Математика (основы математического анализа)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ  
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
НАУЧНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ  
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Д.Д. Даммер  
 
Математика  
(основы математического анализа) 
 
 
Учебное пособие  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательский Дом Томского государственного университета 
2017 

УДК 517 (075.8) 
         Д16 
 
 
Даммер Д.Д.  
Д16 
Математика (основы математического анализа) :  
учеб. пособие. – Томск : Издательский Дом Томского  
государственного университета, 2017. – 108 с. 
 
В данное учебное пособие вошли основные разделы математического 
анализа, изучаемые студентами различных факультетов: теория пределов, 
непрерывные функции, производная и ее применение, интегралы. В каждом разделе приводятся необходимые теоретические сведения, подробно 
разбираются основные методы решения задач по соответствующей теме. 
В конце каждого параграфа даны задачи для самостоятельного решения.  
Для студентов факультета психологии, а также может быть полезным 
для студентов любых  специальностей. 
 
УДК 517 (075.8) 
 
 
 
Рецензенты: 
М.Е. Завгородняя, канд. техн. наук, доцент 
С.В. Рожкова, д-р физ.-мат. наук, профессор 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Даммер Д.Д., 2017 
© Томский государственный университет, 2017 

Оглавление

Глава 1. Теория пределов……………………………....….
1.1. Последовательность. Предел последовательности….
Определения……………………………………….…………
Свойства сходящихся последовательностей…………….…
1.2.Вычисление пределов последовательностей….…....…
Задачи для самостоятельного решения…………….....…
1.3.Функция. Предел функции……………………….…..…
Определение функции. Способы задания…………...…..…
Предел функции…………………………………….……..…
1.4.Вычисление пределов функций…………………..…..…

Раскрытие неопределенностей  


,
0
0
……………..…..…..…

Раскрытие неопределенностей  





0
,
…………………

Раскрытие степенных неопределенностей 

1 , 
0
0 , 
0
 …

Задачи для самостоятельного решения………..…..….…

Глава 2. Непрерывность функции………………………..
2.1. Определение непрерывности функции……….….….…
Свойства непрерывных функций……………………………
2.2. Типы разрывов………………………………….….……
2.3. Сложная функция………………………………….……
2.4. Обратная функция…………………………….…………
Задачи для самостоятельного решения…………………

Глава 3. Производная. Применение производной……..
3.1. Определение производной………………..……….……
3.2. Правила дифференцирования……….………….………
Таблица производных……………..…………………………
Особые случаи производных…………………………….….
Дифференцирование сложной и обратной функций……....
Дифференцирование степенно-показательной функции….
Задачи для самостоятельного решения………………….

5
5
5
7
7
10
11
11
13
15

17

19

20
23

24
24
25
26
32
33
34

35
35
38
38
39
42
43
45

3.3. Правило Лопиталя……………………………..….……..
Задачи для самостоятельного решения……….…………
3.4. Исследование функции и построение графика.…….…
План исследования функции ……………………….………
Область определения и множество значений. Свойства 
функции…………………………………………………….…
Асимптоты……………………………………………………
Участки возрастания и убывания, экстремумы функции…
Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба……...
Задачи для самостоятельного решения………………….

Глава 4. Интегральное исчисление………………………
4.1. Первообразная. Неопределенный интеграл…………...
Определения………………………………………………….
Свойства неопределенного интеграла……………………...
Таблица простейших неопределенных интегралов….…….
Методы вычисления неопределенных интегралов….……..
Задачи для самостоятельного решения………………….
4.2. Определенный интеграл………………………….……..
Понятие определенного интеграла………………….………
Свойства определенного интеграла………………………...
Вычисление определенного интеграла……………….…….
Задачи для самостоятельного решения………………….
4.3. Несобственные интегралы……………………….……..
Несобственные интегралы 1-го рода………………….……
Несобственные интегралы 2-го рода………………….……
Задачи для самостоятельного решения……………..…...

Приложение 1.
Некоторые элементарные функции и их графики….…...…

Приложение 2.
Таблица Брадиса……………………………………….…….

Литература……………………………………………………

46
54
54
55

55
56
58
60
77

78
78
78
79
80
83
90
91
91
93
93
97
97
98
100
103

105

107

108

Глава 1.  Теория пределов

1.1. Последовательность. Предел последовательности.

Определения

Определение 1. Если каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, 

4,… по определенному закону поставлено в соответствие вещественное число xn, то множество этих чисел называется числовой 
последовательностью. 

Обозначается последовательность {xn}= x1, x2, x3,  . . . .. Элемент xn

называется общим членом последовательности. 

Например, если xn = 2n2 + 1, то последовательность будет иметь 

вид {xn}= 3, 9, 19, 33, 51, …(подставляем n = 1 – получаем 3, затем 
n = 2 – получаем 9 и .т.д.)

Определение 2. Последовательность называется ограниченной 

сверху (снизу), если  (существует) такое число М (m), что  (для 

любого) элемента 
nx
этой последовательности выполняется усло
вие:
M
xn 
(
m
xn 
). 

Если для последовательности  такие числа М и m, что 
nx


M
x
m
n 

, то говорят, что последовательность ограниченна.

Определение 3. Последовательность называется неограничен
ной, если 
0

M
найдется элемент последовательности 
nx , такой 

что 
M
xn 
.

Например, последовательность 
n
xn

1

ограниченна, так как 

можно взять 
1

M
и
0

m
; последовательность 
1
3 
 n
xn
– не
ограниченна сверху, так как какое бы большое положительное 
число М мы ни взяли, всегда можно подобрать такое n, для которого элемент последовательности 
nx будет больше М.

Определение 4. Говорят, что при n, стремящемся к бесконечно
сти, последовательность {xn} сходится к пределу а (обозначают

a
xn
n



lim
), если выполняется условие:










|
|
0
a
x
N
n
N
n
или













a
x
a
N
n
N
n
0
.

(читается так: для любого сколь угодно малого эпсилон существует или найдётся такое N, что для любого n больше N модуль разности 
a
xn 
меньше эпсилон). Смысл этого определения состоит 

в следующем: вокруг точки a мы взяли произвольную
 
окрестность (




a
a
,
). На N+1 шаге (
N
n 

) последователь
ность попадает в эту  -окрестность (т.е. 
,...
,
2
1


N
N
a
a
будут при
надлежать ей) и больше никакой элемент последовательности за 
 -окрестность не выйдет. Мы берём  сколь угодно малым,
и 

значит, последовательность с ростом n приближается к точке а и 
уже не может уйти от неё.

Число а называется пределом последовательности {xn}. Если 

число 


a
(т.е. какое-то конечное значение), то последователь
ность называется сходящейся.

Например: рассмотрим последовательность с общим членом

n
xn

1

. С ростом n члены последовательности будут убывать до 0, 

и таким образом 
0
1
lim


 n
n
;
в последовательности
3
2 
 n
xn
с 

ростом n каждый член последовательности будет увеличиваться, и 
тогда 





3
lim
2
n

n
. Если взять последовательность 


n

nx
1


, то с 

ростом n члены последовательности будут чередоваться и принимать только два значения -1 и +1, и в этом случае предела последовательности просто не существует.

Определение 5. Последовательность {xn} называется бесконеч
но-малой последовательностью (б.м.п.), если 
0
lim



n
n
x
и бес

конечно-большой 
последовательностью
(б.б.п.), 
если  






n
n
x
lim
.

Свойства сходящихся последовательностей

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
2. Сходящаяся последовательность ограниченна. Но из ограни
ченности последовательности не следует её сходимость. Например, последовательность  





n

nx
1
1



= 0, 2, 0, 2… ограничен
на, но не является сходящейся.

Рассмотрим две последовательности  
nx
и  
ny
, тогда если 

существуют 
n
n
n
n
y
x





lim
,
lim
, то

3.


n
n
n
n
n
n
n
y
x
y
x







lim
lim
lim
,

4.


n
n
n
n
n
n
n
y
x
y
x







lim
lim
lim
,

5.


n
n
n
n
x
c
x
c






lim
lim
, где 
R
c
, 

6.

n
n

n
n

n

n

n
y

x

y
x






 lim

lim

lim
, если 
0
lim



n
n
y
.

1.2. Вычисление пределов последовательностей

Для вычисления пределов последовательностей существует не
сколько основных приемов. Разберем их на примерах.

Пример 1. 
1

4
8
5
lim
2

2







n

n
n

n
. 

Решение: В этом примере после подстановки 


n
мы полу
чим 

 . Это неопределенность и её нужно раскрывать. Для этого

сначала находим в знаменателе n в старшей степени, далее выно

сим это n за скобки в числителе и в знаменателе, затем сокращаем:

2

2

2

2

2

2

2

2

1
1

4
8
5

lim
1
1

4
8
5

lim
1

4
8
5
lim

n

n
n

n
n

n
n
n

n

n
n

n
n
n












 






















.

Учитывая, что 
0




n
k
n
с
для любых k >0 и
R
c
, записываем окон
чательный ответ:

5
1
1

4
8
5

1
1

4
8
5

lim

2

2

2

2





































n

n
n

n
.

Пример 2. 


n
n

n




5
lim
2
.

Решение: В этом примере после подстановки 


n
мы полу
чим неопределенность



. Её также нужно раскрывать. Для 

этого умножим и разделим наше выражение на сопряженное исходному, а затем применим рассмотренный выше прием:



























n
n

n
n
n
n
n
n

n
n
5

5
5
lim
5
lim

2

2
2

2



































n
n
n

n
n
n

n
n

n
n

n
n
1
5
1

)1
5
(

lim

5

5
lim

2

2

2


































1
5
1

1
5

2

.

Пример 3.















1
2
1
2
lim

2

2

3

n
n

n
n

n
. 

Решение: В этом случае присутствуют сразу два типа неопреде
лённостей, рассмотренных выше. Чтобы избавиться от неопределенностей, нужно привести выражение к общему знаменателю и 
далее применить прием, рассмотренный в примере 1.





























1
2
1
2

2
2
lim
1
2
1
2
lim
2

2
4
3
4
2

2

3

n
n

n
n
n
n

n
n

n
n

n
n











 






 














n
n
n
n

n
n

n
n

n
n

n
n
1
2
1
2

lim
1
2
1
2
lim

2

2

2
3

2

2
3

4
1

1
2
1
2

1
1

1
2
1
2

1
1

lim

2
2

3

3

































































 






n
n
n

n
n

n
.

Пример 4.

n

n
n 





 



2
1
lim
.

Решение: Для решения этого примера рассмотрим особую после
довательность вида 

n

n
n
x





 

1
1
. Если совершим предельный пе
реход





































 

1
1
1
1
1
lim
lim

n

n
n
n
n
x
, то получим еще один 

тип неопределённости. Доказано, что 
7,2
1
1
lim







 


e
n

n

n
. Будем 

пользоваться этим при решении задач.

В нашем примере сделаем замену переменных 
m
n

1
2 
. Тогда 

n
m 
2
и 

2

2
1
1
1
1
lim
1
1
lim
2
1
lim
e
m
m
m
n

m
m

m

m

m

n

n






 





 






 






 







,

где 
мы 
воспользовались 
вторым 
свойством 
пределов: 



n
n
n
n
n
n
n
y
x
y
x







lim
lim
lim
.

Пример 5.


3
3
2
lim
n
n

n





.

Решение:
Умножим 
и 
разделим 
разность 
оснований 

3
3
и
2
n
n 
на неполный квадрат суммы этих оснований, т.е. на





3
2
3
3
2
1
2
n
n
n
n




,
чтобы 
получить 
разность 
кубов 


 



3
3
2
2
b
a
b
ab
a
b
a






:



3
3
2
n
n














3
2
3
3
2
1
2
n
n
n
n
2
2




n
n
.

После преобразований получим:






0
2

1
2

2
lim
2
lim

3
2
3
3
2

3
3


























n
n
n
n

n
n

n
n
.

Задачи для самостоятельного решения

Найти пределы следующих последовательностей:

1)
n
n

n
n






4

3
2
4
3
, 2)
2

8
4

2 



n

n
n
,7 3)
1
1
5
2






n

n
n
,

4)
7

5
3
3
3





n

n
n
, 5)
7

3
2

3
5
2

3

3
4









n

n
n

n

n
n
,