Математика для решения прикладных задач

Л.Ю. Уразаева 

МАТЕМАТИКА  
ДЛЯ РЕШЕНИЯ  
ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ 

Монография 

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2017 

УДК 519 
ББК  22.19 
 У68 

Уразаева Л.Ю. 
У68     Математика для решения прикладных задач [Электронный ресурс] : 
монография / Л.Ю. Уразаева. — М. : ФЛИНТА, 2017. — 55 с. 

ISBN 978-5-9765-3333-2 

Книга посвящена приложениям математики. Будет полезна студентам, 
преподавателям и школьникам. 

УДК 519 
ББК  22.19 

ISBN 978-5-9765-3333-2            © Уразаева Л.Ю., 2017 
© Издательство «ФЛИНТА», 2017 

одержание 

Введение ............................................................................................ 4 

Численные методы. Численное интегрирование .......................... 9 

Аппроксимация функций с помощью 

интерполяционных многочленов. Многочлен Лагранжа .......... 21 

Решение нелинейных уравнений .................................................. 24 

Численное решение обыкновенных 

дифференциальных уравнений ..................................................... 28 

Основы методов  оптимизации ..................................................... 31 

Практикум. Численные методы .................................................... 34 

Практикум. Методы оптимизации ............................................... 42 

Литература ...................................................................................... 53 

С

3 

ведение 

Известные ученые издавна всегда подчеркивали 

особую роль математики в познании мира, Вселенной. Так Галилей писал, 

что 
философия 
природы 
написана 
в 
грандиозной 
книге, 

а сама  книга изложена на языке математики.  

В  свою очередь Иммануил Кант подчеркивал, что учение о природе 

будет содержать науку только тогда, когда к этому учению будет применена 

математика. Альберт Эйнштейн считал, что только математика дает точным 

естественным наукам определенную меру уверенности в научных выводах. 

В математике исторически  различают два направления: чистую и 

прикладную. Математика возникла, прежде всего,  как прикладная наука, для 

удовлетворения  
потребностей 
человеческого общества. 
Постепенно 

накапливая результаты исследований и решений прикладных задач, ученые 

получили возможность проведения теоретических обобщений прикладных 

математических исследований, возникла необходимость построения чисто 

теоретических математических теорий, для обоснования математических 

методов. 
Технические 
открытия, 
общественные 
явления 
всегда 

стимулировали  разработку новых математических теорий и методов. 

Чистая математика — это та часть математики, которая не занимается 

прикладными задачами. К чистой математике относят арифметику, алгебру, 

высший анализ (функциональный анализ, анализ бесконечно малых величин, 

а также дифференциальное исчисление, интегральное исчисление и 

вариационное исчисление), теорию чисел, геометрию, тригонометрию. 

В

4 

Чистая математика-это развитие математики в себе. Мы сами 

устанавливаем исходные правила-аксиомы и строим торию на основе правил 

логического вывода. 

По словам Бертрана Рассела: «Чистая математика — это такой предмет, 

где мы не знаем истинно ли то, о чём мы говорим». 

Прикладная математика в отличие от чистой математики рассматривает 

применение математических методов для решения практических задач. 

Разделами 
прикладной 
математики 
являются: 
численные 
методы, 

математическая 
физика, 
 
методы 
оптимизации, 
математическое 

моделирование, финансовая  математика и др. Суть чистой математики в 

применении математических методов к решению  прикладных задач, 

формализованных с помощью построения  математических моделей. 

Прикладные исследования связаны с анализом реальных проблем, 

результатом подобных исследований являются конкретные решения. 

Ученому в области прикладной математики  нужно не только провести 

исследование и  обосновать свои выводы и решения.  

Предметом прикладной математики являются природные явления, 

социально-экономические процессы, производственные системы и многое 

другое,  

Основной инструмент прикладных математиков это математическое 

моделирование. 

Математические открытия, возникнув из потребностей практики, 

постепенно обобщались и становились основой чисто математической 

теории. Так открытия в механике, приведи к использованию производных, 

затем стала развиваться теория дифференциальных исчислений, а, в 

5 

следствие, 
возник 
и 
выделился 
важнейший 
раздел 
математики 
- 

математический анализ. 

В то же время в истории математики присутствуют факты, 

подтверждающие то, что чистая математика, развиваясь, неожиданно 

находит свои применения при решении прикладных задач. Примером может 

служить теория чисел, которая нашла применение в криптографии. 

Математический аппарат в настоящее время настолько развит, что в 

настоящее время  с различной степенью точности можно описать различные 

природные явления и социально-экономические, биологические, физические 

процессы. 

Большинство ученых считает разделение математики на чистую и 

прикладную искусственным. Так А.Китайгородский и Л. Кудрявцев писали о 

том, что  математика является  единой, а строгое  деление математики на 

чистую и прикладную невозможно, так как это суть части единого 

неразрывного целого 

Великий российский математик П. Л.Чебышев считал, что интеграция 

теории с практикой всегда  благотворна, способствует развитию математики 

в целом, новым открытиям. 

Все ученые признают, что математика имеет два источник а развития: 

требования практики, и внутривенные стимулы  саморазвития математики. 

Любое общество требует образованных людей, знающих математику, 

причем не только для выполнения бытовых расчетов, но и для проведения 

научных исследований, производственных и научных расчетов с помощью 

математики. Для этого надо учить математике. Обучение математике дело 

непростое и требует учета особенностей обучаемого. Еще Аристотель (384
322 до н.э.) писал о том, что усвоение преподанного зависит от привычек 

6