Математика для решения прикладных задач

Л.Ю. Уразаева 

МАТЕМАТИКА  
ДЛЯ РЕШЕНИЯ  
ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ 

Монография 

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2017 

УДК 519 
ББК  22.19 
 У68 

Уразаева Л.Ю. 
У68     Математика для решения прикладных задач [Электронный ресурс] : 
монография / Л.Ю. Уразаева. — М. : ФЛИНТА, 2017. — 55 с. 

ISBN 978-5-9765-3333-2 

Книга посвящена приложениям математики. Будет полезна студентам, 
преподавателям и школьникам. 

УДК 519 
ББК  22.19 

ISBN 978-5-9765-3333-2            © Уразаева Л.Ю., 2017 
© Издательство «ФЛИНТА», 2017 

одержание 

Введение ............................................................................................ 4 

Численные методы. Численное интегрирование .......................... 9 

Аппроксимация функций с помощью 

интерполяционных многочленов. Многочлен Лагранжа .......... 21 

Решение нелинейных уравнений .................................................. 24 

Численное решение обыкновенных 

дифференциальных уравнений ..................................................... 28 

Основы методов  оптимизации ..................................................... 31 

Практикум. Численные методы .................................................... 34 

Практикум. Методы оптимизации ............................................... 42 

Литература ...................................................................................... 53 

С

3 

ведение 

Известные ученые издавна всегда подчеркивали 

особую роль математики в познании мира, Вселенной. Так Галилей писал, 

что 
философия 
природы 
написана 
в 
грандиозной 
книге, 

а сама  книга изложена на языке математики.  

В  свою очередь Иммануил Кант подчеркивал, что учение о природе 

будет содержать науку только тогда, когда к этому учению будет применена 

математика. Альберт Эйнштейн считал, что только математика дает точным 

естественным наукам определенную меру уверенности в научных выводах. 

В математике исторически  различают два направления: чистую и 

прикладную. Математика возникла, прежде всего,  как прикладная наука, для 

удовлетворения  
потребностей 
человеческого общества. 
Постепенно 

накапливая результаты исследований и решений прикладных задач, ученые 

получили возможность проведения теоретических обобщений прикладных 

математических исследований, возникла необходимость построения чисто 

теоретических математических теорий, для обоснования математических 

методов. 
Технические 
открытия, 
общественные 
явления 
всегда 

стимулировали  разработку новых математических теорий и методов. 

Чистая математика — это та часть математики, которая не занимается 

прикладными задачами. К чистой математике относят арифметику, алгебру, 

высший анализ (функциональный анализ, анализ бесконечно малых величин, 

а также дифференциальное исчисление, интегральное исчисление и 

вариационное исчисление), теорию чисел, геометрию, тригонометрию. 

В

4 

Чистая математика-это развитие математики в себе. Мы сами 

устанавливаем исходные правила-аксиомы и строим торию на основе правил 

логического вывода. 

По словам Бертрана Рассела: «Чистая математика — это такой предмет, 

где мы не знаем истинно ли то, о чём мы говорим». 

Прикладная математика в отличие от чистой математики рассматривает 

применение математических методов для решения практических задач. 

Разделами 
прикладной 
математики 
являются: 
численные 
методы, 

математическая 
физика, 
 
методы 
оптимизации, 
математическое 

моделирование, финансовая  математика и др. Суть чистой математики в 

применении математических методов к решению  прикладных задач, 

формализованных с помощью построения  математических моделей. 

Прикладные исследования связаны с анализом реальных проблем, 

результатом подобных исследований являются конкретные решения. 

Ученому в области прикладной математики  нужно не только провести 

исследование и  обосновать свои выводы и решения.  

Предметом прикладной математики являются природные явления, 

социально-экономические процессы, производственные системы и многое 

другое,  

Основной инструмент прикладных математиков это математическое 

моделирование. 

Математические открытия, возникнув из потребностей практики, 

постепенно обобщались и становились основой чисто математической 

теории. Так открытия в механике, приведи к использованию производных, 

затем стала развиваться теория дифференциальных исчислений, а, в 

5 

следствие, 
возник 
и 
выделился 
важнейший 
раздел 
математики 
- 

математический анализ. 

В то же время в истории математики присутствуют факты, 

подтверждающие то, что чистая математика, развиваясь, неожиданно 

находит свои применения при решении прикладных задач. Примером может 

служить теория чисел, которая нашла применение в криптографии. 

Математический аппарат в настоящее время настолько развит, что в 

настоящее время  с различной степенью точности можно описать различные 

природные явления и социально-экономические, биологические, физические 

процессы. 

Большинство ученых считает разделение математики на чистую и 

прикладную искусственным. Так А.Китайгородский и Л. Кудрявцев писали о 

том, что  математика является  единой, а строгое  деление математики на 

чистую и прикладную невозможно, так как это суть части единого 

неразрывного целого 

Великий российский математик П. Л.Чебышев считал, что интеграция 

теории с практикой всегда  благотворна, способствует развитию математики 

в целом, новым открытиям. 

Все ученые признают, что математика имеет два источник а развития: 

требования практики, и внутривенные стимулы  саморазвития математики. 

Любое общество требует образованных людей, знающих математику, 

причем не только для выполнения бытовых расчетов, но и для проведения 

научных исследований, производственных и научных расчетов с помощью 

математики. Для этого надо учить математике. Обучение математике дело 

непростое и требует учета особенностей обучаемого. Еще Аристотель (384
322 до н.э.) писал о том, что усвоение преподанного зависит от привычек 

6 

слушателя. Непривычное изложение может оказаться неподходящим. 

Аристотель отмечал, что некоторые слушатели не воспринимают материал в 

математизированном изложении, другие не принимают информацию без 

примеров,  третьи требуют ссылок на известных ученых при изложении 

учебного материала. Однако при изложении отдельных предметов изложение 

должно быть математически точным... (Аристотель "Метафизика"). 

Решение прикладных задач  требует  получения результатов 

математических задач в числовом виде.  Для практиков недостаточно 

доказательства 
 
существования 
и 
единственности 
 
решения, 
для 

производственных и экономических процессов нужны конкретные числа, а 

не просто аналитические    формулы, представляющие  решения задач.  

В ряде случаев  наличие  формулы оказывается малоэффективным для 

получения 
конкретных 
числовых 
значений. 
 
Всегда 
существует 

необходимость решать и такие математические задачи,  для описания 

зависимостей 
в 
которых 
имеются 
лишь 
результаты 
численных 

экспериментов. Во всех этих случаях требуется  использование методов 

численного решения. Методы вычислительной математики всегда составляли 

важную часть прикладной  математики,  изучение численных методов было 

составной частью математического и инженерного образования.  

Развитию и распространению численных методов способствовало 

развитие компьютерных технологий, расширение круга задач решаемых 

методами прикладной математики. Математическое и компьютерное 

моделирование в настоящее время являются наиболее востребованными 

методами исследований в современной науке. 

Приближенные методы, как правило, состоят в замене исходной задаче 

ее упрощенным аналогом, решение упрощенной задачи и используется для 

аппроксимации истинного решения. 

7 

В 
пособии 
сделана 
попытка 
освещения 
важнейших 
методов 

прикладной математики: численных методов и методов оптимизации. 

Приведены краткие основные теоретические сведения, практические задания 

и контрольные вопросы. 

8 

исленные 
методы. 
Численное 

интегрирование

Важнейшей задачей при решении прикладных задач является 

вычисление определенного интеграла: 

Эта вычислительная  задача встречается как самостоятельная задача 

при вычислении площадей, произведенной работы, или как составная часть 

некоторых более сложных задач. 

Подынтегральная функция ( )
f x  может быть задана: 

1. явно, формулой  ( )
f x ;

2. графически, причем значение 
( )
f x  может быть вычислено при

любом x  из отрезка [
]
,a b ;

3. таблично {
}
, ( )
i
i
x f x
для  конечного набора  точек 
ix из отрезка 

[
]
,a b .

Аналитическое вычисление возможно лишь в первом случае, и то для 

«берущихся» интегралов, во всех остальных случаях используют численные 

методы, которые позволяют найти  приближенное численное значение 

определенного интеграла с заданной  степенью точности. 

Ч

9 

Численные  методы приближенного интегрирования основаны  на 

использовании геометрического смысла определенного интеграла. 

Геометрический смысл определенного интеграла состоит  в том, что 

определенный интеграл численно равен площади S криволинейной 

трапеции(
)
aABb , ограниченной графиком функции 
( )
f x , осью абсцисс и 

двумя прямыми x
a
=  и x
b
= (рис. 1). 

Рисунок 1. Геометрический смысл определенного интеграла 

Как 
правило, 
при 
приближенном 
интегрировании 
используют 

квадратурные формулы, которые получаются в результате интегрирования 

другой функции на том же интервале интегрирования, но более простой, чем 

исходная функция. 

При  приближенном интегрировании с использованием квадратурных 

формул  отрезок интегрирования  [а, b] разбивается на n частей, 

подынтегральная 
функция 
( )
f x  
заменяется 
другой 
удобной 
для 

интегрирования функцией 
( )x
φ
. Для приближения 
( )
f x  часто используют 

полиномы,  тригонометрические функции. Как правило, требуется, чтобы 

таблицы значений исходной и приближающей функции совпадали на отрезке 

интегрирования. Выбор приближающей функции определяется свойствами 

подынтегральной функции, чаще всего используют полиномы. 

10 

Самыми 
распространенными 
методами 
приближенного 

интегрирования являются: метод прямоугольников; метод трапеций; метод 

Симпсона, метод Монте-Карло. 

Простейшим методом приближенного интегрирования является метод 

прямоугольников. Криволинейная трапеция заменяется прямоугольником на 

отрезке 
интегрирования. 
Фактически 
подынтегральная 
функция 

аппроксимируется многочленом нулевой степени на отрезке интегрирования. 

Приближенная формула для интегрирования имеет вид: 

 

В этом случае вместо площади криволинейной трапеции находят 

площадь прямоугольника (рис 3), используется левый прямоугольник.  

 

Рисунок 2 Исходная криволинейная трапеция 

 

Рисунок 3 Левый прямоугольник, замещающий криволинейную 

трапецию 

11