Пространственные и плоские кривые

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 
 
Е.Е. Корякина 
 
 
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ И ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательский Дом Томского государственного университета 
2016 

УДК 512.64 
ББК В143 
К 66 
 
Рассмотрено и утверждено методической комиссией механикоматематического факультета 
Протокол _1_ от «28» января 2016 г.  
Председатель комиссии О.П. Федорова 
 
 
 
Корякина Е.Е. 
К 66 
Пространственные и плоские кривые : учеб. пособие. – 
Томск : Издательский Дом ТГУ, 2016. – 32 с. 
 
 
Данное пособие разработано к курсу «Дифференциальная 
геометрия» для студентов второго и третьего курсов механикоматематического факультета 
 
 
УДК 512.64 
ББК В143 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Корякина Е.Е., 2016 
 
 
 
© Томский государственный университет, 2016 

1. Уравнение поверхности. Касательная 
плоскость. Нормальная кривая 
 
Гладкой регулярной поверхностью называется отображение 

3
:
E
u 

 
(область 
2
R
u 
, 


u
u
u

2
1,
), 
определяемое 
уравнениями 








2
1

2
1

2
1

,

,

,

u
u
z
z

u
u
y
y

u
u
x
x






 

или 



2
1,u
u
r
r 
, 
если 
1) функции 
z
y
x
,
,
 – функции класса 
k
C . 

2) 
2

2
2
2

1
1
1






























u
z
u
y
u
x
u
z
u
y
u
x

R
. 

Если поверхность не регулярная, то те точки, в которых 
условие 
2) 
выполняется 
называются 
обыкновенными, 
где 
нарушаются – особыми. 
Координаты 
1
u , 
2
u  точки на поверхности называются 
криволинейными координатами. Линии 
const
u 
1
, 
const
u

2
 на 
поверхности называются координатными линиями. Векторы 

1
1
u
r
r



, 
2
2
u
r
r



 
являются 
касательными 
векторами 
к 

координатным линиям. В обыкновенной точке они линейно 
независимы.  
Уравнения касательной плоскости и нормальной прямой в 
обыкновенной точке 


0
0
0
0
,
,
z
y
x
r 
 имеют вид 



0
,
,
2
1
0


r
r
r
R
  
и  



2
1
0
,r
r
r
R



  
в векторном виде 
или 

0

2
2
2

1
1
1

0
0
0



















u
z
u
y
u
x
u
z
u
y
u
x
z
z
y
y
x
x

 

и 
















C
z
z

B
y
y

A
x
x







0

0

0
 

в координатном виде,  где 
C
B
A
,
,
 – декартовы координаты 

нормального вектора 

 

C
B
A
r
r
N
,
,
,
2
1


. 
Гладкой регулярной поверхностью называется геометрическое 
место точек, декартовы координаты которых удовлетворяют 
уравнению 



0
,
,

z
y
x
F
, 
если  
1) функции F  – функции класса 
k
C . 

2) 
0
,
,















z
F
y
F
x
F
gradF
. 

Если поверхность не регулярная, то точки, в которых условие 2) 
выполняется называются обыкновенными, где нарушается – 
особенными. 
Уравнения касательной плоскости и нормальной прямой в 
обыкновенной точке 

0
0
0
,
,
z
y
x
 имеют вид