Адаптивные системы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ 
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Г.Н. Решетникова 
 
АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательский Дом Томского государственного университета 
2016 

УДК 681.513 
ББК 22.181 
         Р47 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой прикладной математики  
ФПМК НИ ТГУ К.И. Лившиц; 
канд. техн. наук, доцент кафедры КСУП ФВС ТУСУР В.П. Коцубинский  
 
Решетникова Г.Н.  
Р47 
Адаптивные системы : учеб. пособие. – Томск : Издатель- 
ский Дом Томского государственного университета,  
2016. – 112 с.  
 
Приводятся алгоритмы синтеза для линейных систем на основе минимизации квадратичных функционалов. Рассматриваются методы оценивания состояния и параметров модели объекта. Проектирование систем 
адаптивного управления осуществляется путем постепенного добавления 
и усложнения методов и алгоритмов: от оптимального управления для детерминированных моделей до адаптивных следящих систем для стохастических моделей при неполном измерении с ошибками. Приводятся примеры построения математических моделей и пример проектирования системы адаптивного управления для нестационарной модели судна при изменении курса. 
В приложения включены контрольные вопросы, задания для лабораторных работ и индивидуальные задания для моделирования систем адаптивного управления с использованием математических моделей различных технических объектов. 
Учебное пособие предназначено для студентов ФПМК направления 
подготовки 01.03.02 – Прикладная математика и информатика с квалификацией бакалавр. Пособие может быть также полезным магистрантам и 
аспирантам ФПМК. 
 
 
 
 
 
 
 
© Томский государственный университет, 2016 
© Решетникова Г.Н., 2016 

Введение 
 
Переживаемый в настоящее время этап информатизации характеризуется расширением внедрения информационно-вычислительных систем, созданием и развитием методов автоматического 
управления в технике, экономике, медицине, биологии и других 
видах деятельности. При этом все чаще применяются следящие 
системы автоматического управления для совмещенного синтеза, 
как самые приемлемые для реализации на управляющих компьютерах. Синтез управляющих воздействий, который осуществляется 
в процессе функционирования объекта, называется совмещенным 
синтезом. Его особенностью является то, что в момент формирования управляющих воздействий известны предыдущие состояния 
объекта и не известны последующие.  
Процесс проектирования систем управления всегда предполагает наличие: 
1) четко сформулированной цели управления; 
2) априорной информации об объекте управления и о характере 
действующих на него возмущений. 
Объем априорной информации при этом может быть различным и за редким исключением не является исчерпывающим. Однако в данном случае принципиальным является вопрос о достаточности или недостаточности имеющейся априорной информации об объекте для достижения сформулированной цели управления. Все системы управления, построенные с использованием 
априорной информации, достаточной для достижения поставленной цели, относятся к неадаптивным или традиционным системам управления, независимо от реализуемого принципа управления, наличия обратной связи, случайности или детерминированности возмущений, используемых вычислительных средств и т.д. 
Если же объем располагаемой априорной информации о свойствах объекта не может обеспечить достижения сформулированной цели управления, то речь идет об адаптивных системах 
управления. 

Адаптивное управление обеспечивает требуемое качество 
функционирования объекта в условиях изменения параметров модели объекта и изменения характеристик действующих на объект 
возмущений. Адаптивное управление должно подстраиваться 
(адаптироваться) к этим изменениям. 
В современной теории автоматического управления доминирует концепция совмещенного синтеза следящих систем. Наиболее 
перспективными методами решения таких задач являются методы, 
основанные на оптимизации квадратичных критериев, а использование прогнозирующих моделей и скользящего интервала времени 
позволяет существенно расширить возможности синтеза адаптивных систем.  
В настоящем пособии  рассматриваются методы синтеза систем 
управления при решении задач слежения для многомерных стохастических моделей объектов, функционирующих в условиях неполной информации о состоянии объекта и его параметров. При 
этом проектирование систем управления осуществляется путем 
постепенного добавления и усложнения используемых методов и 
алгоритмов: от оптимального управления для детерминированных 
моделей, до адаптивных следящих систем для стохастических моделей при неполном измерении с ошибками. В связи со сложностью рассматриваемых задач единственным способом их решения 
является имитационное моделирование. 
Автор благодарит Б.Н. Назаренко за помощь в оформлении 
учебного пособия. 

1. Описание систем в пространстве состояний 
 
Описание систем во временной области лежит в основе современной теории управления. Временная область – это область, в 
которой поведение системы рассматривается как функция переменной t  (времени). Анализ и синтез систем управления во временной области основан на понятии состояния системы. Состояние системы – это совокупность таких переменных, знание которых наряду с входными функциями и уравнениями, описывающими 
динамику системы, позволяет определить ее будущее состояние и 
выходную переменную. Для динамической системы ее состояние 
описывается набором переменных состояния 
1
2
( ),
( ),...,
( )
n
x t
x t
x t , 
которые имеют следующий смысл: если в момент времени 
0t  известны начальные значения 
1
0
2
0
0
( ),
( ),...,
( )
n
x t
x t
x t
 и входные сигналы 
1( ),...,
( )
m
u t
u
t  для 
0
t
t

, то этой информации достаточно, чтобы 
определить будущие значения всех переменных состояния и выходных переменных. Таким образом, переменные состояния описывают поведение систем в будущем, если известны текущее состояние, внешние воздействия и уравнения динамики системы. 
Понятие состояния применимо к анализу не только физических, 
но также биологических, социальных, экономических систем и т.д.  
 
 
1.1. Математические модели динамических систем 
 
В общем случае систему обыкновенных дифференциальных 
уравнений, которая описывает математическую модель управляемого объекта в переменных состояния, можно представить в виде: 

0
0
( )
( , ( ), ( )),
( )
x t
f t x t u t
x t
x



.                    (1.1) 

Если 
( )
x t  и (или) 
( )
u t  входят в 
( )
f   нелинейно, то система 
(1.1) называется нелинейной, если систему (1.1) можно представить 
в виде: 

0
0
( )
( ) ( )
( ) ( ),
( )
x t
A t x t
B t u t
x t
x




,                    (1.2) 

где 
( )
A t  – матрица динамических свойств модели объекта, раз
мерности n
n

, 
( )
B t  – матрица влияния управляющих воздействий, размерности n
m

, то такая система называется линейной. 
Если элементы матрицы 
( )
A t  и (или) 
( )
B t  зависят от времени, то 
система (1.2) является нестационарной, если ни один из элементов 
матриц 
( )
A t  и 
( )
B t  не зависит от времени, то система (1.2) является стационарной. Если система управления является нелинейной, 
то достаточно часто ее линеаризуют и представляют в виде (1.2)  
Заметим, что систему управления в переменных состояния 
можно представить и в дискретной форме: 

0
(
1)
( , ( ), ( )),
(0)
x k
f k x k u k
x
x



.                  (1.3) 

Аналогично (1.1) система (1.3) может быть нелинейной и линейной, представимой в виде: 

0
(
1)
( ) ( )
( ) ( ),
(0)
x k
A k x k
B k u k
x
x




.          (1.4) 

Кроме того, системы (1.2),(1.4) могут быть как стационарными, 
так и нестационарными. В дальнейшем, будем считать, что математическая модель, описывающая поведение управляемого объекта задана в виде (1.2) или (1.4) Линеаризацию системы (1.1) и 
представление ее в виде (1.2) можно осуществить путем разложения (1.1) в ряд Тейлора по ( ), ( )
x t u t  для некоторых расчетных значений 
( ),
( )
r
r
x t u t , т.е. 

0
0
( )
( )
( )
( )

( , ( ), ( ))
( , ( ), ( ))
( )
( )
( ),
( )
.
( )
( )
r
r
x t
x
t
u t
u
t

f t x t u t
f t x t u t
x t
x t
u t
x t
x
x t
u t
























Тогда 

( )
( )
( )
( )

( , ( ), ( ))
( , ( ), ( ))
( )
,
( )
( )
( )
r
r
x t
x
t
u t
u
t

f t x t u t
f t x t u t
A t
B t
x t
u t





















. 

Использование линейных систем для описания моделей объектов обусловлено тем, что идеи и методы линейной теории автоматического управления с соответствующими оговорками широко 
используются и для других моделей объектов управления. Кроме 
того, математический аппарат матричной алгебры достаточно легко реализуется на ЭВМ. 
 
 
1.2. Построение математической модели движения ракеты 
 
Пусть ракета движется вертикально в поле тяготения какой-то 
планеты. На основании законов механики можно записать следующие уравнения движения: 

,
mx
F
m
c

 


,                                  1.5) 

где m  – масса ракеты, x  – высота над поверхностью планеты, c  – 
секундный расход массы за счет горения топлива, F – вертикальная 
составляющая сил, действующих на ракету. Обозначим 

1
2
3
,
,
x
x
x
x
x
m


 


, 

где    скорость ракеты. Пусть оси 
1
Ox  и 
2
Ox  направлены вверх 
от поверхности планеты. Управление ракетой осуществляется за 
счет тяги двигателя, что связано с расходом топлива c , т.е. u
c

. 
С учетом введенных обозначений, уравнения (1.5) можно переписать следующим образом:  

1
2

2
3

3

,

( , ) ,

.

x
x

F x u
x
x

x
u





 







 

Функция 
( , )
F x u  имеет вид: 

( , )
( )
( )
F x u
G
P u
Q sign
 



 , 

где G
mg

  сила тяжести ( g   ускорение свободного падения); 
( )
P u   тяга двигателя, которая с точностью до знака есть извест

ная функция u ; 
( )
sign    знаковая функция, равная +1, если 
0
 
 
и –1, если 
0
 
 (скорость   отрицательна, если ракета опускается); Q   аэродинамическое сопротивление, равное 

2

1
(
) 2
x
Q
x
SC

 
. 

Здесь 
1
(
)
x

  плотность атмосферы на высоте 
1x ; S   поперечное 
сечение ракеты; 
x
C − аэродинамический коэффициент (последние 
две величины можно считать постоянными).  
С учетом введенных обозначений выражение для функции 
( , )
F x u  можно переписать в виде: 

2
2
3
1
2
( , )
( )
(
)
(
)
2
x
x
F x u
g x
P u
x
S C
sign x
  

 


. 

Подставляя это выражение в (1.5), получим математическую 
модель движения объекта: 

1
2

2
2
2
1
2
3
3
3

3

,

( , )
( )
(
)
(
),
2

.

x

x
x

x
F x u
P u
x
g
x
SC sign x
x
x
x

x
u








 







       (1.6) 

Начальные условия для системы (1.6) зависят от постановки задачи управления. 
Если решается задача взлета ракеты, то начальные условия будут следующими: 

1
0
2
0
3
0
0
( )
0,
( )
0,
( )
,
x t
x t
x t
m



 

где 
0t   момент взлета, 
0
p
Т
m
m
m


, 
p
m − масса тела ракеты, 

T
m   начальная масса топлива. 
Если решается задача посадки ракеты, то начальные условия 
будут следующими: 

1
0
0
2
0
0
3
0
0
( )
,
( )
,
( )
,
x t
h
x t
x t
m

 

 

где 
0
0
,
h    расстояние до планеты и скорость ракеты в момент 
начала посадки, 
0
p
o
m
m
m


, 
o
m   остаток топлива в момент 

начала посадки. 
 
 
1.3. Построение макроэкономической модели динамики  
фондов производственного накопления и потребления 
 
Пусть 
1( )
x t – фонд производственного накопления, 
2( )
x t – фонд 
потребления. 
Уравнение баланса имеет вид:  

1
1 1
2
2
( )
( )
( )
x t
b x t
b x t




, 

где 
1b  и 
2b  – коэффициенты приростной капиталоемкости фондов 
накопления и потребления соответственно. 
Пусть 
0
( )
t
L t
L e

– динамика изменения численности населения; 
0L – численность населения в начальный момент времени;  – 
темп роста населения. 
Тогда уравнения, характеризующие фонд потребления на душу 
населения и изменение душевого фонда потребления, будут соответственно равны: 

2
2

0

( )
( )
( )

t
x t
x t e
L t
L



; 

2
2
2
0
0

( )
(
( )
( ))
.

t
t
x t
d
e
e
x t
x t
dt
L
L







 





 

Если в качестве управления использовать скорость роста душевого фонда потребления 

2
2
( )
( )
( )
u t
x t
x t

 

, 

то 

2
2
( )
( )
( )
x t
x t
u t
 


.                                  (1.7) 

Таким образом, динамическая модель изменения фондов 
накопления и потребления описывается системой обыкновенных 
дифференциальных уравнений вида: 

(0)
2
2
1
1
2
1
0
1
1
1
1

(0)
2
2
2
0
2

1
( )
( )
( )
( ),
( )
,

( )
( )
( ),
( )
.

b
b
x t
x t
x t
u t
x t
x
b
b
b

x t
x t
u t
x t
x


 



 






     (1.7) 

Заметим, что модель (1.7) является линейной по состоянию и 
управлению. 
Если обозначить 
1
2
( )
(
( ),
( ))T
x t
x t x t

; 
(0)
(0)
(0)
1
2
(
,
)T
x
x
x

, то система (1.7) в матричной форме запишется следующим образом:  

( )
( )
( )
x t
Ax t
Bu t



, 
(0)
0
( )
x t
x

,                     (1.9) 
где  

2

1
1

1

0

b
b
b
A





 







; 

2

1
1

b
b
B





 






.