Теория вероятностей

Национальный исследовательский университет МЭИ 

Финансовый университет  
при правительстве Российской Федерации 
_____________________________________________________________ 

А.А. Туганбаев 
Е.И. Компанцева 

ТЕОРИЯ 
ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

Учебник 

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 

2018 

2-е издание, стереотипное

УДК 519.2(075.8) 
ББК  22.171я73 
    Т81 

Туганбаев А.А. 

Теория вероятностей [Электронный ресурс]: учебник / 
А.А. Туганбаев, Е.И. Компанцева. — 2-е изд., стер. — М. : 
ФЛИНТА, 2018. — 182 с. 

ISBN 978-5-9765-3439-1

Данная книга написана на основе курсов по теории вероятностей, читаемых авторами в течение многих лет студентам 
разных специальностей (в том числе технических, педагогических и экономических). Имеется относительно много учебной 
литературы по теории вероятностей. Однако сохраняется потребность в небольших по объему учебниках, где тщательно 
отобранный теоретический материал был бы представлен 
четко, кратко, без излишних математических формальностей. 
Авторы старались изложить предмет просто и наглядно, не 
стремясь к полной математической строгости. Книга помимо 
теоретической части включает задачник, решебник и сборник 
контрольных заданий. 
УДК 519.2(075.8) 
ББК  22.171я73 

ISBN 978-5-9765-3439-1 
    © Туганбаев А.А., Компанцева Е.И., 2018 
 © Издательство «ФЛИНТА», 2018 

Оглавление 

Предисловие .......................................................................................... 5 

1. Случайные события и их вероятности ....................................... 6 
1.1. Случайные события ................................................................. 6 
1.2. Элементы комбинаторики ..................................................... 13 
1.3. Классическое определение вероятности .............................. 18 
1.4. Статистическое определение вероятности .......................... 21 
1.5. Геометрическое определение вероятности .......................... 24 
1.6. Аксиоматическое определение вероятности ....................... 25 
1.7. Умножение вероятностей ...................................................... 27 
1.8. Сложение вероятностей ......................................................... 32 
1.9. Формулы полной вероятности и Байеса .............................. 36 
1.10. Формулы Бернулли, Лапласа и Пуассона .......................... 41 

2. Случайные величины .................................................................. 56 
2.1. Случайная величина и ее функция распределения ............. 56 
2.2. Дискретные случайные величины ........................................ 59 
2.3. Числовые характеристики дискретных случайных  
величин ........................................................................................... 66 
2.4. Основные законы распределения дискретных  
случайных величин ....................................................................... 71 
2.5. Непрерывные и абсолютно непрерывные случайные  
величины ........................................................................................ 76 
2.6. Основные законы распределения непрерывных 
случайных величин ....................................................................... 81 
2.7. Случайные векторы ............................................................... 88 
2.8. Функции от случайных величин и векторов ....................... 94 
2.9. Числовые характеристики случайных векторов ................. 98 
2.10. Нормальное распределение двумерного случайного 
вектора ......................................................................................... 108 
2.11. Случайные последовательности ....................................... 113 
2.12. Предельные теоремы теории вероятностей .................... 117 

3

3. Задачи ........................................................................................... 127 

3.1. Задачи с краткими решениями ........................................... 127
3.2. Задачи для самостоятельного решения ...............................156 
Контрольные задания ................................................................. 167 

4. Таблицы ....................................................................................... 176 

Предметный указатель ..................................................................... 179 

□

1. 1.1. , . , . . , . , , , , .

. , . .

. , . ,
, , , .

, , . , , ; ; .

. . . :

1, 2, 3, 4, 5 6.

6

.

.

.

: .

wk k , k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

A: ; A = {w5, w6}.

B: ; B = {w2, w4, w6}.

. . , .

. .

. Ω = {w1, w2, . . .}.

, .. A ⇐⇒ A ⊆ Ω. A A = {wi1, . . . , wik, . . .}.

wi1, . . . , wik, . . . , A.

, A (), , A.

.
: . Ω = {w1, w2, w3, w4, w5, w6}, wk k
.

A: 4 ; A = {w5, w6}.

7

, A: w5, w6; A , 5 6 .

, :

A
Ω





. 1.1.

A = Ω , A . , , .

A = ∅, (∅ ⊆ Ω), A .
, , . , 20◦ C () (),
().

A, B, . . . Ω .

A B (,
), , , A B , A B , A = B.

A B A+B = A∪B. A+B A B.

A1, A2, . . . A1 + A2 + . . . = A1 ∪ A2 ∪ . . ..
A1 + A2 + . . . A1, A2, . . ..

8

A + B 1.2.

Ω

A + B




&%

'$

A · B




&%

'$

A \ B




&%

'$

A

'

&

$

%





. 1.2.

A + B
, , , +′′ , , , −′′ :
A
B
A + B

+
+
+

+
−
+

−
+
+

−
−
−

.

. .

A: ,
A = {w2, w4, w6} = {w2} + {w4} + {w6}.

B: , 3, B = {w3, w6} =
{w3} + {w6}.

A + B = {w2, w3, w4, w6}.

A B, AB = A ∩
B. , AB A B.

A1 · A2 · . . . A1 ∩ A2 ∩ . . ..

A1, A2, . . . A1 · A2 · . . . = A1 ∩ A2 ∩ . . .,
..A1 · A2 · . . . A1, A2, . . ..

A · B 1.2.

A · B 9

, + , − :

A
B
A · B

+
+
+

+
−
−

−
+
−

−
−
−

.

. .

A: , A = {w2, w4, w6}.

B: , 3, B = {w3, w6}.

AB = {w6}.

A B A \ B, , A , B .

A \ B 1.2.

A \ B
,
+
,
−−
:

A
B
A \ B

+
+
−

+
−
+

−
+
−

−
−
−

.

, A, A = Ω \ A. , A , A.

A 1.2.

A , + , −

:
A
A

+
−

−
+

.

10

. .

A: , A = {w2, w4, w6}.

B: , 3, B = {w3, w6}.

A \ B = {w2, w4}, A = {w1, w3, w5}.

. . , A ¯B+C A
B
C
B
A ¯B
A ¯B + C

+
+
+
−
−
+

+
+
−
−
−
−

+
−
+
+
+
+

+
−
−
+
+
+

−
+
+
−
−
+

−
+
−
−
−
−

...

B A, A ⊆ B. A B.

. .

A: , A = {w2, w4, w6}.

B:
,
1,
B
=
{w2, w3, w4, w5, w6}.

A ⊆ B, B A.

A B , A ⊆ B B ⊆
A, .. A B .

A B , , . . A · B = ∅.

. .

A: 7 ; A .

B: ; B .

11

C: 4 ; C 4 , C = {w5, w6}, C = {w1, w2, w3, w4}.

D: 1 ; D = w1, CD = ∅, C D
.

. (A + B)B + A(AB).

B ⊆ A+B AB ⊆ A, (A+B)B = B A(AB) = AB.
(A + B)B + A(AB) = B + AB = B.

. A, B C , , Ω , ∅ .

1.1. A, B, C :

1.
A + B = B + A
1′.
AB = BA

2.
(A + B) + C = A + (B + C)
2′.
(AB)C = A(BC)

3.
A(B + C) = AB + AC
3′.
A + BC = (A + B)(A + C)

4.
A + B = A · B
4′.
AB = A + B

5.
A1 + . . . + An = A1 · . . . · An
5′.
A1 · . . . · An = A1 + . . . + An

6.
A + A = A
6′.
A · A = A

7.
A + Ω = Ω
7′.
A · Ω = A

8.
A + ∅ = A
8′.
A · ∅ = ∅

9.
A + A = Ω
9′.
A · ¯A = ∅

10.
A \ B = A ¯B
10′.
A + B = A + AB

, 1'10' 110 , , +′′ , , ·′′ Ω ∅ ().

. , .

, 6 . w ∈
A1 + . . . + An , w /∈ A1 + . . . + An. , , w /∈ A1, w /∈ A2, . . .,
w /∈ An, .. w ∈ A1 · . . . · An. A1 + . . . + An
A1·. . .·An , .

10
:

12