Моделирование экономики

МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ЭКОНОМИКИ

А.В. СИГАЛ

 

 

 Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 
профессионального образования в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению подготовки 38.04.05 «Бизнес-информатика» 
(квалификация (степень) «магистр») (протокол № 12 от 14.12.2020)

Москва
ИНФРА-М
2021

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Крымский федеральный университет 
имени В.И. Вернадского

УДК [330.4+519.86](075.8)
ББК 65.050я73
 
С34

Сигал А.В.

C34  
Моделирование экономики : учебное пособие / А.В. Сигал. — 

Москва : ИНФРА-М, 2021. — 283 с. — (Высшее образование: Магистратура). — DOI 10.12737/1096081.

ISBN 978-5-16-016314-7 (print)
ISBN 978-5-16-108612-4 (online)
В учебном пособии изложены основные разделы дисциплины «Мо
делирование экономики», читаемой обучающимся в магистратуре по направлению подготовки 38.04.05 «Бизнес-информатика». Изложение теоретических сведений иллюстрируется подробным разбором конкретных 
числовых примеров. Учебное пособие содержит задания комплексного 
проверочного теста по дисциплине «Моделирование экономики».

Соответствует требованиям федеральных государственных образова
тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся в магистрату
ре по направлению подготовки 38.04.05 «Бизнес-информатика».

УДК [330.4+519.86](075.8)

ББК 65.050я73

Р е ц е н з е н т ы:

Лавровский Б.Л., доктор экономических наук, профессор;
Смирнов Н.В., доктор физико-математических наук, доцент

ISBN 978-5-16-016314-7 (print)
ISBN 978-5-16-108612-4 (online)
© Сигал А.В., 2021

Основные сокращения и обозначения

ВП
— валовой продукт

ВПС
— валовая прибавочная стоимость

ДСВ
— дискретная случайная величина

КП
— конечный продукт

МОБ
— межотраслевой баланс

МП
— Марковский процесс

НСВ
— непрерывная случайная величина

ОВЗ
— область возможных значений

СВ
— случайная величина

СВДТ
— случайный вектор дискретного типа

СВНТ
— случайный вектор непрерывного типа

СКО
— среднеквадратичное отклонение

СЛАУ
— система линейных алгебраических уравнений

СМО
— система массового обслуживания

СФ
— случайная функция

ТПФП
— техпромфинплан

УДЕ
— условная денежная единица

ФНП
— функция нескольких переменных

ЦМ
— цепь Маркова

∀
— квантор всеобщности «для любого», «для всех»

{
}
1
2
;
; ...;
n
a a
a
— множество, которому принадлежат перечисленные элементы

=
!
n
P
n
— число перестановок

(
)

=
=
−

!

!

k
k

n

n
A
n
n
k

— число размещений

=
!

k
r
r

k
k

— биномиальные коэффициенты

= k
n

n
C
k

— число сочетаний

( )
{
}
x P x
— множество всех x, удовлетворяющих заданному 
условию ( )
P x

m
x , 
m
x
— число x в убывающей, возрастающей факториальной степени

x
— пол (целая часть или антье) действительного 
числа x

x
— потолок действительного числа x

x
— ближайшее целое число к действительному числу x

{ } =
− x
x
x
— дробная часть действительного числа x

=
−
x
x
x
— расстояние действительного числа x до ближайшего целого числа

( )
x
Spec
— спектр действительного числа x

=
−
⋅mod
x
x
y
x
y
y

— бинарная операция mod

N
— множество всех натуральных чисел

0
Z
— множество всех целых неотрицательных чисел

Z
— множество всех целых чисел

(
)
= −∞ + ∞
;
R
— множество всех действительных чисел

( )
P x
— нотация Айверсона, которая равняется 1, если 
заданное условие ( )
P x  истинно, и равняется 0, если 

заданное условие ( )
P x  ложно

(
)
X
As
— коэффициент асимметрии СВ X

(
)
X
Ek
— коэффициент эксцесса СВ X

(
)
(
)
= σ2
X
X
D
— дисперсия (вариация) СВ X

(
)
=
m
X
M
— математическое ожидание СВ X

(
)
X
Me
— медиана СВ X

(
)
X
Mo
— мода СВ X

( )
P A
— вероятность события А

(
)
(
)
σ
=
X
X
D
— СКО СВ X

∅
— невозможное событие (или пустое множество)

Ω
— достоверное событие (или пространство элементарных событий)

Предисловие

Учебное пособие предназначено прежде всего для обучающихся 

в магистратуре по направлению подготовки 38.04.05 «Бизнес-информатика», а также для студентов других направлений подготовки, изучающих дисциплину «Моделирование экономики».

Одним из первых научных трудов, в значительной мере опи
равшимся на математическое моделирование экономики, явилась 
работа «Экономическая таблица», написанная и изданная в 1758 г. 
французским экономистом, лейб-медиком короля Франции Людовика XV, основоположником школы физиократов Франсуа Кенэ 
(1694–1774). Экономическая таблица, составленная Ф. Кенэ, представляла собой количественную модель национальной экономики 
и основывалась на установлении балансовых пропорций между 
натуральными, т.е. вещественными, и стоимостными, т.е. денежными, элементами производства. Фактически, сгруппировав всех 
хозяйствующих экономических субъектов Франции XVIII в. на три 
класса, а именно земледельцев (фермеров и сельских наемных рабочих), собственников (землевладельцев и короля) и «бесплодный 
класс» (промышленников, купцов, ремесленников и наемных рабочих в промышленности), Кенэ составил первый вариант схемытаблицы межотраслевого баланса «затрат — выпуска», являющейся 
прототипом для последующих моделей экономического баланса: 
модели французского экономиста, лидера лозаннской школы маржинализма, основателя теории общего конкурентного равновесия 
Мари Эспри Леона Вальраса (1834–1910) и модели американского 
экономиста российского происхождения, создателя теории межотраслевого анализа, лауреата премии по экономике памяти Альфреда 
Нобеля за 1973 г. Василия Васильевича Леонтьева (1905–1999).

Вальрас в своей книге «Элементы чистой политической эко
номии», изданной в 1874 г., отмечал: «Чистая теория экономики 
есть наука, напоминающая во всем физико-математические науки». 
Интересно отметить, что представители лозаннской школы считали 
математические методы обязательным элементом экономической 
науки.

Дисциплина «Моделирование экономики», изучаемая студен
тами, обучающимися в магистратуре по направлению подготовки 
38.04.05 «Бизнес-информатика», состоит из следующих частей:

1) концептуальные основы экономико-математического моде
лирования;

2) матричные модели и различные виды балансов;
3) динамические модели.
При моделировании экономики необходимо учитывать наи
более характерные особенности экономики, прежде всего то, что 
экономика представляет собой динамическую, слабо структурированную сложную систему, которая состоит из многих элементов, 
в том числе из большого количества хозяйствующих единиц, которые находятся в довольно тесном, непрерывном взаимодействии.

В разделе «Матричные модели и различные виды балансов» рас
сматриваются различные экономико-математические балансовые 
модели, характеризующие межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Межотраслевым балансом называют 
каркасную модель (таблицу), в которой показываются многообразные натуральные и стоимостные связи в народном хозяйстве 
страны. Еще в 1898 г. российский экономист-математик и статистик, представитель математической школы в политической экономии Владимир Карпович Дмитриев (1868–1913) в работе «Экономические очерки» впервые разработал систему линейных уравнений, которые связывали между собой цены товаров и издержки 
их производства. Доказывая разрешимость этой системы уравнений, он ввел технические коэффициенты, которые показывают 
долю затрат одного товара в производстве другого. К 1920-м гг., 
когда потребности централизованного планирования экономики 
СССР привели к активизации балансовых исследований, метод 
Дмитриева оставался незамеченным.

Первым в истории межотраслевым балансом был отчетный ба
ланс народного хозяйства СССР, построенный в виде шахматной 
таблицы межотраслевых связей и рассчитанный за 1923–1924 
хозяйственный год. В 1924 г. Центральное статистическое управление (ЦСУ) при Совете народных комиссаров СССР по поручению Совета труда и обороны СССР и по методологии, разработанной российским и советским статистиком и экономистом Львом 
Николаевичем Литошенко (1886–1943) и советским государственным деятелем Павлом Ильичем Поповым (1872–1950), был 
рассчитан отчетный баланс народного хозяйства за 1923–1924 гг. 
и прогнозный баланс на 1924–1925 гг. В.В. Леонтьев, который 
в тот период изучал экономические науки в Берлинском университете, подготовил отзыв на работу ЦСУ, посвященный теоретическим основам межотраслевого баланса. Сокращенный перевод 
его оригинальной статьи под названием «Баланс народного хозяйства СССР» опубликовал журнал «Плановое хозяйство» в № 12 
за 1925 г. К сожалению, ни вычислительные возможности, ни со

стояние математической науки не позволили тогда развить метод 
межотраслевого баланса настолько, чтобы можно было полноценно 
включить его в практику народнохозяйственного планирования 
и прогнозирования.

Раздел «Динамические модели» посвящен моделированию эко
номической динамики, основам теории случайных процессов и вероятностным моделям систем массового обслуживания. Теория 
случайных процессов — математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений в динамике их развития. Именно случайные процессы, представляющие собой функции неслучайного 
аргумента (например, времени) вероятностного описания величины, 
имеющей случайный характер и изменяющейся в процессе наблюдения, позволяют исследовать развивающиеся (динамические) 
случайные явления. Основу общей теории случайных процессов 
составляет теория марковских случайных процессов, выросшая 
из теории цепей Маркова. Цепь Маркова, т.е. последовательность 
случайных событий с конечным или счетным числом исходов, характеризующаяся свойством, что при фиксированном настоящем 
будущее не зависит от прошлого, названа в честь русского математика Андрея Андреевича Маркова-старшего (1856–1922), который 
в своих работах 1906–1907 гг. исследовал последовательности зависимых испытаний и связанных с ними сумм случайных величин.

Теория массового обслуживания — математическая наука, изу 
чающая рациональный выбор структуры системы обслуживания 
и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований 
на обслуживание, поступающих в систему и выходящих из нее, 
длительности ожидания и длины очереди. В основу теории массового обслуживания легла теория потока однородных событий, 
разработанная советским математиком Александром Яковлевичем Хинчиным (1894–1959). Первые задачи теории массового 
обслуживания были рассмотрены сотрудником Копенгагенской 
телефонной компании, датским математиком, статистиком и инженером Агнером Крарупом Эрлангом (1878–1929) в период между 
1908 и 1922 гг. Системы массового обслуживания представляют 
собой эффективный математический инструмент для исследования 
широкого круга реальных социально-экономических и демографических процессов.

Структурно учебное пособие состоит из четырех крупных 

частей: «Раздел I. Сведения из конкретной математики и теории 
вероятностей», «Раздел II. Концептуальные основы экономикоматематического моделирования», «Раздел III. Матричные модели 
и различные виды балансов», «Раздел IV. Динамические модели».

Для удобства читателей в разделе I учебного пособия приведены 

необходимые сведения из таких тем конкретной математики, как 
«Целочисленные функции», «Элементы комбинаторики», «Биномиальные коэффициенты», а также важнейших тем теории вероятностей: «Основные понятия теории вероятностей», «Основные 
теоремы теории вероятностей», «Последовательности независимых 
испытаний Бернулли», «Одномерные случайные величины», «Многомерные случайные величины».

Следует отметить, что столь важная (для полноценного, кор
ректного, адекватного и эффективного моделирования экономики) 
наука, как теория экономического риска, в значительной мере базируется на теории вероятностей и математической статистике 
(особенно такая ее часть, как система количественных показателей 
оценки уровня экономического риска) и на теории игр и статистических решений (особенно управление экономическим риском 
и риск-менеджмент).

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая за
кономерности случайных явлений и массовых однородных случайных событий. Математическая статистика — математическая 
наука, изучающая приближенные методы поиска законов и оценок 
числовых характеристик случайных величин по результатам экспериментов или наблюдений.

Теория вероятностей как самостоятельная наука зародилась 

в 1654 г. в переписке известных французских ученых Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по поводу решения 
двух знаменитых задач: задачи шевалье де Мере о подбрасывании 
игральных костей и задачи Луки Пачоли о разделе ставки. Итальянский математик, один из основателей современных принципов 
бухгалтерии монах-францисканец Лука Бартоломео де Пачоли 
(1445–1517) еще в 1494 г. опубликовал работу «Сумма [знаний] 
арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности». В этой книге, среди прочего, приведено несколько задач 
о справедливом разделе ставки при незавершенной игре двух лиц, 
подбрасывающих монету. Поиск правильного решения этих задач 
о справедливом разделе ставки занял более чем полтора столетия, 
хотя им занимались ведущие математики XVI и XVII вв.

Паскаль и Ферма, решив задачу Луки Пачоли, заложили основы 

теории вероятностей, что впоследствии позволило использовать вероятностные меры риска. Задача Луки Пачоли сыграла в истории 
науки особую роль. Многие исследователи считают 1494 г., год издания книги Луки Пачоли, содержащей задачи о разделе ставки, 
датой зарождения сразу трех наук: теории вероятностей, теории 
экономического риска и теории игр.

Начавшись с вычисления количества различных комбинаций 

при игре в кости и в другие азартные игры, теория вероятностей 
практически сразу же развилась в фундаментальную математическую науку, предоставившую человечеству мощный инструментарий для решения самых разных задач из самых разных сфер 
деятельности. В частности, методы и модели теории вероятностей 
и математической статистики широко применяются в теории 
и практике экономики, техники, физики.

Конкретная математика как самостоятельная наука зарожда
лась в последние десятилетия ХХ в. В это время в США Джон 
Хаммерсли написал статью «О снижении уровня математической 
подготовки в школах и университетах благодаря “современной 
математике” и подобной ей жидкой интеллектуальной похлебке» 
в связи с тем, что так называемая абстрактная математика как выхолощенная интеллектуальная дисциплина «страшно далека от народа».

Американский математик и специалист в области компьютерных 

наук Дональд Эрвин Кнут (род. в 1938 г.), приступив к написанию 
своей фундаментальной многотомной монографии «Искусство 
программирования для ЭВМ», также столкнулся с проблемой отсутствия в его арсенале важных математических инструментов, позволяющих решать конкретные задачи, а также досконально и обоснованно интерпретировать компьютерные программы.

Название «конкретная математика» «отцы-основатели» этой 

дисциплины Р.Л. Грэхем, Д.Э. Кнут и О. Паташник объясняют 
следующим образом: «КОНКРЕТНАЯ математика — это математические основы информатики, позволяющие применять технику 
работы с КОНтинуальными (непрерывными) объектами для работы с дисКРЕТНЫМИ объектами». Например, суммирование 
может выполняться по формулам, аналогичным вычислению 
определенных интегралов. Использование методов конкретной 
математики позволяет выполнять анализ и оптимизацию алгоритмов, быстрее получать результаты и значительно уменьшать 
общий объем вычислений. Приемы конкретной математики играют 
важную роль при вычислении вероятностей различных событий, 
числовых характеристик случайных величин и значений их статистических оценок.

Для удобства читателей в приложении к учебному пособию 

кратко изложены элементы теории матриц.

В результате изучения дисциплины «Моделирование эконо
мики» обучающиеся должны приобрести знания, умения, навыки 
и компетенции, необходимые в будущей профессиональной дея

тельности для самостоятельного системного применения экономико-математических методов и моделей, как в процессе анализа 
экономических ситуаций, коллизий и функционирования социально-экономических систем, так и в процессе принятия управленческих решений в экономике. Для успешного освоения материала, изложенного в учебном пособии, читатели должны владеть 
основными разделами курса «Высшая математика», прежде всего 
линейной алгеброй, включая матрицы, определители, системы линейных алгебраических уравнений, введением в математический 
анализ, дифференциальным исчислением, основными разделами 
курса «Теория вероятностей и математическая статистика», основными разделами курса «Математическое программирование», 
прежде всего линейным программированием, включая двойственность в линейном программировании, а также основными разделами курса «Эконометрика».

Учебное пособие подготовлено согласно требованиям образо
вательного стандарта, учебного плана и учебной программы дисциплины «Моделирование экономики», утвержденным Ученым 
советом ФГАОУ ВО «Крымский федеральный университет имени 
В.И. Вернадского».

В результате изучения дисциплины «Моделирование эконо
мики» у студентов должны быть сформированы необходимые компетенции. В частности, магистры должны:

знать

•  основные методы моделирования экономики, особенности при
менения соответствующих методов и моделей для проведения 
научно-исследовательских работ;
уметь

•  организовывать исследовательскую работу на основе методов 

системного анализа и математического моделирования для анализа экономических ситуаций, оценки эффективности, прогнозирования и принятия управленческих решений;
владеть

•  приемами применения методов моделирования экономики для 

проведения научно-исследовательских работ, анализа экономических ситуаций, оценки эффективности, прогнозирования 
и принятия управленческих решений.
Автор выражает искреннюю благодарность профессорам На
талье Владимировне Апатовой, Борису Леонидовичу Лавровскому 
и Николаю Васильевичу Смирнову за внимание к учебному пособию, ценные советы, замечания и рекомендации.