Переходные процессы в линейных электрических цепях (в примерах)

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ 
В ЛИНЕЙНЫХ 
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

В ПРИМЕРАХ

В.М. МЯКИШЕВ 
М.С. ЖЕВАЕВ

2-е издание, переработанное и дополненное

Москва
ИНФРА-М
2021

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению подготовки 
13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» 
(квалификация (степень) «бакалавр»)

УДК 621.3.011.7(075.8)
ББК 31.2я73
 
М99

Мякишев В.М.
М99  
Переходные процессы в линейных электрических цепях (в примерах) : учебное пособие / В.М. Мякишев, М.С. Жеваев. — 2-е изд., 
перераб. и доп. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 347 с. — (Высшее 
образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/textbook_5a93b2ee9fc408.56741449.

ISBN 978-5-16-013082-8 (print)
ISBN 978-5-16-105866-4 (online)
В учебном пособии на конкретных типовых примерах подробно рассмотрены алгоритмы расчета переходных процессов в линейных электрических 
цепях классическим и операторным методами, а также порядок применения 
интеграла Дюамеля и метода переменных состояния с использованием программы MathCAD.
Отличительной особенностью учебного пособия является подробный методический разбор всех приведенных примеров, разносторонний подход к решению поставленных задач и сравнительный анализ приведенных решений.
Соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту высшего образования последнего поколения. 
Предназначено для студентов высших технических учебных заведений 
электротехнических и электроэнергетических специальностей заочной и дистанционной форм обучения по направлению подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника». Может быть рекомендовано при двухуровневой 
системе образования при подготовке бакалавров и магистров в качестве дополнительного источника информации.

УДК 621.3.011.7(075.8)
ББК 31.2я73

А в т о р ы:
Мякишев Владимир Михайлович, канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры 
«Теоретические основы электротехники» Самарского государственного технического университета;
Жеваев Максим Сергеевич, магистр, заместитель директора по развитию 
ООО «Электрум» 

Р е ц е н з е н т ы:
Абакумов А.М., д-р техн. наук, профессор кафедры «Электромеханика 
и автомобильное электрооборудование» Самарского государственного технического университета;
Лысов В.Е., д-р техн. наук, профессор кафедры «Электропривод и промышленная автоматика» Самарского государственного технического университета;
Нейман В.Ю., д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретические основы электротехники» Новосибирского государственного технического университета;
Курганов С.А., д-р техн. наук, профессор кафедры «Электроснабжение» 
Ульяновского государственного технического университета 

ISBN 978-5-16-013082-8 (print)
ISBN 978-5-16-105866-4 (online)
©  Мякишев В.М., 
Жеваев М.С., 2018

Предисловие

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов 
высших учебных заведений, изучающих курсы, связанные с расчетом и анализом линейных электрических цепей: «Теоретические основы электротехники», «Общая электротехника», «Линейные электрические цепи» и др. Согласно Федеральному государственному образовательному стандарту высшего образования 
(ФГОС ВО) «студент должен обладать способностью использовать 
методы анализа и моделирования линейных и нелинейных электрических цепей постоянного и переменного тока». Задача данного 
пособия — помощь в решении этой проблемы.
Составной частью курса «Электрические цепи» является анализ 
переходных процессов, основанный на исследовании динамических процессов в линейных цепях.
В базовой части профессионального цикла ФГОС ВО отмечается, что студент должен знать теоретические основы электротехники, в том числе методы анализа цепей в стационарных и переходных процессах, уметь применять эти методы расчета и анализа 
цепей, владеть методами расчета переходных и установившихся 
процессов. При этом предусматривается четкое формулирование 
«конечных результатов обучения в органичной связке с осваиваемыми знаниями, умениями и приобретенными компетенциями».
Материал пособия разбит на блоки, каждый из которых содержит несколько модулей. Такая методика позволяет дозировать 
объем информации и проводить самооценку полученных знаний. 
Каждый модуль посвящен определенному способу анализа динамического состояния цепи, и все примеры в нем принципиально 
строятся по одному алгоритму, но при этом проводится разносторонний анализ возможных путей решения поставленных задач 
и приводится их сравнение.
Во вводной части каждого блока кратко изложены некоторые 
теоретические положения, позволяющие осознанно анализировать приведенные примеры. По возможности в каждом примере 
рассматривается несколько методов, здесь же проводится их сравнение. Такой подход позволяет освоить концепцию решения, получить навыки и умения, а также овладеть методикой анализа переходных процессов. Это помогает четко сформулировать конечный 
результат рассматриваемого блока (модуля) в сопоставлении с осваиваемыми знаниями и умениями и приобрести необходимые 

профессиональные компетенции. В пособии не рассмотрены задачи особой сложности, а на простейших примерах пояснена методика расчета типовых задач. Приведены объяснения физическим 
процессам, протекающим в цепи. Исходя из поставленной методической задачи, здесь не указаны компьютерные варианты расчетов, 
а упор делается на понимание физических и энергетических процессов. 
Учебное пособие может быть рекомендовано как дополнительный источник информации при подготовке специалистов 
электротехнического и электроэнергетического направлений 
при реализации образовательной программы по направлению подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника».
Авторы выражают глубокую благодарность В.Г. Гольдштейну, 
М.Л. Костыреву, А.Н. Проценко, А.В. Танаеву и другим сотрудникам кафедры за методическую помощь в подготовке данного 
пособия и примут все замечания, направленные на его улучшение.

Методические рекомендации

Приведем некоторые методические рекомендации по изучению 
предложенного материала.
1. Прежде чем начать разбирать примеры, внимательно изучите 
указанную литературу и краткие теоретические материалы вводной 
части, обратив особое внимание на положения, набранные более 
мелким шрифтом.
2. Начинать изучение материала надо с классического метода, 
предварительно исследовав алгоритм расчета, в том числе и по 
представленной блок-схеме. Это позволит понять взаимосвязи отдельных этапов расчета.
3. Для удобства несколько первых примеров разобрано в одном 
стиле (алгоритме), что позволит глубже изучить нужный материал.
4. После разбора решенного примера все кажется ясным и понятным, но не торопитесь, закройте книгу и попробуйте самостоятельно повторно решить данный пример. После этого двигайтесь 
дальше.
5. Изучая тот или иной пример, начертите схему до коммутации 
(ключ еще не сработал) и решите полученную схему относительно 
основных начальных условий. Аналогично поступайте и с расчетом 
цепи после коммутации.
6. По окончании расчета установившихся режимов до или после 
коммутации проверьте правильность полученных результатов, например, с помощью законов Кирхгофа.
7. Если проверка показала, что задача решена неверно, то можно 
рекомендовать решить задачу еще раз, сопоставить решения и тем 
самым быстрее отыскать ошибку.
8. Ряд примеров решен несколькими методами. Сравните их 
между собой, сделайте выводы и выберите наиболее рациональный.
9. При решении задач классическим методом основная сложность заключается в нахождении постоянных интегрирования А1 
и А2, и связана она с определением неосновных (зависимых) начальных условий. 
Можно рекомендовать следующую методику: независимо 
от того, какую переходную функцию необходимо найти, первым 
действием желательно определить ток в ветви с индуктивностью 
iL(t) или напряжение на емкости uC(t). Это сделать несколько проще, 
так как можно воспользоваться основными начальными условиями 
iL(0+) или uC(0+), которые найдены в расчете цепи до коммутации. 

Затем, пользуясь законами Ома и Кирхгофа, определить необходимые напряжения и токи, как это делается при решении обратной 
задачи. При этом можно избежать процедуры определения неосновных (зависимых) условий.
10. Операторным методом рекомендуется определять только 
свободную составляющую, если не стоит более конкретная задача. 
В цепях первого порядка в этом случае задача резко упрощается, 
так как любая цепь сводится к простой электрической цепи, содержащей один источник LiLсв(0+) или uCсв(0+)/p.
11. Для удобства сравнения классического и операторного методов два примера 5.5 и 5.6 решены с помощью двух методов.
12. По окончании расчета выполните проверку согласно законам Кирхгофа, качественно постройте временные диаграммы 
переходных функций и убедитесь в их соответствии физическим 
процессам, протекающим в цепи.

Глава 1. 

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ 
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ 
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

1.1. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Линейным называется элемент электрической цепи, вольтамперная характеристика (U  f(I)) которого является линейной 
функцией. Основные элементы линейной электрической цепи — 
это резистор (R, r), индуктивность (L) и емкость (С). Индуктивность (L) и емкость (С) являются накопителями электромагнитной 
энергии Wэм. В процессе эксплуатации электрических цепей происходит перераспределение этой энергии. Цепи, содержащие накопители энергии (L и C), называются динамическими цепями. На резистивном элементе (на сопротивлении R) происходят тепловые 
процессы, т.е. энергия электромагнитного поля Wэм расходуется, 
например, в виде тепла и излучения.
Анализ электрических цепей основан на решении дифференциальных, интегральных и алгебраических уравнений, записанных 
на основе законов (правил) Кирхгофа. При расчете установившихся 
режимов электрической цепи используются алгебраические уравнения, а в анализе динамических переходных процессов чаще применяются интегродифференциальные уравнения. В связи с этим 
необходимо напомнить энергетические процессы, протекающие 
в идеализированных линейных элементах R, L и C. Отметим, что 
в линейных электрических цепях изменения возмущения (источника) в k раз влечет за собой изменение реакции (тока, напряжения) в k раз.
Резистивный элемент — это идеализированный пассивный 
двухполюсник, который отражает только необратимое преобразование электромагнитной энергии Wэм в другие (необратимые) виды 
энергии (тепловую, световую, механическую и т.д.). При анализе 
динамических процессов в цепях с резисторами для упрощения 
не рассматривается наличие электромагнитных процессов из-за 
незначительности величин L и C, т.е. приводится некоторая идеализация. Вольтамперная характеристика резистора может быть выражена соотношением






или
( )
( )
 ( )
, ( )
( ),
.
( )
u t
u t
U
i t
u t
R i t
R
I
R
i t
R

Таким образом, ток и напряжение на резистивном элементе связаны алгебраическим соотношением.

Напомним, что на резистивном элементе сопротивлением R ток 
и напряжение совпадают по фазе (  0):

( )
sin(
)
( )
sin(
)
m
u
m
u
u t
U
t
R i t
R I
t

  




   .

Аналогично можно записать эти соотношения с помощью метода комплексных амплитуд (символического метода)

щ
щ
щ
( )
; ( )
; ( )
.
j t
j t
j t
m
m
i t
I
e
u t
U
e
u t
U
e










Здесь знак  — это знак соответствия.
Мгновенная мощность, выделяемая на резистивном элементе 
сопротивлением R:

2
2
2
2

2

1
2
2
1
2
0

( )
cos (
)
[
cos(
)]

[
cos(
)]

m
R
m
i
i

i

RI
p
t
Ri
RI
t
t

RI
t



  


  




  


.

Среднее значение мощности за период называют активной мощностью. Для резистивного элемента R имеем:

2

0
0

2
2
2

0

1
1

1
2

( ) ( )

cos(
)
.

T
T

ср

T

i

P
P
u t i t dt
RI dt
T
T

RI
t
dt
RI
UI
GU
T







  









Активная мощность преобразуется в механическую, тепловую, 
химическую и т.п. Таким образом, активную мощность можно считать «полезной», так как с ее помощью совершается определенная 
работа.
Индуктивный элемент (индуктивность L). Рассмотрим процесс 
протекания тока по проводнику. Известно (опыты с металлическими 
опилками), что вокруг проводника (катушки) с током образуется 
магнитное поле Ф, которое характеризуется потокосцеплением:

Ф
W
Li
 

,

где W — число витков катушки; Ф — магнитный поток; i — ток, 
протекающий по катушке; L — коэффициент пропорциональности, 
индуктивность.

Индуктивность L есть коэффициент восприимчивости катушки 
к ЭДС самоиндукции. 

Индуктивность определяется конструкцией (исполнением) катушки и является паспортной величиной. Индуктивность измеря
ется в Генри (
Вб
Гн
А

).

Закон изменения тока i(t) определяет закон изменения магнитного потока Ф(t). При переменном (синусоидальном) токе поток 
также синусоидальный. Синусоидальный магнитный поток, сцепляясь (пронизывая) c витками собственной катушки W, на основании закона электромагнитной индукции (закон Фарадея) наводит в катушке ЭДС eL. Этот процесс называется явлением 
самоиндукции, а ЭДС, наводимая при этом, называется ЭДС самоиндукции:

Ф
( )
( )
( )
( )
L
d
t
d
t
di t
e
t
W
L
dt
dt
dt

 
 
 
 .

Доля напряжения цепи, уравновешивающая ЭДС самоиндукции, называется падением напряжения на индуктивности:

( )
( )
( )
.
L
L
di t
u
t
e
t
L dt
 


Пусть ток изменяется по синусоидальному закону ( )
sin(
).
m
i t
I
t


Тогда

90
( )
( )
(
sin
)
cos
sin(
)
L
m
m
m
di t
d
u
t
L
L
I
t
LI
t
U
t
dt
dt



 
 
 
 ,

где 
2
 
 (
m
m
L
m
L
U
LI
X I
X
L
fL
 

 


 — индуктивное сопротивление катушки, размерность [XL] [Ом]).
Таким образом, для ветви с идеальным индуктивным элементом 
ток и напряжение связаны соотношениями:









0

1
( )
( )
,
( )
( ) ,
, 
.

T

L
L
L
L
L

di t
U
U
u
t
L
i
t
u
t dt I
I
dt
L
X
jX

Сравнивая фазы тока i(t) и напряжения uL(t), можно видеть, что 
на индуктивном элементе напряжение опережает ток на угол

90
2
 
(  +90°).

В катушке индуктивности запасается энергия магнитного поля:

2
2
2
2

2

1 1
2
2
2
2
2

1
2
2

( )
cos (
)
· [
cos(
)]

[
cos
(
)],

m
m
L
i
i

i

LI
LI
Li
W
t
t
t

LI
t



  


  





  

т.е. энергия колеблется с двойной частотой относительно среднего 
значения:

2

ср
2
L
LI
W

.

Таким образом, в индуктивном элементе дважды за период происходит накопление энергии магнитного поля и возврат ее в электрическую цепь. Среднее значение мощности в индуктивности (активная мощность) равно 0 (P  0). Это отражает то, что энергия 
в индуктивном элементе не потребляется. Процесс поступления 
энергии в реактивный элемент L будем называть реактивной мощностью:

2
2
 
sin .
L
L
Q
X
I
LI
UI






Емкостной элемент (конденсатор). Емкость характеризует 
энергетические свойства конденсатора. Простейший конденсатор 
представляет собой две проводящие пластины (обкладки), между 
которыми находится диэлектрик. При включении конденсатора 
в электрическую цепь на его обкладках накапливается определенный заряд и возникает электрическое поле. Напряженность 
поля в любой точке диэлектрика между обкладками конденсатора 
пропорциональна заряду обкладок:

q
CU

,

где q — заряд обкладок конденсатора, Кл; U — напряжение между 
обкладками конденсатора, В; С — коэффициент пропорциональности (электрическая емкость), Ф.
Сила тока:

( )
( )
C
du
t
dq
dCU
i t
C
dt
dt
dt



 и 

0

1
0
( )
( )
( ).

T

C
u
t
i t dt
u
C




Пусть цепь с идеальным конденсатором 
0
0
(
,
)
R
L


 включается на синусоидальное напряжение  ( )
sin(
)
m
u t
U
t

 .