Математический анализ

Л.Ю. Уразаева 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 

Учебное пособие 

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2017 

УДК 517 
ББК  22.161.1 
 У68 

Уразаева Л.Ю. 
У68 
   Математический анализ [Электронный ресурс] : учеб. пособие / 
Л.Ю. Уразаева. — М. : ФЛИНТА, 2017. — 125 с. 

ISBN 978-5-9765-3332-5 

Учебное пособие содержит краткие систематизированные теоретические 
сведения для решения задач учебного и прикладного характера методами 
математического анализа. Задачи представлены  в форме, удобной для изучения и 
усвоения. Практикум предназначен для закрепления изученного материала и 
проверки знаний. Учебно-методическое пособие включает в себя задачи для 
решения на практических занятиях и для самостоятельной работы студентов по 
основным разделам  математического анализа.  

УДК 517 
ББК  22.161.1 

ISBN 978-5-9765-3332-5            
© Уразаева Л.Ю., 2017 
© Издательство «ФЛИНТА», 2017 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ПРЕДИСЛОВИЕ .............................................................................................................. 4 
МОДУЛЬ 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ .................................. 5 
1.1 
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 
ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ, ФУНКЦИЯ .......................................................................... 5 
1.2 
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ПО РАЗДЕЛУ 1.1. ........................................ 18 
1.3 
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ: ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ, 
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ .............................................................................. 30 
1.4 
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ К РАЗДЕЛУ 1.3 ............................................ 47 
МОДУЛЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ 
ПЕРЕМЕННОЙ.............................................................................................................. 61 
2.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ 
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ .......................................... 61 
2.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ПО РАЗДЕЛУ 2.1. ........................................ 68 
МОДУЛЬ 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ 
ПЕРЕМЕННОЙ.............................................................................................................. 82 
3.1.   ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ 
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ .......................................... 82 
3.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ПО РАЗДЕЛУ 3.1. ........................................ 86 
МОДУЛЬ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ........................................................... 92 
4.1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ  ТИПОВЫХ  ЗАДАНИЙ ......................................... 92 
4.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ  ПО РАЗДЕЛУ 4.1. ....................................... 96 
МОДУЛЬ 5. РЯДЫ ...................................................................................................... 106 
5.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ: ЧИСЛОВЫЕ И 
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ............................................................................................... 106 
5.2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ ПО РАЗДЕЛУ 5.1. ...................................... 114 
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ: .................................................. 123 
Основная: ................................................................................................................ 123 
Дополнительная: .................................................................................................... 123 
Цифровые ресурсы: ............................................................................................... 124 

3 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Целью пособия является обеспечение методической поддержки самостоятельного 

освоения студентами методов решения задач по математическому анализу. 

 Предлагаемые в практикуме примеры иллюстрируют методы решения и акцентируют 

внимание на условиях применимости теоретического материала в при решениях задач 

методами математического анализа.  

В учебно-методическом пособии содержится большое количество разнообразных задач  

для самостоятельного решения по каждому модулю дисциплины. 

 С учетом специфики подготовки уделено внимание применению математического 

анализа при решении школьных задач, в том числе задач по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. Имеются 

задания для групповой работы студентов, листы саморефлексии. 

4 

МОДУЛЬ 1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 

Цель: Освоение основных положений математического анализа, изучение свойств 

функции, теории пределов, непрерывности функций. 

Задачи: 

1. Освоение  основных положений математического анализа.

2. Изучение свойств функции.

3. Изучение теории пределов.

4. Изучение непрерывности функций.

1.1 
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 
ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ, ФУНКЦИЯ 

Множество – это базовое, исходное понятие в математике, несводимое к другим понятиям. 

Под множеством понимают совокупность различных элементов, рассматриваемую как единое 

целое по некоторому признаку. Объекты, составляющие множество, принято называть  

элементами множества. 

Теория множеств является  основанием всех современных математических теорий,  в 1908 

году теория множеств была аксиоматизирована Бертраном Расселом и Эрнстом Цермело. 

Подробное изучение теории множеств предполагается в дальнейшем, на курсах дискретной 

математики, 
теории 
функций 
действительного 
переменного, 
числовых 
системах, 

математической логики. 

Примеры множеств: множество учеников в классе, участвующих в районной олимпиаде по 

математике,  множество натуральных чисел. 

Для обозначения множеств  используют прописные буквы латинского алфавита, а для 

обозначения элементов этих множеств - строчные буквы. 

Принадлежность множеству:  элемент а принадлежит множеству А или  a
A
∈
. Элемент  а не 

принадлежит А, запись:  a
A
∉
. 

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и 

обозначается ∅ . 

5 

Два множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. 

Запись:  А = В   или   В = А. 

В любом множестве не может быть двух одинаковых элементов,  добавление к множеству 

элементов, уже принадлежащих множеству, не меняет его: 

Если все элементы множества В принадлежат множеству А, то В называется подмножеством 

множества А, запись: B
A
⊂
. 

Если B
A
⊂
 и A
B
⊂
, то А = В. Любое непустое множество А содержит как минимум два 

подмножества: 
,
A
A
A
⊂
∅ ⊂
. 

Принято понятие универсума или универсального множества. Все множества при решении 

рассматриваемой  задач или при данных рассуждениях рассматривают как подмножества 

некоторого множества Е, которое  называют универсальным множеством. Таким образом, 

A
E
⊂
 для любого множества A. 

В математическом анализе используют числовые множества. У числовых множеств, 

элементами являются числа (действительные, рациональные, целые и т.п.). С помощью 

числовых множеств описываются области определения функций одной переменной, область 

значений функций и так далее. Для  известных числовых множеств введены следующие 

обозначения: 

N – множество натуральных чисел;  

Z – множество  целых чисел;  

Q- множество  рациональных чисел; 

R- множество действительных чисел,  

C- множество комплексных чисел. 

Принятые обозначения: [a,b], (a,b) – отрезок и интервал  на числовой оси.  

Числовое множество A называется ограниченным сверху, если существуют действительные 

числа  b такое, что для любого  элемента x из множества A будет выполняться x ≤ b.  

6 
 

Числовое множество A называется ограниченным снизу, если существуют действительные 

числа  а такое, что для любого  элемента x из множества A будет выполняться а ≤ х.  

Числовое множество A называется ограниченным, если существуют действительные числа a, 

b такие, что для любого (каждого, всякого) элемента x из множества A будет выполняться a ≤ x 

≤ b.  

Пусть множество A ограничено сверху. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих 

сверху это множество, называют точной верхней гранью множества (или просто верхней 

гранью) и обозначают: sup A(supremum — наибольший). 

Свойства верхней грани(
sup
M
A
=
): 

1. 
:
a
A a
M
∀ ∈
≤
; 

2 . 
0,
:
b
A b
M
ε
ε
∀ >
∃ ∈
>
−
. 

Если множество A ограничено снизу, то наибольшее среди всех чисел, ограничивающих 

снизу это множество, называют точной нижней гранью множества (или просто нижней гранью) 

обозначается infA(infimum — наименьший).  

Свойства нижней грани(
inf
m
A
=
): 

1. 
:
a
A a
m
∀ ∈
≥
; 

2 . 
0,
:
b
A b
m
ε
ε
∀ >
∃ ∈
<
+
. 

Если точные грани принадлежат множеству A, т.е. являются его элементами, то числа m = inf 

A, M = sup A есть  минимальный (наименьший) и максимальный (наибольший) элементы 

рассматриваемого множества. Принято обозначать: min A и max A.  

Примеры.  1) В=[1,10], supB=10, infB=1; 2)A=(0,10), supA=10, infA=0. 

Окрестностью точки 
0a  называется любой интервал (
)
;
α β , содержащий эту точку:

(
)
0
;
a
α β
∈
. Симметричный интервал 
(
)
(
)
0
0
0
;
V
a
a
a
ε
ε
ε
=
−
+
 называют ε (эпсилон)
окрестностью точки 
0a . 

7 

Рисунок 1 Окрестность точки а0 

Числовое множество M называется открытым, если каждая его точка принадлежит ему 

вместе с некоторой окрестностью. Точка a  называется предельной точкой числового 

множества M, если в любой ее окрестности содержится бесконечно много элементов множества 

M. 

Числовое множество B называется замкнутым, если оно включает в себя все свои 

предельные точки. 

Примеры:  1) интервал (1;2)– открытое множество, [1,2]– множество предельных точек 

интервала (1;2); 2) отрезок [1;5] – замкнутое множество, [1;5]- множество предельных точек 

отрезка[1;5] 

Множества бывают конечные и бесконечные. Конечное множество можно задать 

перечислением его элементов. Например, 
{
}
2;4;9
A =
.

Функция - это такое соответствие  между элементами двух множеств, при котором каждому 

элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества. 

Иными словами, отображение множества Х в множество У или функция f  устанавливает 

правило, согласно  которого каждому элементу х из множества Х соответствует некоторый 

элемент (один элемент) у множества У. Запись: 
( )
y
f x
=
. Также можно записать: f: X→Y.

Множество Х называется областью определения, а множество всех возможных значений у, 

получаемых при рассматриваемом отображении, называют  множеством (или областью) 

значений функции. Элементы х области определения  называются значениями аргумента (или 

аргументами функции), а элемент 
( )
y
f x
=
— значением функции от аргумента х или в точке

х. 

Выделяют разные виды отображений: сюръекцию, инъекцию, биекцию. Отображение f

является  сюръекцией (отображением X на Y), если f(X)=Y. 

8 

 

Рисунок 2 Иллюстрация сюръекции X на У. 

Примеры сюръекции:  f:R →R+, f(x)=x2 

 

Рисунок 3 Иллюстрация сюръекции f:R →R+, f(x)=x2 

Отображение f  называется инъекцией (отображением Х в У, вложением), если из 

1
2
( )
(
)
f x
f x
=
 следует, что 
1
2
x
x
=
. 

 

Рисунок 4 Иллюстрация инъекции 

9 
 

Примеры инъекции: f: R+
→R, f(x)=x2 

Рисунок 5 Иллюстрация инъекции f: R+

→R, f(x)=x2 

Отображение f  называется биекцией(взаимно однозначным отображением), если это 

отображение является сюръекцией и инъекцией одновременно. В  случае биекции существует 

обратная функция 
1 :
f
Y
X
−
→
, 
1( )
x
f
y
−
=
.  

Биективное отображение называется еще взаимно однозначным соответствием или 

биективным соответствием.  

Важной характеристикой множества является  мощность множества— характеристика 

множества, обобщающая понятие о количестве элементов для конечного множества. В теории 

множеств считается, что  множества, между которыми возможно установление биекции, 

равномощны.  

При биективном отображении (биекции) каждому элементу одного множества соответствует 

ровно один элемент другого множества. При таком отображении определено и обратное 

отображение. Биекцию называют также взаимно-однозначным отображением. 

10 

Рисунок 6 Иллюстрация биекции 

Примеры биекций: f:R →R, f(x)=x3, f:R →R, f(x)=x5, 

Рисунок 7 Пример биекции f:R →R, f(x)=x3 

Если между двумя множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие 

(биекцию), то такие множества называются равномощными. В  теории множеств, равномощные 

множества неразличимы. 

Взаимно-однозначное отображение конечного множества в себя сводится к  перестановке 

элементов этого множества(подробнее об отображениях ниже по тексту). 

В основе  понятия  мощность множества лежат следующие положения  по  сравнению 

множеств: 

11