Кольца и модули

А.Н. Абызов 
А.А. Туганбаев 
КОЛЬЦА И МОДУЛИ 
Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2017 

УДК 512.55 
ББК  22.144 
 А13 
Абызов А.Н. 
А13     Кольца и модули [Электронный ресурс] : монография / А.Н. Абызов, 
А.А. Туганбаев. — М. : ФЛИНТА, 2017. — 258 с. 
ISBN 978-5-9765-2940-3 
Данная монография посвящена изложению теории ассоциативных 
колец с единицей и модулей над ними в случае не обязательно 
коммутативных колец. Материал представлен в виде теорем, определений, 
примеров и задач. 
Книга может быть полезна всем алгебраистам, интересующимся 
кольцами и модулями. Она может служить учебным пособием для студентов 
и аспирантов, изучающих современную алгебру. 
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда 
(проект 16-11-10013). 
УДК 512.55 
ББК  22.144 
ISBN 978-5-9765-2940-3
© Абызов А.Н., Туганбаев А.А., 2017 
   © Издательство «ФЛИНТА», 2017 

Оглавление 
1  Кольца, алгебры и гомоморфизмы 
.......................................................... 4 
2  Первичные и полупервичные идеалы  
.................................................. 29 
3  Радикал Джекобсона 
............................................................................... 34 
4  Групповые кольца ................................................................................... 38 
5  Модули, подмодули и гомоморфизмы ............................................... ..44 
6  Проективные и свободные модули ..................................................... ..67 
7  Модули с условиями на прямые слагаемые 
....................................... ..71 
8  Порождающие и копорождающие модули ........................................ ..79 
9   Малые и существенные подмодули, 
     дополнения и замыкания 
....................................................................... 85 
10 Радикал Джекобсона и цоколь модуля, 
     сингулярные и косингулярные модули ............................................... 95 
11 Полупростые и кополупростые модули ............................................ 101 
12 Локальные и полулокальные кольца ................................................. 110 
13 Артиновы и нетеровы модули. 
      Полуартиновы и полунетеровы модули ........................................... 115 
14 Кольца, близкие к регулярным 
........................................................... 130 
15 Модули, близкие к проективным и инъективным 
............................ 151 
16 Непрерывные и дискретные модули 
.................................................. 162 
17 Тензорное произведение и плоские модули ..................................... 168 
18 Кольца формальных матриц. Подструктуры Hom 
........................... 175 
19 Решения и указания ............................................................................. 190 
20 Список обозначений ............................................................................ 257 

Кольца, алгебры и гомоморфизмы
Абелева группа A со сложением + называется предкольцом, если A
также является полугруппой относительно дополнительной операции умножения · и
(x + y) · z = x · z + y · z
и
z · (x + y) = z · x + z · y
для всех x, y, z ∈A. В этом случае группа A со сложением + называется аддитивной группой предкольца A. Множество N всех натуральных
чисел не является предкольцом относительно обычного сложения и умножения, поскольку не является группой по сложению. Предкольцо A со
сложением + и умножением · называется кольцом, если A обладает нейтральным элементом относительно ·. Множество 2Z всех четных целых
чисел с обычными сложением и умножением является примером предкольца, не являющегося кольцом.
Если A  предкольцо и B  такое подмножество в A, что b1 + b2 ∈B и
b1b2 ∈B для всех b1, b2 ∈B, то B называется подпредкольцом в A. Если
A  кольцо и B  такое подпредкольцо кольца A, что B  кольцо, то
B называется подкольцом кольца A. Подпредкольцо 2Z в кольце целых
чисел Z не является подкольцом в Z.
Если B  подкольцо кольца A, содержащее единицу кольца A, то B
называется унитарным подкольцом в A. Если A  кольцо всех (n × n)матриц над кольцом A, n > 1, и eii  матричная единица, то eiiAeii 
подкольцо с единицей eii в A, не являющееся унитарным подкольцом в
кольце A.
Если A  кольцо, содержащее центральное подкольцо R, то A называется алгеброй над R или R-алгеброй. Тело гамильтоновых кватернионов
H является алгеброй над полем действительных чисел R, но не алгеброй
над полем комплексных чисел C.
Элемент a кольца A называется обратимым справа (соотв., слева),
если выполнено равенство ab = 1 (соотв., ba = 1) для некоторого b ∈A.
Элемент обратимый справа и слева называется обратимым. Множество
всех обратимых элементов кольца A обозначается через U(A). Например, U(Z) = {1, −1}. Если A  кольцо всех линейных преобразований
4

бесконечномерного векторного пространства V с базисом v1, v2, . . . и a,
b  такие преобразования, что для любого i ∈N имеем a(vi) = vi+1,
b(vi+1) = vi, b(v1)  нулевой вектор, то ba  тождественное преобразование и a  обратимый слева элемент кольца A. Нетрудно проверить, что
a не обратим справа.
Центром кольца A называется подмножество {c ∈A | ac = ca, ∀a ∈
A}, обозначаемое через C(A). Каждое подмножество в C(A) называется
центральным подмножеством в A. Элемент e ∈A называется идемпотентом, если e = e2. Идемпотент e ∈A называется центральным, если
e ∈C(A).
Элемент a ∈A называется правым (левым) делителем нуля в A, если
ℓA(a) ̸= 0 (rA(a) ̸= 0). Элемент a ∈A называется неделителем нуля в A,
если rA(a) = ℓA(a) = 0. Кольцо называется областью, если произведение
любых двух его ненулевых элементов не равен нулю.
Пусть A  предкольцо. Элемент a ∈A называется нильпотентным,
если an = 0 для некоторого n ∈N. Множество всех нильпотентных
элементов кольца R обозначается через Nil(R). Кольцо Z или любое
поле не содержит ненулевых нильпотентных элементов. Подмножество
B ⊆A называется нильпотентным, если существует такое n ∈N, что
b1 . . . bn = 0 для любых элементов b1, . . . , bn ∈B (это означает, что
Bn = 0). Предкольцо называется нилькольцом, если все его элементы нильпотентны. Правый (левый) идеал называется правым (левым)
ниль-идеалом, если все его элементы нильпотентны. Кольцо A называется кольцом индекса ⩽n, если существует такое n ∈N, что an = 0 для
каждого нильпотентного элемента a ∈A. Кольцо A называется кольцом ограниченного индекса, если A  кольцо индекса ⩽n для некоторого
n ∈N. Кольцо без ненулевых нильпотентных элементов называется редуцированным кольцом.
Идеалы, факторкольца и факторалгебры
1.1. Опишите идеалы в следующих кольцах:
1) Z;
5

2) P  поле;
3) P1 × . . . × Pn, где P1, . . . , Pn  поля;
4) R1 × . . . × Rn, где R1, . . . , Rn  кольца;
5) P[x], где P  поле;
6) Mn(P), где P  поле;
7) Mn(R), где R  произвольное кольцо;
8) CFMI(P), где P  поле.
1.2. Постройте факторкольца.
1) Z[i]/(2);
2) Z[i]/(5);
3) Z[i]/(3);
4) Z[i]/(7);
5) Z[i]/(1 + i);
3]/(1 +
√
3);
6) Z[
√
3i]/(1 + 2
√
3i);
7) Z[
√
8) Z[x]/(x);
9) Z[x]/(x2 −3);
10) Z[x]/(x2 −3, 2x + 4);
11) Z[x]/(1 −2x);
12 Z2[x]/(x2);
13) Z2[x]/(x2 + x + 1);
14) Z2[x]/(x(x + 1)).
6

1.3. Докажите или опровергните следующие утверждения:
1) если I  минимальный правый идеал кольца R, то Mn(I)  минимальный правый идеал кольца Mn(R);
2) если I  максимальный правый идеал кольца R, то Mn(I)  максимальный правый идеал кольца Mn(R);
3) если I  минимальный идеал кольца R, то Mn(I)  минимальный
идеал кольца Mn(R);
4) если I  максимальный идеал кольца R, то Mn(I)  максимальный
идеал кольца Mn(R).
1.4. Покажите, что для идеала I кольца R следующие условия равносильны:
1) I  максимальный идеал;
2) R/I  простое кольцо.
1.5. Пусть R  ненулевое кольцо. Тогда
1) всякий собственный идеал кольца R содержится в максимальном
идеале;
2) всякий собственный правый идеал кольца R содержится в максимальном правом идеале.
1.6. Кольцо R называется CI-кольцом, если для любой пары идеалов
A, B кольца R выполнено равенство AB = BA.
1) Если R  CI-кольцо, то Mn(R)  CI-кольцо для любого натурального n.
2) Если R  CI-кольцо и e = e2 ∈R, то eRe  CI-кольцо для любого
натурального.
3) Если R  простое кольцо, то R[x]  CI-кольцо.
4) Выяснить, является ли CI-кольцом кольцо Mn(R)[x], где R  коммутативное кольцо.
5) Выяснить, является ли CI-кольцом кольцо R[x], где R  CI-кольцо.
7

Основные операции над идеалами
1.7. Пусть A, B, C  идеалы кольца R. Докажите, что
1) A(B + C) = AB + AC;
2) A ∩(B + C) ⊇A ∩B + A ∩C;
3) если B ⊆A, то A ∩(B + C) = B + A ∩C;
4) если R  коммутативное кольцо и R = A + B, то A ∩B = AB.
1.8. Пусть A, B, C  идеалы кольца Z. Докажите, что
1) A ∩(B + C) = A ∩B + A ∩C;
2) если A = (a), B = (b), то имеют место равенства
AB = (ab), A + B = ((a, b)), A ∩B = ([a, b]),
где через (a, b) и [a, b] обозначаются соответственно наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное элементов a и b.
Семейство идеалов I1, . . . , In кольца R называется комаксимальным,
если Is + It = R для каждой пары различных индексов s, t.
1.9. Покажите, что если I1, . . . , In  комаксимальное семейство идеалов
коммутативного кольца R, то I1 ∩. . . ∩In = I1 . . . In.
1.10. Докажите, что следующие условия равносильны для семейства
идеалов I1, . . . , In кольца R :
1) I1, . . . , In  комаксимальное семейство;
2) R = I1 + I2 . . . In = I2 + I1I3 . . . In−1 = . . . = In + I1 . . . In−1;
3) R = I2 . . . In + I1I3 . . . In + . . . + I1I2 . . . In−1;
4) Ims
s
+ Imt
t
= R, где s, t  различные индексы и ms, mt ∈N.
Обратимые и нильпотентные элементы
8

1.11. Пусть R  кольцо. Покажите, что если:
1) n ∈Nil(R), то 1 + n ∈U(R);
2) ab ∈Nil(R), то ba ∈Nil(R).
1.12 (Лемма Джекобсона). Элемент 1 + ab кольца R обратим
слева (соотв., справа) в точности тогда, когда элемент 1 + ba обратим
слева (соотв., справа).
1.13. Пусть a, b, c  элементы кольца R. Покажите, что если aba = acа,
то имеют место эквивалентности:
1) 1 + ab  обратимый справа элемент ⇔1 + ca  обратимый справа
элемент;
2) ab  обратимый справа элемент ⇔ac  обратимый справа элемент;
3) r(1 + ab) = 0 ⇔r(1 + ca) = 0;
4) l(ab) = 0 ⇔l(ac) = 0.
Кольцо R называется конечным по Дедекинду, если для любых элементов r, s ∈R из равенства rs = 1 следует sr = 1.
1.14. Покажите, что в каждом из следующих случаев кольцо R является конечным по Дедекинду:
1) R  конечное кольцо;
2) R  конечномерная алгебра над полем P;
3) R  кольцо ограниченного индекса;
4) R  редуцированное кольцо;
5) R  кольцо без ненулевых нильпотентных идеалов;
6) в кольце R выполнено условие минимальности (максимальности)
для главных правых идеалов порожденных идемпотентами;
7) в кольце R выполнено условие минимальности (максимальности)
для правых аннуляторных идеалов.
1.15. Покажите, что если R  кольцо конечное по Дедекинду и e2 =
e ∈R, то eRe  кольцо конечное по Дедекинду.
1.16. Для произвольного кольца R через φ(R) обозначим отображение
φ(R) : Nil(R) →U(R), действующее по правилу n 7→1 + n. Покажите,
что:
9

1) φ(Zn) является биекцией в точности тогда, когда n = 2k для некоторого натурального числа k;
2) если φ(R)  биекция, то φ(R[x]) также является биекцией;
3) если φ(R)  биекция и e  идемпотент кольца R, то φ(eRe)  биекция;
4) если n ∈Z и n > 1, то отображение φ(Mn(R)) не является биекцией.
1.17. Пусть R  коммутативное кольцо и f ∈R[x1, . . . , xn]. Покажите,
что:
1) f ∈U(R[x1, . . . , xn]) в точности тогда, когда свободный член многочлена f обратим, а остальные его коэффициенты  нильпотентные элементы;
2) f ∈Nil(R[x1, . . . , xn]) в точности тогда, когда все коэффициенты
многочлена f  нильпотентные элементы.
1.18. Пусть R  ненулевое кольцо. Покажите, что если:
1) в кольце R множество R \ U(R) аддитивно замкнуто, то R \ U(R)
 идеал кольца R, в котором содержится каждый собственный односторонний идеал кольца R;
2) в кольце R множество Nil(R) аддитивно замкнуто, то Nil(R)  подпредкольцо кольца R.
1.19. Покажите, что всякая ненулевая конечномерная алгебра без
делителей нуля является алгеброй с делением.
1.20. 1) Пусть R  коммутативное кольцо. Покажите, что матрица
A ∈Mn(R) обратима в точности тогда, когда det(A) ∈U(R).
2) Пусть R  коммутативное подкольцо кольца S (не обязательно коммутативного). Покажите, что матрица A ∈Mn(R) обратима в кольце
Mn(S) в точности тогда, когда det(A) ∈U(S).
Идемпотенты
1.21. Покажите, что для идемпотента e кольца R следующие условия
равносильны:
1) e  центральный идемпотент;
10