Теория вероятностей

Национальный исследовательский университет МЭИ 
Финансовый университет  
при правительстве Российской Федерации 
_____________________________________________________________ 
А.А. Туганбаев 
Е.И. Компанцева 
ТЕОРИЯ 
ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
Учебник 
2-е издание, стереотипное
Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2018 

УДК 519.2(075.8) 
ББК  22.171я73 
    Т81 
Туганбаев А.А. 
Теория вероятностей [Электронный ресурс]: учебник / 
А.А. Туганбаев, Е.И. Компанцева. — 2-е изд., стер. — М. : 
ФЛИНТА, 2018. — 182 с. 
ISBN 978-5-9765-3439-1
Данная книга написана на основе курсов по теории вероятностей, читаемых авторами в течение многих лет студентам 
разных специальностей (в том числе технических, педагогических и экономических). Имеется относительно много учебной 
литературы по теории вероятностей. Однако сохраняется потребность в небольших по объему учебниках, где тщательно 
отобранный теоретический материал был бы представлен 
четко, кратко, без излишних математических формальностей. 
Авторы старались изложить предмет просто и наглядно, не 
стремясь к полной математической строгости. Книга помимо 
теоретической части включает задачник, решебник и сборник 
контрольных заданий. 
УДК 519.2(075.8) 
ББК  22.171я73 
ISBN 978-5-9765-3439-1 
    © Туганбаев А.А., Компанцева Е.И., 2018 
 © Издательство «ФЛИНТА», 2018 

Оглавление 
Предисловие .......................................................................................... 5 
1. Случайные события и их вероятности ....................................... 6 
1.1. Случайные события ................................................................. 6 
1.2. Элементы комбинаторики ..................................................... 13 
1.3. Классическое определение вероятности .............................. 18 
1.4. Статистическое определение вероятности .......................... 21 
1.5. Геометрическое определение вероятности .......................... 24 
1.6. Аксиоматическое определение вероятности ....................... 25 
1.7. Умножение вероятностей ...................................................... 27 
1.8. Сложение вероятностей ......................................................... 32 
1.9. Формулы полной вероятности и Байеса .............................. 36 
1.10. Формулы Бернулли, Лапласа и Пуассона .......................... 41 
2. Случайные величины .................................................................. 56 
2.1. Случайная величина и ее функция распределения ............. 56 
2.2. Дискретные случайные величины ........................................ 59 
2.3. Числовые характеристики дискретных случайных  
величин ........................................................................................... 66 
2.4. Основные законы распределения дискретных  
случайных величин ....................................................................... 71 
2.5. Непрерывные и абсолютно непрерывные случайные  
величины ........................................................................................ 76 
2.6. Основные законы распределения непрерывных 
случайных величин ....................................................................... 81 
2.7. Случайные векторы ............................................................... 88 
2.8. Функции от случайных величин и векторов ....................... 94 
2.9. Числовые характеристики случайных векторов ................. 98 
2.10. Нормальное распределение двумерного случайного 
вектора ......................................................................................... 108 
2.11. Случайные последовательности ....................................... 113 
2.12. Предельные теоремы теории вероятностей .................... 117 
3

3. Задачи ........................................................................................... 127 
3.1. Задачи с краткими решениями ........................................... 127
3.2. Задачи для самостоятельного решения ............................... 156 
Контрольные задания ................................................................. 167 
4. Таблицы ....................................................................................... 176 
Предметный указатель ..................................................................... 179 
 
 

□

1. Случайные события и их вероятности
1.1. Случайные события
Теория вероятностей  это раздел математики, в котором изучаются закономерности в случайных явлениях. При описании
окружающего нас мира в теории вероятностей используется
набор строго определенных понятий, символов и операций над
этими символами. Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие события. Событие определяется
тем, произошло или не произошло некоторое явление. Например, событиями будут выпадение определенного числа очков
на игральной кости, попадание в цель при выстреле, лунное
затмение, выпадение снега и автомобильная авария.
Приведенное определение события для математических рассуждений не пригодно. В рамках теории вероятностей мы отвлекаемся от всех несущественных для математического анализа свойств события, и с этой точки зрения событие имеет
только одно свойство появляться или не появляться. Именно
такие абстрактные события мы и будем рассматривать.
В окружающем мире между событиями имеется связь. Поэтому естественно рассматривать события не изолированно, а при
учете порождающего их комплекса условий. Другими словами,
события в теории вероятностей рассматриваются как результат некоторого опыта, происходящего в природе либо по нашей воле, либо независимо от нее, либо вопреки нам.
Если при воспроизведении опыта событие может произойти, а
может и не произойти, то событие называют случайным. Например, случайными событиями, будут результат подбрасывания игральной кости или монеты; безотказная работа некоторого устройства в течение указанного времени; наследование
потомками определенной комбинации генов родителей.
Пример. Бросается игральная кость. В результате могут возникнуть различные ситуации. Например:
 Число выпавших очков может равняться 1, 2, 3, 4, 5 или 6.
6

 Число выпавших очков может быть больше четырех.
 Число выпавших очков может быть четным.
Для данного случая мы рассмотрим некоторые понятия.
Опыт: Бросание игральной кости.
Элементарные исходы опыта
wk выпало k очков, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Событие A: выпало более четырех очков; A = {w5, w6}.
Событие B: выпало четное число очков; B = {w2, w4, w6}.
Математическая модель. Опыт или испытание  первичное неопределяемое понятие. Под опытом понимается набор
условий, при которых наблюдается тот или иной результат.
Элементарное событие или элементарный исход  первичное
неопределяемое понятие. В результате опыта происходит ровно
одно элементарное событие.
Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий или пространством элементарных исходов. Оно обозначается через Ω= {w1, w2, . . .}.
Случайным событием называется любое подмножество пространства элементарных событий, т.е. A  случайное событие
⇐
⇒A ⊆Ω. Поэтому мы можем представить событие A в виде
A = {wi1, . . . , wik, . . .}.
В этом случае элементарные исходы wi1, . . . , wik, . . . называются исходами, благоприятствующими A.
Говорят, что событие A наступило (произошло), если в результате опыта произошел элементарный исход, благоприятствующий событию A.
Пример.
Опыт: Бросают игральную кость. Пространство элементарных исходов Ω= {w1, w2, w3, w4, w5, w6}, где wk  выпало k
очков.
Событие A: выпало более 4 очков; A = {w5, w6}.
7

Исходы, благоприятствующие A: w5, w6; A наступает, если
выпадает 5 или 6 очков.
Пространство элементарных исходов часто изображаются в виде прямоугольника, а события кругами внутри этого прямо
A
Ω
рис. 1.1.
угольника:

Если A = Ω пространство элементарных исходов, то A называют достоверным событием. Иными словами, событие достоверно, если при каждом воспроизведении опыта оно неизбежно
происходит.
Если A = ∅, (∅⊆Ω), то A называют невозможным событием.
Иными словами, событие невозможно, если при воспроизведении опыта оно произойти не может. Например, при температуре 20◦C и атмосферном давлении (комплекс условий) вода
будет находиться в жидком состоянии (достоверное событие),
а в твердом состоянии находиться не может (невозможное событие).
Для событий A, B, . . . из множества Ωвведем в рассмотрение
следующие понятия.
События A и B называются равными (или эквивалентными,
или равносильными), если им благоприятствуют одни и те же
элементарные исходы, Другими словами, A и B равны, если
при каждом воспроизведении опыта события A и B или происходят или оба не происходят, и записывают этот факт в виде
A = B.
Суммой событий A и B называется событие A+B = A∪B. Событие A+B состоит в наступлении хотя бы одного из событий
A или B.
Суммой
конечного
или
бесконечного
множества
событий
A1, A2, . . . называется событие A1 + A2 + . . . = A1 ∪A2 ∪. . ..
Событие A1 + A2 + . . . состоит в наступлении хотя бы одного
из событий A1, A2, . . ..
8

Геометрическая интерпретация события A + B приведена в
первой части приведенного ниже рисунка 1.2.
Ω
$
'
'$
'$
'$




A

A + B

A · B

A \ B

&%
&%
&%
&
%
рис. 1.2.
Табличная
интерпретация
события
A + B
приведена
в
следующей таблице, где знак , , +′′ обозначает наступление
события, а знак , , −′′ обозначает ненаступление события:
A
B
A + B
+
+
+
.
+
−
+
−
+
+
−
−
−
Пример. Пусть бросается игральная кость.
Событие A: Выпало четное число очков,
A = {w2, w4, w6} = {w2} + {w4} + {w6}.
Событие B: Выпало число очков, кратное 3, B = {w3, w6} =
{w3} + {w6}.
Тогда A + B = {w2, w3, w4, w6}.
Произведением событий A и B, называется событие AB = A ∩
B. Это значит, что событие AB состоит в наступлении каждого
из событий A и B.
Произведением A1 · A2 · . . . или A1 ∩A2 ∩. . ..
Произведением конечного или бесконечного множества событий A1, A2, . . . называется событие A1 · A2 · . . . = A1 ∩A2 ∩. . .,
т.е.событие A1 · A2 · . . . состоит в наступлении каждого из событий A1, A2, . . ..
Геометрическая интерпретация события A · B приведена во
второй части приведенного выше рисунка 1.2.
Табличная интерпретация события A · B приведена в следу9

ющей таблице, где знак + обозначает наступление события, а
A
B
A · B
+
+
+
.
+
−
−
знак −обозначает ненаступление события:
−
+
−
−
−
−
Пример. Пусть бросается игральная кость.
Событие A: Выпало четное число очков, A = {w2, w4, w6}.
Событие B: Выпало число очков, кратное 3, B = {w3, w6}.
Тогда AB = {w6}.
Разностью событий A и B называется событие A \ B, которое
происходит, если событие A происходит, а B не происходит.
Геометрическая интерпретация события A \ B приведена в
третьей части приведенного выше рисунка 1.2.
Табличная
интерпретация
события
A \ B
приведена
в
следующей
таблице,
где
знак
+
обозначает
наступление
события,
а
знак
−−
обозначает
ненаступление
события:
A
B
A \ B
+
+
−
.
+
−
+
−
+
−
−
−
−
Событием, противоположным к событию A, называется событие A = Ω\ A. Это значит, что событие A наступает, когда не
наступает событие A.
Геометрическая интерпретация события A приведена в четвертой части рисунка 1.2.
Табличная интерпретация события A приведена в следующей
таблице, где знак + обозначает наступление события, а знак −
.
обозначает ненаступление события:
A
A
+
−
−
+
10