Математика в примерах и задачах

МАТЕМАТИКА
В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Допущено 
Министерством образования и науки 
Российской Федерации в качестве 
учебного пособия для студентов высших
учебных заведений, обучающихся 
по техническим специальностям

Москва
ИНФРА-М
2021

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

О.М. Дегтярева, Л.Н. Журбенко, 
Г.А. Никонова, Н.В. Никонова, 
С.Н. Нуриева

Дегтярева О.М.
Математика в примерах и задачах : учебное пособие / 
О.М. Дегтярева, Л.Н. Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В. Никонова, 
С.Н. Нуриева. — Москва : ИНФРАМ, 2021. — 372 с. — (Высшее 
образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-011256-5 (print)
ISBN 978-5-16-102288-7 (online)

Учебное пособие для студентов технических высших учебных 
заведений, обучающихся по программе бакалавров в соответствии 
с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего образования последнего поколения.

УДК 51(075.8)
ББК 22.11я73

Д26

УДК 51(075.8)
ББК 22.11я73
 
Д26

ISBN 978-5-16-011256-5 (print)
ISBN 978-5-16-102288-7 (online)
© Коллектив авторов, 2009

Р е ц е н з е н т ы:
д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры высшей математики Казанского 
государственного архитектурно-строительного университета Б.А. Кац;
д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной 
математики Казанского государственного университета Н.Б. Плещинский

Подписано в печать 30.04.2021. 
Формат 6090/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. 
Гарнитура Newton. Усл. печ. л. 23,25.
ППТ60. Заказ № 00000

ТК 102550-1588756-200708

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1.
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29.
E-mail: books@infra-m.ru       http://www.infra-m.ru

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Предисловие

Содержание учебного пособия позволяет получить практиче
ские навыки в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования для бакалавров направления «Технические науки». 

Данное учебное пособие и учебное пособие «Математика» 

Ю.М. Данилова, Л.Н. Журбенко, Г.А. Никоновой, Н.В. Никоновой, С.Н. Нуриевой [1] образуют единый учебно-методический 
комплект для студентов технических вузов, составленный в соответствии с модульной технологией. 

Связывающим элементом пособий служат опорные конспекты 

к разделам (подмодулям), входящим в каждый модуль. Они отражают в сжатой форме основной смысл подмодуля и содержат необходимые сведения для практического применения материала 
подмодуля. Вместе с тем учебное пособие может использоваться и 
самостоятельно. 

Подмодули включают учебные и практические задачи с реше
ниями и задачи для самостоятельного решения с ответами. В каждом подмодуле приведены варианты контрольных работ и типовых 
расчетных заданий. Компоновка задач проводится по схеме: от 
простого (стандартного) ⇒ к сложному (нестандартному) ⇒ к задачам с практическим содержанием. Типовые расчетные задания 
составлены по дедуктивному методу: задания в них формулируются в виде задач с параметрами или записаны в виде общей формулы, куда необходимо подставить индивидуальные для каждого 
студента значения. 

Пособие содержит достаточное количество задач для аудитор
ных занятий и для самостоятельной работы вне аудитории. В нем 
заложена структура дидактического процесса по схеме: 1) осмысление опорного конспекта, анализ задач с решениями ⇒ 2) самостоятельное решение задач с ответами, выполнение типового расчета ⇒ 3) в случае затруднения возвращение к 1) ⇒ 4) решение 
вариантов контрольных работ. Применение схемы делает возможным самостоятельное овладение практическими навыками по изученным темам, большое внимание уделено прикладным задачам. 

сПисок исПользуемых обозначений

⇔
— равносильность (эквивалентность)

∧
— и (конъюнкция)

∨
— или (дизъюнкция)

∀
— любой

∃
— существует

∃!
— существует и единственно

/∃
— не существует

⇒
— следует

:
— такое что

→
— стремится выполнять равенство

↑↑
— параллельны и одинаково направлены

↑↓
— параллельны и противоположно направлены

⊥
— перпендикулярность

∆, det — определитель
∞
— бесконечность, бесконечное множество

N, Z, Q, R, C — множества соответственно натуральных, целых, 

рациональных, действительных, комплексных чисел

Rn
— n-мерное векторное пространство с положительными 

значениями элементов

R+
— множество неотрицательных действительных чисел

≡
— тождественно

~
— эквивалентно

⊂
— включает

⊆
— включает или равно

∈
— принадлежит

∉
— не принадлежит

∅
— пустое множество

∪
— объединение множеств

∩
— пересечение множеств

\
— разность множеств

→:
— отображение множеств, соответствие

↔:
— взаимно-однозначное соответствие

О:
— определение

Т: ... — теорема
Л: ... 
— лемма

т.
— точка

гмт
— геометрическое место точек

— свойство 1

[ ]
— целая часть числа

{ }
— элементы множества, неопределенность

1, n
— все значения от 1 до n

б.м.
— бесконечно малая функция

б.б.
— бесконечно большая функция

э.
— экстремум

α = о(β) — б.м. более высокого порядка малости по сравнению с β
D( f )
— область определения функции

E( f )
— область допустимых значений функции

Uδ(a) — дельта-окрестность т. а, Ǔδ(a) = Uδ(a)\{a}
C[X]
— класс функций, непрерывных на множестве Х

C1[X] — класс функций, непрерывно дифференцируемых на мно
жестве Х

C[a,b]
— класс функций, непрерывных на отрезке [a, b]

М
— наибольшее значение функции на множестве

m
— наименьшее значение функции на множестве

f°ϕ
— суперпозиция функций f и ϕ

т.р.
— точка разрыва

т.п.
— точка перегиба


— возрастает


— убывает

∩
— выпуклый вверх (выпуклый)

∪
— выпуклый вниз (вогнутый)

λ
— диаметр ограниченной фигуры (тела)

OM




— радиус-вектор

∑
— сумма

!
— факториал

rang A — ранг матрицы A
Re
— действительная часть комплексного числа

Im
— мнимая часть комплексного числа

gradU — градиент скалярного поля U
div a
— дивергенция векторного поля a

Глава 1 

Элементы линейной алГебры 
и аналитической Геометрии 

1. линейнаЯ алГебра

опорный конспект № 1 

1.1. Определители, их свойства

A
a
a

a
a
= 






11
12

21
22

 — квадратная матрица II порядка

∆ ≡
=
=
det A
a
a

a
a
a a
a a
11
12

21
22

11 22
21 12 — определитель II порядка

∆ =
=

a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a
a
a

a

11
12
13

21
22
23

31
32
33

11

22
23

32
33

12

21
23

31
a
a
a
a

a
a
33

13

21
22

31
32

+
 —  

определитель III порядка

Свойства:

10. Транспонирование.
20. Разложение по ∀ ряду: det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ai3Ai3,  

Aij = (-1)i+jMij — алгебраическое дополнение;  
Mij — минор элемента aij.

30. Перестановка двух строк (столбцов) ⇒ смена знака ∆.
40. Условия равенства ∆ = 0.
50. Вынесение общего множителя ряда за знак ∆.
60. Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), ум
ноженной на число k ≠ 0, не меняет ∆.

1.2. Системы линейных уравнений. Методы Гаусса и Крамера

a x
b
i
m
ij
j

j

n

i

=∑
=
=

1

1
,
,

совместна
несовместна

определена
неопределена 

(∃! решение)
(∞ много решений)

Метод Гаусса — последовательное исключение неизвестных
Расширенная матрица

(
)

...
...

...
...
...
...
...

...

A B

a
a
a
b

a
a
a
b

a
a

n

n

m
m

\
=

11
12
1
1

21
22
2
2

1
2
a
b
mn
m



















~ матрице ступенчатого вида, чис
ло ее ненулевых строк = rang(A\B).
Формулы Крамера: m = n, 

∆ ≡
=
≠
det

...
...

...
...
...
...

...

,
A

a
a
a

a
a
a

a
a
a

n

n

n
n
nn

11
12
1

21
22
2

1
2

0
x
j
n
j

j
=
=
∆

∆ ,
, ;
1

∆j получается из ∆ заменой j-го столбца столбцом свободных 

членов

1.3. Действия над матрицами. Матричный способ решения СЛАУ

А = (аij),
B = (bij),
i
m
j
n
=
=
1
1
, ,
, ,
A = B ⇔ аij = bij

Сложение матриц: С = А + В = (аij + bij) 
Умножение матрицы на число µ: В = µА = (µаij)
Умножение матриц: А — размерности m×p, В — размерности p×n

C = A ⋅ B = (аi1b1j + аi2b2j + ... + аipbpj), (AB ≠ BA)

E =



















1
0
0
0

0
1
0
0

0
0
0
1

...
...

...
...
...
...
...

...

,
А = (аij), i, j
n
= 1, ⇒ AE = EA = A

A-1 — обратная к А = (аij), i, j
n
= 1, ⇔ АА-1 = Е

Т: А = (аij), i, j
n
= 1, ,
det A ≠ 0 ⇔ ∃А-1

A
A

A
A
A

A
A
A

A
A
A

n

n

n
n
nn

- =



1

11
21
1

12
22
2

1
2

1

det

...
...

...
...
...
...

...
















,

Aij — алгебраическое дополнение аij 
Матричная форма записи СЛАУ:
AX = B, А = (аij), i, j
n
= 1, , X = (xj), B = (bi) — матрицы-столбцы, 

det A ≠ 0 ⇒ X = A-1B

Задачи к разд. 1.1

Задача 1. Вычислить определители II порядка: 

а) 

1
4

5
2 ; б) sin
cos

sin
cos

.

2
2

2
2

α
α

β
β

Решение: По определению: 

а) 
=
1
4

5
2
 (-1)2 - 4(-5) = 18; 

б)

sin
cos

sin
cos

2
2

2
2

α
α

β
β

= sin2α cos2β - sin2β cos2α = 

= (sinα cosβ - sinβ cosα) ⋅ (sinα cosβ + cosα sinβ) = 
= sin(α - β)sin(α + β).

Задача 2. Вычислить определитель III порядка 

2
3
1

4
0
3

5
1
1




: а) по 

определению; б) разложением по второму столбцу.

Решение: а) по определению 
2
3
1

4
0
3

5
1
1

2 0
3

1
1
3 4
3

5
1
1 4
0

5
1




=

- +
=
(
)

= 2(-3) + 3 ⋅ 19 - 4 = -6 + 57 - 4 = 47;
б) по свойству 20 

2
3
1

4
0
3

5
1
1

1
3 4
3

5
1
1
1 2
1

4
3

3
5




= + =
(
) (
)
(
) (
)

= 3 ⋅ 19 + (-10) = 47.

Задача 3. Упростить и вычислить определитель III порядка 

∆ = 

1
2
5

3
4
7

3
12
15



.

Решение: Пользуясь свойством 50, вынесем множитель 3 из 

третьей строки за знак определителя, множитель 2 — из второго 
столбца, затем, пользуясь свойством 60, умножим первую строку 
на (-3) и сложим со второй строкой, прибавим первую строку к 

третьей, полученный определитель разложим по первому 
столбцу:

∆ =


=


=
=
3

1
2
5

3
4
7

1
4
5

6

1
1
5

3
2
7

1
2
5

6

1
1
5

0
5
8

0
3
0

=
⋅ ⋅ =
⋅
=
6 1
1
5
8

3
0
6 24
144
2
(
)
.

Задача 4. Упростить и вычислить определитель IV порядка 

∆ =

2
1
3
1

1
4
2
3

3
1
1
2

5
2
2
3




.

Решение: Получим нули во втором столбце определителя. Для 

этого умножим первую строку на (-4), (-1), (-2), и сложим соответственно со второй, третьей, четвертой строками. Полученный 
определитель разложим по второму столбцу:

∆ =




=
⋅ 


=

= 

2
1
3
1

7
0
10
7

1
0
4
3

9
0
8
5

1
1

7
10
7

1
4
3

9
8
5

2

7
5
7

1

3
(
)



= - 
+
+










 =

= - +
+

2
3

9
4
5

2
7 2
3

4
5
5 1
3

9
5
7 1
2

9
4

2
7
10
12
[
(
)
5 5
27
7
4
18
16
(
)
(
)]
.
+
+
- =

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить определители II порядка:

1) 3
10

2
6 ;; 2)
2
3

1
2

; 3) sin
cos

cos
sin

α
α

α
α

; 4) 1
1

1
2
x
x

; 5)
a

a
a

-1 .

Вычислить определители двумя способами: пользуясь опреде
лением и разложив их по элементам указанного ряда:

6) 4
2
1

5
3
2

3
2
1


 по элементам 2-го столбца; 

7) 0
1
1

1
0
1

1
1
0

 по элементам 3-й строки;

8)
1
1
1

4
5
9

16
25
21

 по элементам 1-го столбца;

9) 3
4
5

8
7
2

2
1
8



 по элементам 2-й строки.

Упростить и вычислить определители:
10) a
a
a

a
a
a

a
a
a




; 11) 2
3
4

5
2
1

1
2
3


; 12) 12
6
4

6
4
4

3
2
8

; 13) 1
2
3

4
5
6

7
8
9

.

Найти x из уравнений: 
14) 2
4

1
4
0
x = ; 15) x
x
x

+

+
=
1

4
1
0;

16) x

x

2
4
9

2
3

1
1
1

0
= ;

17)
3
2
1
3

10
1
1

0

x
x

x



+

=
.

.

Упростить и вычислить определители IV порядка:
18)
2
5
4
3

3
4
7
5

4
9
8
5

3
2
5
3



; 19) 3
1
5
3

5
3
4
2

7
5
1
1

1
3
7
5


;

20) 2
1
1
0

0
1
2
1

3
1
2
3

3
1
6
1




; 21)
8
7
2
10

8
2
7
10

4
4
4
5

0
4
3
2



.