Многочлены над областями целостности (теория и приложения)

  

Федеральное государственное автономное  
образовательное учреждение высшего образования  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ 
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

 
 
 
 
 
 
 
 
С.Я. Гриншпон, И.Э. Гриншпон 
 
МНОГОЧЛЕНЫ 
НАД ОБЛАСТЯМИ 
ЦЕЛОСТНОСТИ 
(теория и приложения) 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательский Дом Томского государственного университета 
2016 

  

УДК 512.6 
ББК 22.14 
          Г856 
 
 
Гриншпон С.Я., Гриншпон И.Э. 
Г856 
Многочлены над областями целостности (теория  
и приложения) : учеб. пособие. – Томск: Издательский Дом  
Томского государственного университета, 2016. – 152 с. 

ISBN 978-5-94621-555-8 
 
 
В пособии введено понятие равенства многочленов в алгебраическом 
и функциональном смыслах, рассмотрена операция деления многочленов, 
сформулировано правило нахождения рациональных корней многочленов 
с целыми коэффициентами, основная теорема алгебры многочленов. Даны 
приложения теории многочленов, которые применяются в курсе высшей 
математики. 
Для студентов классических и педагогических университетов. 
 
УДК 512.6 
ББК 22.14 
 
 
Рецензенты: 
Л.И. Магазинников, канд. физ.-мат. наук, профессор; 
В.М. Мисяков, канд. физ.-мат. наук, доцент 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-94621-555-8 

Гриншпон С.Я., Гриншпон И.Э., 2016

Томский государственный университет, 2016
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Настоящее пособие предназначено для студентов младших курсов классических университетов и педагогических 
вузов, изучающих математику. Теория многочленов часто 
применяется в курсе линейной алгебры (например, при решении характеристических уравнений для нахождения собственных значений линейного оператора), в курсе математического анализа (например, при интегрировании рациональных функций и аппроксимации функций многочленами), в 
методах приближенных вычислений, при изучении других 
разделов математики. 
С изучением многочленов связан целый ряд важных преобразований в математике. Изучение полиномиальных уравнений и их решений являлось основой развития классической алгебры на протяжении нескольких столетий. Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по 
сравнению с более сложными классами функций, а также тот 
факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций, способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе. 
В работе изложены основные факты теории многочленов 
от одной переменной, приведены их доказательства. Даны 
некоторые приложения теории многочленов. Рассмотрены 
всевозможные задачи, связанные с многочленами, тщательно 
разобраны их решения, а также предлагается большой набор 
задач и упражнений для самостоятельного решения. 
Достаточно много внимания уделяется в связи со школьной математикой. Поэтому настоящее пособие может быть 
использовано в средней школе на факультативных занятиях 

и при подготовке к ЕГЭ, а также на занятиях с учащимися 
физико-математических классов. 
Хотя в необозримом царстве функций многочлены занимают, на первый взгляд, очень скромное место, но это первое 
впечатление обманчиво. Известный математик-вычислитель 
Р.В. Хемминг пишет: «Поскольку с многочленами легко обращаться, большая часть классического численного анализа 
основывается на приближении многочленами».  
 

§ 1. Предварительные замечания 

 
Пусть М – произвольное непустое множество. Всякое 
отображение 
:
f
M
M
M


 называется бинарной алгебраической операцией, определенной на множестве М. Вместо  f  
часто пишут +, –, , или другой символ. Пусть на М задана 
операция . Операция  называется коммутативной, если  
a  b = b  a   a, b  M. Операция  называется ассоциативной, если (a  b)  c = a  (b  c)   a, b, с  M. Множество М с 
заданной на нем операцией называется группоидом. 
Группоид G;  называется группой, если  
1)  – ассоциативная операция; 
2) в G существует нейтральный элемент, т.е. такой элемент е, что g  e = e  g = g  g  G; 
3)  g  G в G существует симметричный элемент, т.е такой элемент g
G

, что g
g
g
g
e






. 
Если групповая операция обозначена ◦ (умножение), т.е. 
мы пользуемся мультипликативной записью, то нейтральный 
элемент называется единичным, а элемент, симметричный к 
g, называется обратным элементу g и обозначается g–1. 
Пусть G;  – группа. Если групповая операция  коммутативна, то G называется абелевой или коммутативной 
группой. Для абелевой группы часто используется аддитивная запись (т.е. групповая операция обозначается через +, 
нейтральный элемент – 0, а элемент симметричный g обозначается  –g и называется противоположным элементу  g). 
Пусть K – непустое множество с двумя бинарными операциями «+» (сложением) и «» (умножением). K; +,  называется кольцом, если: 
1) K; + – абелева группа; 
2) операция «» ассоциативна; 
3)  a, b, с  K (a + b) c = a c + b c и c (a + b) = c a + c b (т.е. 
вторая операция дистрибутивна относительно первой). 

Если операция умножения в кольце K коммутативна, то K 
называется коммутативным кольцом. 
Кольцо K называют кольцом с единицей, если в K существует элемент 1, такой, что 1а = а1 = а. 
Пусть 
K
K

 

. K называют подкольцом кольца K, 
если оно само образует кольцо относительно операций, 
определенных на K. Непустое подмножество K является 
подкольцом кольца K, тогда и только тогда, когда K содержит разность и произведение двух своих элементов. 
Коммутативное кольцо 
{0}
P 
 называется полем, если 

\{0};
P
  является группой. Таким образом, Р – это непустое 
множество с двумя бинарными операциями «+» и «», в котором Р; + и 
\{0};
P
  – абелевы группы и вторая операция 
дистрибутивна относительно первой. 
Пусть 
\{0}; ;
P
  – поле и 
P
P

 

. Подмножество P 
называется подполем поля Р, если P само является полем 
относительно операций, определенных на Р. P является 
подполем поля Р тогда и только тогда, когда выполняются 
следующие два условия: 
1) 
,a b
P


 a
b
P
 
; 

2) 
,a b
P


, где 
0
b 
, 
1
ab
P



. 
Непустое подмножество I кольца K называют правым (левым) идеалом кольца K, если: 
1) для любых элементов ,a b
I
  разность a
b
I
 
; 
2) для любого элемента a
I
  и для любого элемента 
p
K

 произведение ap
I
  ( pa
I
 ).  
Непустое подмножество I кольца K называют идеалом 
(двусторонним идеалом), если оно является одновременно 
и правым и левым идеалом кольца K. Для коммутативного 
кольца все три понятия совпадают, поэтому говорят просто 
об идеалах. 

Пусть K – коммутативное кольцо с единицей. Множество 
{
|
}
ka k
K

, состоящее из всех элементов кольца, кратных  а, 
является идеалом. Этот идеал называется главным идеалом, 
порожденным элементом а. Главный идеал является пересечением всех идеалов кольца K, содержащих элемент  а. 
Любой идеал I кольца K определяет некоторое разбиение 
кольца на смежные классы или классы вычетов по идеалу I. 
Два элемента a и b называются сравнимыми по идеалу I 
(сравнимыми по модулю I), если они принадлежат одному 
классу вычетов, т.е. если a
b
I
 
. Обозначают 
(mod
)
a
b
I

 
или просто 
( )
a
b I

. Во множестве смежных классов вводятся операции сложения и умножения. Если 
,
a
I b
I

 – два 
смежных класса по идеалу I, то (
)
(
)
(
)
a
I
b
I
a
b
I






, 
(
)(
)
a
I b
I
ab
I




. Относительно введенных таким образом операций множество смежных классов образует кольцо, 
которое называют факторкольцом (кольцом вычетов) 
кольца K по идеалу I. 
Если   – кольцо целых чисел, то кольцо вычетов по модулю m конечно, содержит m классов, и каждый класс состоит из чисел, имеющих одинаковые остатки при делении на m, 
т.е. 
{0,1, 2,...,
1}
m
m



, где через r  обозначено множество 
чисел, дающих при делении на m остаток r. Сложение и 
умножение классов вычетов по модулю m выполняется по 
правилам: 
,
a
b
a
b
a b
a b





  для любых 
,a b . Заметим, что сложение и умножение классов вычетов не зависит от выбора представителей этих классов. Если m – простое число, то 
m
  является полем. 
Пусть K – коммутативное кольцо с единицей. Ненулевой 
элемент a
K

 называют обратимым, если существует элемент 
1
a
K
 
 такой, что 
1
1
1
a a
aa



 . В противном случае 

элемент а называют необратимым. Множество обратимых 
элементов кольца K обозначают K*. 
Ненулевые элементы a и b коммутативного кольца K 
называют делителями нуля, если их произведение равно 
нулю, т. е. 
0
ab 
, но 
0,
0
a
b


 (если кольцо некоммутативное, то говорят о левом или правом делителях нуля). 
Коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля 
называют областью целостности. 
Пусть K – область целостности. Говорят, что элемент 
a
K

 делится на элемент b
K

 (b делитель a или a кратен 
b), если существует такой элемент c
K

, что a
bc

1, обозначают a b
 . Элементы a и b коммутативного кольца K 
называют ассоциированными в K, если a b
  и b a
 . Если a и 
b ассоциированные элементы, то b = ua, где u – обратимый 
элемент кольца K. Делители элемента а называют собственными, если они отличны от ассоциированных с а элементами 
кольца. 
Справедлива следующая теорема. 
Теорема 1.1. Коммутативное кольцо с единицей является 
областью целостности тогда и только тогда, когда в нем 
выполнен закон сокращения (
,
0
ab
ac a


 
b
c


). 

 
Элемент p
K

 называют приводимым или составным, 
если его можно представить в виде произведения двух необратимых элементов кольца, т. е. p
ab

, где a, b – необратимые элементы. Если элемент p
K

 нельзя представить в виде p
ab

, где a, b – необратимые элементы, то его называют  
простым или  неразложимым. 
В поле Р каждый ненулевой элемент обратим и в Р нет 
простых элементов. 

                                                
1 Если кольцо K некоммутативно, то говорят о левых и правых делителях 
элемента. 

Область целостности K называют кольцом с однозначным 
разложением на простые множители (факториальным 
кольцом), если любой элемент 
(
0)
a
K
a


 можно представить в виде 
1
2...
k
a
cp p
p

, где c  – обратимый элемент кольца, 
1
2
,
,...,
k
p
p
p  – простые элементы (не обязательно различные), причем если 
1 2... m
a
dq q
q

 – другое такое разложение 
элемента а на простые множители, то k
m

 и 
i
i
i
q
s p

 
(
1,2,..., )
i
k

, все 
is  – обратимые элементы (при соответствующей нумерации элементов). 
Заметим, что если р – простой элемент, то ассоциированный с р элемент up тоже простой. 
Справедливы следующие утверждения. 
Теорема 1.2. Пусть K – произвольная область целостности с разложением на простые множители. Разложение на 
множители в K однозначно (K – факториальное кольцо) тогда и только тогда, когда любой простой элемент p
K

, 
делящий произведение ab, делит хотя бы один из множителей a или b. 

 
Теорема 1.3. Кольцо главных идеалов факториально. 

 
Область целостности K называется евклидовым кольцом, 
если существует отображение 
:
h K   , удовлетворяющее 
условиям  
(1) для любых ,
(
0)
a b
K b


 существуют ,q r
K

 такие, что 
a
bq
r

  и ( )
( )
h r
h b

;  
(2) ( )
0
h a 
 тогда и только тогда, когда 
0
a 
. 
Можно показать, что всякое евклидово кольцо является 
кольцом главных идеалов. 
Пусть А – область целостности. Разобьем декартово произведение множеств АА*, на классы, полагая, что пары (a, b) 
и (c, d) (b  0, d  0) принадлежат одному классу, если ad = bc. 

Введенное таким образом бинарное отношение есть отношение эквивалентности и оно определяет разбиение множества 
АА* на непересекающиеся классы эквивалентности. Пусть 
Q(A) – множество классов эквивалентности. На множестве 
Q(A) введем операции сложения и умножения: 

a
c
ad
bc
b
d
bd



 и a c
ac
b d
bd


 
 
 
          (1.1) 

(через a
b  обозначили класс эквивалентности, содержащий 

пару (a, b)). Заметим, что введенные таким образом операции 
не зависят от выбора представителя класса. 
Множество Q(A) с введенными по правилам (1.1) операциями образует поле. Это поле называют полем отношений 
или полем частных области целостности А. Элементы поля 
отношений часто называют дробями. 

 
Пусть (
, , )
K    и (
,
,
)
K    – два кольца. Взаимно однозначное отображение  кольца K на кольцо K , сохраняющее 
операции, 
называется 
изоморфизмом. 
Отображение 
: K
K


 – изоморфизм ( K
K

), если φ – биекция и 
(
)
( )
( )
a
b
a
b


 

, (
)
( )
( )
a b
a
b


 

. 
Поля Р и P называют изоморфными, если они изоморфны как кольца. 
Поле P называют расширением поля Р, полученным 
присоединением элемента а, если P наименьшее поле, содержащее множество { , }
P a . Обозначают такое расширение 
обычно через Р(а). 
В различных разделах математики широко используется 
кольцо функций. 
Пусть Х – произвольное множество, K – произвольное 
кольцо. Пусть 
X
K
 – множество отображений (функций) 
:
f
X
K

 с двумя бинарными операциями поточечной