Автоморфизм-инвариантные и эндоморфизм-продолжаемые модули

А.А. Туганбаев 
АВТОМОРФИЗМ-ИНВАРИАНТНЫЕ  
И ЭНДОМОРФИЗМ-ПРОДОЛЖАЕМЫЕ 
МОДУЛИ 
Монография 
Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2017 

УДК 512.55 
ББК  22.144 
 Т81 
 Туганбаев А.А. 
Т81       Автоморфизм-инвариантные и эндоморфизм-продолжаемые модули 
[Электронный ресурс] : монография / А.А. Туганбаев. — М. : 
ФЛИНТА, 2017. — 113 с. 
ISBN 978-5-9765-3383-7 
Данная 
монография 
посвящена 
изучению 
автоморфизминвариантных 
модулей, 
т.е. 
характеристические 
подмодули 
инъективных модулей, а также модулей, в которых все автоморфизмы 
(эндоморфизмы) подмодулей продолжаются до эндоморфизмов всего 
модуля.  Рассматриваются приложения таких модулей к различным 
важным классам колец. 
Книга может быть полезна всем алгебраистам, интересующимся 
кольцами и модулями. Она может служить учебным пособием для 
студентов и аспирантов, изучающих современную алгебру. 
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного 
фонда.  
(проект 16-11-10013). 
УДК 512.55 
ББК  22.144 
ISBN 978-5-9765-3383-7 
© Туганбаев А.А., 2017 
© Издательство «ФЛИНТА», 2017 

Оглавление 
 
    Предисловие ........................................................................................... 4 
 
1  Предварительные сведения ................................................................ 9 
 
2  Автоморфизм-продолжаемые  модули ........................................... 29 
 
3  Эндоморфизм-продолжаемые  модули ........................................... 58 
 
4  Автоморфизм-инвариантные несингулярные модули ............... 82 
 
5  Конечно-эндоморфизм-продолжаемые модули ............................ 95 
 
Список литературы .............................................................................. 108 
 
Предметный указатель ........................................................................ 112 
 
 
 

Предисловие
Инъективные объекты играют очень важную роль во многих
математических категориях. В данной книге мы рассматриваем
только инъективные правые модули над кольцом1 A, т.е. инъективные объекты категории Mod-A всех правых A-модулей.
Модуль M называется инъективным относительно модуля X
или X-инъективным, если для любого подмодуля X1 в X каждый гомоморфизм X1 →M продолжается до гомоморфизма
X →M. Модуль M над кольцом A называется инъективным,
если M инъективен относительно любого A-модуля. Например,
над конечными прямыми произведениями колец матриц над телами все модули инъективны. Кроме того, абелева группа M
является инъективным модулем над кольцом целых чисел Z в
точности тогда, когда M  делимая абелева группа, т.е. M 
прямая сумма групп, изоморфных аддитивной группе Q рациональных чисел и квазициклических групп Z(p∞).
Одна из причин важности инъективных модулей заключается в том, что каждый модуль M является существенным2 подмодулем некоторого инъективного модуля X, который называется инъективной оболочкой модуля M, причем инъективная
оболочка X определена единственным (с точностью до изоморфизма) образом. Например, если Z  кольцо целых чисел, то
аддитивная группа Q  инъективная оболочка модуля ZZ.
Одна
из
главных
целей
данной
книги

изучение
автоморфизм-инвариантных и близких к ним модулей. Модуль
M
называется
автоморфизм-инвариантным
(соотв.,
эндоморфизм-инвариантным), если он является характеристическим (соотв., вполне инвариантным)3 подмодулем своей инъективной оболочки.
В [9, Theorem 16] доказано, что модуль
M
является
автоморфизм-инвариантным в точности тогда, когда M  псевдоинъективный модуль, т.е. если для любого подмодуля X в M
1Все кольца предполагаются ассоциативными и с ненулевой единицей,
а модули унитарными.
2Подмодуль M модуля X называется существенным, если M ∩X1 ̸= 0
для любого ненулевого подмодуля X1 в X.
3Подмодуль M модуля X называется характеристическим (соотв.,
вполне инвариантным) подмодулем в X, если M ⊆α(M) для каждого
автоморфизма (соотв., эндоморфизма) α модуля X.

каждый мономорфизм X →M продолжается до эндоморфизма
модуля M. Псевдоинъективные модули изучались в ряде работ;
см., например, [18], [38], [9]. Автоморфизм-инвариантные модули изучались в ряде работ; см., например, [2], [5], [9], [15], [25],
[33], [49], [50], [52], [53], [54], [55].
Заметим, что Z не является автоморфизм-инвариантным Zмодулем, поскольку α(Z) ̸⊆Z, где α: q →q/2  автоморфизм
Z-модуля Q.
Модуль M называется квазиинъективным или самоинъективным, если M инъективен относительно себя. Хорошо известно, что модуль M квазиинъективен в точности тогда, когда
M  эндоморфизм-инвариантный модуль, т.е. α(M) ⊆M для
любого эндоморфизма α инъективной оболочки модуля M, см.
[21] или [59, 17.11]. Отсюда следует, что каждый квазиинъективный модуль  автоморфизм-инвариантный модуль.
Пример 1. Пусть {F ∞
i=1}  счетное множество экземпляров
поля Z/2Z и A  подкольцо прямого произведения всех Fi, состоящее из всех последовательностей, стабилизирующихся на
конечном шаге. В [9, Example 9] показано, что A  автоморфизминвариантный A-модуль, не являющийся квазиинъективным.
Пример 2. Пусть F  поле порядка 2, A  конечная 5мерная алгебра над полем F, образованная всеми (3 × 3)матрицами вида



f11
f12
f13
0
f22
0
0
0
f33
, где fij ∈F. В [33] показано, что e11A = e11F + e12F + e13F  конечный циклический автоморфизм-инвариантный проективный модуль, не являющийся квазиинъективным. Так как каждый эндоморфизмпродолжаемый артинов модуль является по теореме 3.1 квазиинъективным, то e11A  автоморфизм-продолжаемый модуль,
не являющийся эндоморфизм-продолжаемым. Нетрудно проверить, что модуль e11A несингулярен.
Ясно, что каждый инъективный модуль квазиинъективен.
Каждая конечная циклическая группа является квазиинъективным (автоморфизм-инвариантным) неинъективным модулем над кольцом Z.
Модуль M называется автоморфизм-продолжаемым (соотв., эндоморфизм-продолжаемым, если для любого подмодуля
X в M каждый автоморфизм (соотв., эндоморфизм) модуля X

продолжается до эндоморфизма модуля M.
Замечание
1.
Ясно,
что
все
прямые
слагаемые
автоморфизм-продолжаемых
(соотв.,
эндоморфизмпродолжаемых)
модулей
являются
автоморфизмпродолжаемыми
(соотв.,
эндоморфизм-продолжаемыми)
модулями
и
каждый
эндоморфизм-продолжаемый
модуль
является автоморфизм-продолжаемым.
Замечание 2. Ясно, что каждый квазиинъективный модуль является автоморфизм-продолжаемым и эндоморфизмпродолжаемым. Если M  автоморфизм-инвариантный модуль,
то каждый автоморфизм любого подмодуля модуля M продолжается до автоморфизма модуля M, см. предложение 1.3;
в частности, M  автоморфизм-продолжаемый модуль. Кроме
того, Z  пример автоморфизм-продолжаемого (эндоморфизмпродолжаемого)
Z-модуля,
не
являющегося
автоморфизминвариантным (квазиинъективным).
Следующие два примера показывают, что автоморфизмпродолжаемый модуль MA не обязан быть эндоморфизмпродолжаемым даже если либо M = A  простая область главных правых (левых) идеалов, либо M = A  коммутативное
регулярное кольцом.
Пример 3. Пусть F  поле и A  алгебра над F с двумя образующими x, y и одним определяющим соотношением xy−yx = 1.
Докажем, что AA и AA  автоморфизм-продолжаемые модули,
причем модули AA и AA не эндоморфизм-продолжаемы. Хорошо известно, что A  простая область главных правых (левых)
идеалов, A  не тело, и группа обратимых элементов U(A) области A совпадает с F \ 0. В частности, U(A) лежит в центре
области A.
Пусть a  ненулевой необратимый элемент области A. Достаточно доказать следующие два утверждения:
(*) для каждого автоморфизма α модуля aAA существует такой обратимый элемент u ∈U(A), что α(ab) = uab для
всех b ∈A;
(**) существует эндоморфизм f модуля aA, который не продолжается до эндоморфизма модуля AA.
(*). Так как α(aA) = aA, то α(a) = au и a = auv для некото

рых элементов u, v ∈A. Тогда uv = 1. Поскольку A  область,
то vu = 1 и u ∈U(A) ⊂F. Тогда uab = aub = α(ab) для всех
b ∈A.
(**). Так как A  простая область и a  ненулевой необратимый элемент, то AaA = A ̸= Aa. Поэтому ab ̸⊆Aa для
некоторого элемента b ∈A. Так как A  нетерова область, то
A имеет классическое тело частных, содержащее элемент a−1.
Тогда aba−1aA ⊆aA и соотношение f(ac) = aba−1c задает эндоморфизм f подмодуля aAA в AA. Допустим, что f продолжается
до эндоморфизма φ модуля AA. Обозначим d = φ(a). Тогда
ab = aba−1a = f(a)a = φ(a)a = da ∈Aa.
Получено противоречие.
□
Замечание 3. Кольцо A называется регулярным, если любой его главный правый идеал порождается идемпотентом. В
этом случае AAa и любой конечнопорожденный левый идеал
кольца A являются прямыми слагаемыми модуля AA. Кольцо
A называется строго регулярным, если любой его главный правый (левый) идеал порождается центральным идемпотентом.
Пусть A  регулярное кольцо. Если AA  эндоморфизмпродолжаемый модуль, то по теореме 10.47 из [46] модуль AA
инъективен.
Пример 4. Пусть {F ∞
i=1}  счетное множество экземпляров
поля Z/2Z и A  подкольцо прямого произведения всех Fi, состоящее из всех последовательностей, стабилизирующихся на
конечном шаге. Тогда A  коммутативное регулярное кольцо.
В [9, Example 9] показано, что A  автоморфизм-инвариантный
модуль, не являющийся квазиинъективным. По замечанию 2 и
замечанию 3 AA  автоморфизм-продолжаемый модуль, не являющийся эндоморфизм-продолжаемым.
В
разделе
4
изучаются
несингулярные
автоморфизминвариантные модули и кольца. В частности, в теореме 4.6 для
кольца A с радикалом Голди G доказано, что все несингулярные автоморфизм-инвариантные правые A-модули инъективны
в точности тогда, когда A/G  сильно полупервичное справа
кольцо. В теореме 4.9 для сильно полупервичного справа кольца A и произвольного правого A-модуля X доказано, что если
найдется такой существенный правый идеал B кольца A, что
X инъективен относительно модуля BA, то X  инъективный

модуль. В теореме 4.23 доказано, что если A  автоморфизминвариантное справа несингулярное справа кольцо в точности
тогда, когда A  регулярное кольцо и A = S × T, где S  инъективное справа регулярное кольцо и T  строго регулярное кольцо, содержащее все обратимые элементы своего максимального
правого кольца частных.
В
разделе
5
изучаются
конечно-эндоморфизмпродолжаемые модули и арифметические кольца. В частности,
в теореме 5.1 для инвариантного справа кольца A доказана
эквивалентность следующих условий:
1) каждый циклический правый A-модуль является конечноэндоморфизм-продолжаемым;
каждое
фактор-кольцо
кольца
A
является
конечноэндоморфизм-продолжаемым справа кольцом;
3)
каждый
циклический
правый
A-модуль
является
2эндоморфизм-продолжаемым;
4) каждый фактор-кольцо кольца A является 2-эндоморфизмпродолжаемым справа кольцом;
5) A  конечно-эндоморфизм-продолжаемое справа кольцо
и каждый его конечнопорожденный правый идеал является
эндоморфизм-поднимаемым;
6) A  конечно-эндоморфизм-продолжаемое справа кольцо
и каждый его конечнопорожденный правый идеал является
квазипроективным;
7) A  инвариантное справа и слева арифметическое кольцо.
Некоторые обозначения.
Если f : X →Q  гомоморфизм модулей и M  подмодуль в
Q, то через f −1(M) обозначается подмодуль {x ∈X | f(x) ∈M
модуля X.
Пусть A  кольцо, X  правый A-модуль, Y  левый Aмодуль, X1, X2 (соотв. Y1, Y2)  подмножества в X (соотв., Y ).
Обозначим (X1
.
. X2) = {a ∈A | X1a ⊆X2}, (Y2
.
. Y1) = {a ∈
A | aY1 ⊆Y2}, r(X1)  правый аннулятор {a ∈A | X1a = 0}
множества X1
и ℓ(Y1)  левый аннулятор {a ∈A | aY1 = 0}
множества Y1. Иногда пишут rA(X1) и ℓA(Y1) вместо r(X1) и
ℓ(Y1) соответственно. Заметим, что r(X1)  правый идеал в A и
ℓ(Y1)  левый идеал в A. Если B  идеал в A, то r(B) и ℓ(B) 
идеалы в A.

1. Предварительные сведения
Все кольца предполагаются ассоциативными и с ненулевой
единицей, а модули унитарными. Модуль называется артиновым, если каждая строго убывающая цепь его подмодулей конечна. Слова типа A  артиново кольцо означают, что AA и
AA  артиновы модули.
В книге используются некоторые хорошо известные понятия
и утверждения из теории колец, которые содержатся во многих
книгах; см., например, [3], [19], [11], [27], [46], [59].
1.1. Свободные, инъективные и проективные модули.
Относительные инъективность и проективность.
Пусть A  кольцо. Правый A-модуль X называется свободным циклическим модулем, если существует такой элемент
x ∈X, называемый свободным образующим для X, что X = xA
и правый аннулятор r(x) элемента x равен нулю. Заметим, что
X  свободный циклический модуль в точности тогда, когда
X ∼
= AA.
Модуль XA называется свободным, если существует такое
подмножество {xi}i∈I ⊆X, называемое базисом модуля X, что
X = ⊕i∈IxiA и r(xi) = 0 для всех i ∈I; мощность card(I)
называется рангом свободного модуля X. Заметим, что ранг
свободного модуля не всегда определен однозначно.
Модуль M называется проективным относительно модуля X или X-проективным, если для каждого эпиморфизма
h: X →X и любого гомоморфизма f : M →X, существует
такой гомоморфизм f : M →X, что f = hf.
Модуль над кольцом A, проективный относительно любого
A-модуля называется проективным) модулем. Модуль, проективный относительно себя, называется квазипроективным или
самопроективным модулем.
Заметим, что все проективные или полупростые модули
квазипроективны, и любая циклическая группа простого порядка является квазипроективным непроективным простым Zмодулем. Кроме того, если натуральное число n делится на
квадрат простого числа, то конечная циклическая группа Z/nZ
является квазипроективным непроективным неполупростым Z

M
X
X
X1
X
X1
M
X
M
A
M
A
M
M
I
AA
XA
f
xi
i I
X
MA
g(
xiai) =
f(xi)ai
g: X
M
f(xi) i I
M
g: X
M
X
M
X
Y
M
Y
X
A
AA
M
X
M
A
A