Задачи олимпиады 2017

 

 

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
Механико-математический факультет 
Кафедра общей математики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Задачи олимпиады 
2017 года 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательский Дом Томского государственного университета 
2017 

 

 

ОДОБРЕНО кафедрой общей математики 
Зав. кафедрой доцент Е.Н. Путятина 
 
РАССМОТРЕНО И УТВЕРЖДЕНО методической комиссией 
механико-математического факультета 
Протокол № 4 от 27 апреля 2017 г. 
Председатель методической комиссии О.П. Федорова. 
 
В данной работе представлены задачи с решениями 
олимпиад по математике, которые прошли в Томском 
государственном университете в 2017 г. Большинство задач 
являются авторскими. Некоторые задачи взяты из сборника 
избранных задач из журнала «American mathematical monthly» 
под редакцией В.М. Алексеева, а также из сборника 
«Избранные олимпиадные задачи» Н.Б. Васильева, А.П. Савина 
и А.А. Егорова.  
Предложенные задания могут быть использованы для 
подготовки к олимпиаде по математике студентов дневной 
формы обучения ММФ, ФПМК, РФФ, ФТФ, ФФ, ФИТ, ФИнф, 
МФУ, ХФ, ГГФ, БИ, ИЭМ. 
 
 
АВТОРЫ: 
доцент Н.Ю. Галанова, доцент Л.В. Гензе, 
доцент Я.С. Гриншпон, доцент Е.Г. Лазарева, 
доцент Е.А. Тимошенко. 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Томский государственный университет, 2017 

Олимпиада 2017 
(физические факультеты, первый курс) 
Задача 1. Существует ли такое вещественное α, что число 

2
sin   иррационально, а числа 
2
sin 2 , 
2
sin 3  и 
2
sin 4  рациональны? 

Задача 2. Вычислите 




0
lim

x
x

x

x

x

. 

Задача 3. Докажите, что множество матриц A размера 22 с 

вещественными элементами таких, что 
4
1
0
0
1
A


 



, но 

2
1
0
0
1
A


 



, бесконечно. 

Задача 4. При каких натуральных значениях n интеграл 

1
1
1
2
2017
2016
1
n
n
x
x
dx









 выражается через элементарные функ
ции? Сведите данный интеграл к интегралу от рациональной 
функции при всех найденных значениях n. 
Задача 5. Докажите, что функцию 
2
y
x

 нельзя представить 
в виде суммы конечного числа периодических непрерывных 
функций. 
Задача 6. Для произвольного множества A    обозначим 
через S(A) множество, состоящее из всех возможных конечных 
сумм различных элементов множества A (учитываются также суммы, состоящие из одного слагаемого). Например, если 


1;2
A 
, 

то 


( )
1;2;3
S A 
. Найдите наименьшее возможное и наибольшее 

возможное количество элементов в множестве S(A), если множество A содержит четыре элемента.