.1.12. Определить, во сколько раз численное значение нормального ускорения точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, 
больше ее тангенциального ускорения для того момента, когда 
вектор полного ускорения составляет угол α = 30° с вектором ее линейной скорости?
1.1.13. Оказалось, что график зависимости скорости тела от времени имеет вид полуокружности. Максимальная скорость тела vmax, 
время движения τ. Определить путь, пройденный телом.
1.1.14. Модуль скорости v частицы меняется со временем по закону v = kt + b, где k и b — положительные постоянные. Модуль 
ускорения равен a = 3k. Найдите значения тангенциального и нормального ускорений, а также зависимость радиуса кривизны траектории от времени R(t).
1.1.15. Зависимость радиус-вектора частицы от времени имеет 
вид 
2
r
kti
bt j
=
−
, где i

,  j
— единичные орты вдоль осей x и y; 
k и b — положительные постоянные. Определите: а) уравнение траектории; б) скорость vи ускорение aчастицы.
1.1.16. Даны уравнения движения точки: x = 8 − t2; y = t2 − cost. 
Определите проекцию ускорения ау в момент времени, когда координата х = 0.
1.1.17. Даны графики ускорений 
na(t) и aτ
(t) (рис. 1.3). Определите tgϕ, где ϕ — угол, который образует полное ускорение с направлением скорости в момент времени t = 2 с.

0
t, с

a, м/с2
an
aτ

2

2

Рис. 1.3

1.1.18. Тело брошено вертикально вверх. Во сколько раз нужно 
изменить скорость тела в момент бросания, чтобы максимальная 
высота подъема изменилась в k раз? Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.1.19. Какую скорость набирает тело в конце первой минуты 
свободного падения? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения равно g.
1.1.20. Под каким углом к горизонту следует бросить тело, чтобы 
максимальная высота подъема равнялась 1/4 дальности его полета? 
Сопротивлением воздуха пренебречь.

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
1.1.21. Материальная точка движется в плоскости согласно уравнениям x = A1 + B1t + C1t2 и y = A2 + B2t + C2t2, где B1 = 7 м/c, C1 = 
= −2 м/с2, B2= −1 м/с, С2 = 0,2 м/с2.
Найти модули скорости v и ускорения a точки в момент времени 
t = 5 с.
Решение. Рассмотрим два независимых движения вдоль оси х 

и вдоль оси у. Используя формулы vx = d
d
x
t , vy = d
d
y
t , получаем vx = B1 + 

+ 2C1t, vy = B2 + 2C2t. Так как векторы vx и vy взаимно перпендикулярны, модуль скорости v определяется по теореме Пифагора:

 
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
x
y
v
v
v
B
C t
B
C t
=
+
=
+
+
+
(
)
(
)  ≈ 13 м/с.

Составляющие ax и ay ускорения точки найдем по формулам ax =

= 

2

2
d
d
x
t , ay = 

2

2
d
d
y
t , ax = 2C1, ay = 2C2. Соответственно модуль ускорения 

определяется выражением

 
2
2
2
2
1
2
2
x
y
a
a
a
C
C
=
+
=
+
≈ 4 м/с2.

Ответ: v≈ 13 м/с; a≈ 4 м/с2.

1.1.22. Человек в лодке переплывает реку, отправляясь из точки А 
(рис. 1.4). Если он будет держать курс перпендикулярно берегам, то 
через t⊥ = 10 мин после отправления попадет в точку С, лежащую 
на расстоянии s = 120 м ниже точки В по течению реки. Если он 
будет держать курс под некоторым углом α к прямой АВ против течения, то через tα = 12,5 мин попадет в точку В.
Определить ширину реки L, скорость лодки относительно 
воды v, угол α, под которым плыл лодочник во втором случае, скорость течения реки u.

y
B
C

u

x
0

A

L

α

vРис. 1.4

Решение. Делаем схематический чертеж и вводим обозначения: 
L — ширина реки; u — скорость течения реки; v — скорость 
лодки относительно воды. Выбираем систему координат хОу 
и рассматриваем движение лодки по х и у.
Лодочник держит курс перпендикулярно берегам:

 
x = ut⊥ = s;

 
y = vt⊥ = L.

Лодочник держит курс под углом α к АВ:

 
vх = u − vsinα,

 
x = (u − vsinα)tα;

 
vу = vcosα,

 
y = vcosα · tα.