Курс математического анализа для студентов-бакалавров инженерных факультетов

КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОГО 

АНАЛИЗА

Т.В. ВОЛКОВА

ДЛЯ СТУДЕНТОВ-БАКАЛАВРОВ 
ИНЖЕНЕРНЫХ ФАКУЛЬТЕТОВ

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений, обучающихся по инженерно-техническим 

направлениям подготовки (квалификация (степень) «бакалавр») 

 (протокол № 11 от 09.11.2020)

Москва
ИНФРА-М

2021

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
 
В67

ISBN 978-5-16-014950-9 (print)
ISBN 978-5-16-107446-6 (online)
© Волкова Т.В., 2021

Волкова Т.В.
В67  
Курс математического анализа для студентов-бакалавров инженерных факультетов : учебное пособие / Т.В. Волкова. — Москва : 
ИНФРА-М, 2021. — 268 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — 
DOI 10.12737/1013010.
ISBN 978-5-16-014950-9 (print)
ISBN 978-5-16-107446-6 (online)
Учебное пособие подготовлено на основе лекций по математическому 
анализу, читавшихся автором. Математический формализм изложения 
классических учебников не подходит для восприятия современного студента, по это му материал представлен в сжатой и более доступной для усвоения форме.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения.
Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям подготовки «Информационные системы и технологии» и «Информатика и вычислительная техника».

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73

Предисловие

Разделы 1–3 данного учебного пособия написаны на основе 
материалов годового курса лекций по математическому анализу, 
которые автор читала студентам инженерных факультетов в 2004–
2011 гг. в Московском институте электроники и математики 
(МИЭМ) на кафедре математического анализа. При чтении лекций 
были использованы классические учебники и методические разработки кафедры, но большой математический формализм изложения 
классических учебников не подходит для восприятия современного 
студента. Поэтому в своем курсе автор старалась добиться более 
упрощенного и сжатого изложения материала. Достигалось это 
с помощью более наглядного, часто геометрического изложения как 
основных понятий, так и доказательств. При этом при геометрическом определении основных понятий всегда делалось их сведение 
к принятому в стандартном изложении. В частности, даются как 
основные геометрические определения производной, определенных 
интегралов. В курсе не разбирались подробно двойные интегралы, 
но для ознакомления было дано геометрическое определение через 
объем, и из геометрических приложений определенного интеграла 
для вычисления двойного интеграла по простейшей области получена формула сведения к повторному.
При рассмотрении несобственных интегралов 1-го рода геометрическая иллюстрация приводилась только для пояснения стандартного определения, которое давалось в классическом варианте. 
Причем объяснялось, почему геометрическое определение здесь 
не эквивалентно стандартному.
Понятие дифференцируемости здесь сводится к существованию 
касательной прямой для графика функции одного переменного 
и касательной плоскости для графика функции нескольких переменных.
Что касается обоснований, то часто давалось геометрическое 
доказательство, которое иногда применялось как не очень строгий, 
но более понятный аналог аналитического.
Кроме того, в данном учебном пособии уменьшено число основных понятий и теорем. Например, вместо 24 определений пределов функций одного переменного дается одно, из которого все 
остальные получаются элементарными подстановками.
Формула бинома Ньютона не упоминалась и не использовалась. 
Вместо нее в выводе второго замечательного предела для последо

вательностей использовано очень легко получаемое упрощенное 
неравенство Бернулли.
Для функций многих переменных не выводится формула Тейлора. Единственное ее приложение — достаточное условие локального экстремума — абсолютно строго получено без этой формулы. 
(Заметим, что при этом формула Тейлора для функций одного переменного дана во всех формах со строгим выводом, так как она 
необходима для получения нестандартных соотношений эквивалентности).
Числовые ряды сопоставлены с ранее изученными несобственными интегралами 1-го рода. Отсюда и из признаков сходимости несобственных интегралов без труда получаются признаки 
сходимости для неотрицательных рядов.
Если определений дано немного, то доказательств автор старалась приводить как можно больше, по возможности упрощая их, 
иногда просто заменяя их пояснениями к доказательству, чтобы 
студенты могли понять, откуда получаются формулируемые результаты.
При написании книги очень полезными оказались обсуждения 
тем в процессе чтения курса, проводившиеся с преподавателями 
кафедры математического анализа МИЭМ профессором В.В. Лебедевым, ныне покойным профессором К.К. Ливановым, доцентом 
А.В. Романовым.
Данный курс соответствовал программе подготовки специалистов, которых выпускал МИЭМ в 2000–2012 гг., причем в 2010–
2012 гг. этот курс для специалистов был сильно сжат. Поэтому 
при переходе к выпуску бакалавров уже в МИЭМ НИУ ВШЭ 
программа не претерпела больших изменений и данный курс 
вполне отвечает современной программе математического анализа 
для бакалавров, особенно годового курса, который читается сейчас 
в МИЭМ НИУ ВШЭ на факультете фундаментальной информатики и вычислительной техники на специальности 09.03.02 «Информационные системы и технологии».
На специальности 09.03.01 «Информатика и вычислительная 
техника» в настоящее время курс полуторагодовой, он несколько 
шире, но отличие только в подробном изучении кратных и криволинейных интегралов и функцио нальных рядов (в данном пособии 
нет рядов Фурье). Поэтому в остальном предлагаемое учебное пособие полностью соответствует и этой учебной программе. Оно 
предназначено для студентов-бакалавров.

В результате освоения курса студент будет:
знать
 
• базовые понятия курса;
уметь
 
• проводить доказательства ключевых теорем курса;
владеть
 
• навыками использования математического аппарата курса 
для дальнейшей учебной и профессио нальной деятельности.

Раздел 1. 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Глава 1. 
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

1.1. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА. НАТУРАЛЬНЫЕ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ 
И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. ИХ ИЗОБРАЖЕНИЕ, СРАВНЕНИЕ, 
МОДУЛЬ. ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА НА ПРЯМОЙ. ПРИМЕРЫ 
ИНТЕРВАЛОВ И ПОЛУИНТЕРВАЛОВ

Натуральными числами называются числа, которыми считают 
количество элемен тов в конечном множестве: 1, 2, 3, и т.д. Их множество обозначают через

 
{
}
1, 2, 3,...
N =
. 

Целыми числами называют все натуральные числа, натуральные 
числа со знаком «–» и ноль. Их множество обозначают через Z = 
= {N, –N, 0}.
Рацио нальными числами называют обыкновенные дроби 
r = p/q, где p — целое, q — натуральное.
Действительными числами называются бесконечные десятичные дроби.
Считается, что мы задали бесконечную десятичную дробь, если 
мы можем указать способ, каким можно найти любой десятичный 
знак этой дроби.
Например, для любой неотрицательной (лежащей правее нуля) 
точки прямой «a» мы можем однозначно сказать, в какой из промежутков [n, n + 1) для целого n она входит. Тогда n будет целой 
частью бесконечной десятичной дроби, соответствующей «a».
Рассмотрим a – n. Это число имеет целую часть 0. Соответственную ему бесконечную дробь с точностью до k цифры после за
пятой находим, определяя, в какой промежуток 
1
,
10
10
k
k
m
m +
⎡
⎞
⎟
⎢
⎠
⎣

 для це

лого 
10
1
k
m ≤
−  входит точка a – n, и получим, что m дает k цифр 
после запятой для «a». Здесь k — целые, 
0
k ≥
. Понятно, что начинать нужно с k = 1. Для отрицательной (лежащей левее нуля) точки 
необходимо определить десятичную запись для –a и поставить 
знак «–». Вопрос о том, каждой ли бесконечной неотрицательной 
десятичной дроби соответствует точка прямой, решается положительно, если опираться на аксиому «непрерывности» прямой. Действительно, строя последовательно, как и выше, промежутки 

1
,
10
10
k
k
m
m +
⎡
⎞
⎟
⎢
⎠
⎣

 для a – n (m — первые k цифр его десятичной части), 

в результате получим последовательность вложенных отрезков 

1
,
10
10
k
k
m
m +
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
 c бесконечно убывающими длинами. Если бы у них 

не было общей точки на прямой, то там была бы «дырка». Поэтому 
аксиомы геометрии предполагают существование такой общей 
точки. Она и будет иметь запись a – n. Чтобы получить точку, соответствующую a, нужно сдвинуться из построенной точки на n 
единиц вправо. Для отрицательных чисел a находим десятичную 
запись для –a и ставим перед ней знак «–». Отыскивая точку 
для отрицательной дроби a, находим точку для –a и берем симметричную ей точку относительно начала координат для a.
Договоримся далее множество всех вещественных чисел обозначать через Q.
Итак, вещественные числа изображаются точками прямой, которую будем обозначать через R. При этом:
1) числа считаются равными, если изображаются одной 
и той же точкой прямой. Например, 1,000… = 0,999…, 23,306999… =
= 23,307000…, хотя числа имеют разную запись. Две записи будут 
иметь все десятично-рацио нальные числа (одна запись с нулями, 
другая со всеми девятками на конце);
2) считается, что a < b, если a лежит левее b на прямой. При этом 
b > a;
3) числа больше нуля называются положительными, меньше 
нуля — отрицательными.
Модулем действительного числа называется расстояние от точки 
на прямой, изображающей это число, до нуля. Получаем, что

 
,
0,
для
,
0.
для

a
a
a
a
a

≥
⎧
= ⎨−
<
⎩

 

Расстояние между точками a и b на прямой равно |
|
b
a
−
.

Перейдем теперь к описанию числовых множеств.
Числовым множеством называется любой набор точек прямой.
Примеры множеств:
1) отрезок [ , ]
{
:
}
a b
x a
x
b
=
≤
≤
;
2) интервал ( , )
{
:
}
a b
x a
x
b
=
<
<
;
3) полуинтервалы [ , )
{
:
}; ( , ]
{
:
}
a b
x a
x
b
a b
x a
x
b
=
≤
<
=
<
≤
.
Такие же обозначения будем применять для лучей, бесконечных 
в одну сторону. При этом a либо b могут быть либо +∞, либо –∞ 
(например, ( 3,
), (
, 0]
−
+∞
−∞
). 
Для всех этих множеств будем употреб лять единое обозначение 

«промежуток» 
,a b
〈
〉, где 
(
« »
[
⎧
〈
= ⎨
⎩
, 
)
« »
]
⎧
〉
= ⎨
⎩
 (a или b могут быть ±∞).

С такими множествами вы уже знакомы из школьной программы. Введем новые множества, которые нам понадобятся в математическом анализе. Это окрестности.
Окрестностью точки a радиуса ε на прямой называется 

{
:
}
x
a
x
a
− ε <
<
+ ε . Эта окрестность обозначается как 
( )
O a
ε
. Это 
симметричный интервал с центром в a, стягивающийся к a 
при уменьшении ε, «двусторонняя» окрестность точки. Также рассматриваются односторонние окрестности точки.
Правой окрестностью точки a радиуса ε на прямой называется 

{
:
}
x
a
x
a
≤
<
+ ε . Эта окрестность обозначается как 
(
)
O a
ε
+ . Это полуинтервал справа от a, стягивающийся к a при уменьшении ε.
Левой окрестностью точки a радиуса ε на прямой называется 

{
:
}
x
a
x
a
− ε <
≤
. Эта окрестность обозначается как 
(
)
O a
ε
− . Это 
полуинтервал слева от a, стягивающийся к a при уменьшении ε.
Проколотыми окрестностями точки a называются окрестности точки a с выброшенной точкой a.
Проколотой окрестностью точки a радиуса ε на прямой называется множество {
:
}
{
:
}
x
a
x
a
x
a
x
a
− ε <
<
∪
<
<
+ ε .

Эта окрестность обозначается как 

o
( )
O a
ε
. Это два симметричных 
друг другу интервала относительно a, приближающихся к a 
при уменьшении ε, «двусторонняя» проколотая окрестность точки. 
Также рассматриваются односторонние проколотые окрестности 
точки.
Правой проколотой окрестностью точки a радиуса ε 
на прямой называется {
:
}
x a
x
a
<
<
+ ε . Эта окрестность обозна
чается как 

o
(
)
O a
ε
+ . Это интервал справа от a, приближающийся к a 
при уменьшении ε.

Левой проколотой окрестностью точки a радиуса ε 
на прямой называется {
:
}
x a
x
a
− ε <
<
. Эта окрестность обозна
чается как 

o
(
)
O a
ε
− . Это интервал слева от a, приближающийся к a 
при уменьшении ε. Причем любая двусторонняя или односторонняя окрестность с меньшим радиусом есть часть любой такой же 
окрестности с большим радиусом. Поэтому требование, чтобы множество имело общие точки с любой окрестностью точки a какого-то 
вида радиуса меньше ε, равносильно требованию, чтобы множество 
имело общие точки с любой ε-окрестностью того же вида точки a. 
То же касается проколотых окрестностей.
Окрестностью +∞ на прямой радиуса ε называется {
:
}.
x
x > ε  
Эта окрестность обозначается как 
(
)
Oε +∞ .
Окрестностью –∞ на прямой радиуса ε > 0 называется

{
:
}
x
x < −ε . Эта окрестность обозначается как 
(
)
Oε −∞ .
Окрестности ±∞ объединяют в одну окрестность бесконечности ∞ следующим образом. Окрестностью ∞ на прямой радиуса ε > 0 называется {
:
}
x
x > ε . Эта окрестность обозначается 
как 
( )
Oε ∞ . Окрестности ±∞, ∞ — это открытые бесконечные вправо 
или влево лучи или их объединения. Эти лучи «стягиваются» к ±∞ 
или ∞ при неограниченном возрастании радиуса. Причем любая 
окрестность меньшего радиуса содержит любую окрестность большего радиуса. Поэтому требование, чтобы множество имело общие 
точки с любой окрестностью ±∞ радиуса больше ε равносильно требованию, чтобы множество имело общие точки с любой окрестностью точки ±∞, ∞.
Считаем, что проколотые окрестности ±∞, ∞ совпадают с целыми окрестностями.
Напомним теперь часто используемые операции над множествами и некоторые символы.
Пусть A и B — числовые множества.
1. Будем говорить, что A
B
⊂
, если A является частью B 
(т.е. любое число из A содержится в B).
2. Будем называть объединением множеств A и B множество 

A
B
∪
, содержащее все элемен ты как из A, так и из B (собираем оба 
множества в «одну корзинку»).
3. Будем называть пересечением множеств A и B множество 

A
B
∩
, содержащее все элемен ты, принадлежащие как A, так и B 
(«общая» часть этих множеств).
4. Будем называть дополнением до множества A в R множество 
всех точек R, не принадлежащих A. Дополнение до A обозначаем A.
Договоримся писать x
A
∈
, если x — элемент множества A.

Символом ∃ будем для краткости заменять слово «существует».
Символом ∀ будем заменять слова «для любого». Символ ⇒ обозначает «следует». Символ ⇔ обозначает «эквивалентно», т.е. 
из левого утверждения «следует» правое и наоборот (т.е. ⇒ и ⇐ 
выполнены одновременно). Эти символы общеупотребительны 
в математике.
Определение 1.1 (ограниченность множества). Числовое множество A называется ограниченным сверху (снизу), если ∃ число M 
такое, что 
x
A
∀
∈
 выполнено неравенство x
M
≤
 (x
M
≥
). При этом 
число M называется ограничивающим A сверху (снизу).
Множество, ограниченное как сверху, так и снизу, называется 
ограниченным.
Замечание. Ограниченность множества A можно выразить модульным неравенством: ∃ число M такое, что 
x
A
∀
∈
 будет x
M
≤
. 
Проверьте это!
Чисел, ограничивающих A сверху (снизу), очень много. Вместе 
с M числа M + n, ∀ n
N
∈
 ограничивают A сверху.
Определение 1.2 (верхняя, нижняя грань). Верхней гранью 
множества A называется наименьшее из чисел, ограничивающих A 
сверху.
Нижней гранью множества A называется наибольшее из чисел, 
ограничивающих A снизу.
Теорема 1.1. Любое ограниченное сверху (снизу) множество 
имеет верхнюю (нижнюю) грань.
Пояснения к доказательству (нестрого). Заметим, что для ограниченного сверху множества A множество 
{
}
если
A
x
x
A
−
= −
∈
 
будет ограничено снизу, и нижняя грань для –A будет верхней 
гранью для множества A со знаком «минус». Если при этом число m 
ограничивает множество A снизу, то ноль будет ограничивать снизу 
множество 
{
}
A
x
m
x
m
A
−
∀
∈
−
=
. Если мы найдем нижнюю 
грань a для множества A – m, то для A нижняя грань будет на a + m. 
Поэтому покажем существование нижней грани для ограниченного 
снизу числом 0 множества. Для этого достаточно найти все десятичные знаки нижней грани.

Рассмотрим на прямой точки вида 10k
m , m
Z
∈
, последовательно 

для k = 0, 1, 2, 3, … Для них будем брать запись, оканчивающуюся 
нулями (у этих чисел две записи, другая оканчивается девятками). 
При фиксированном k среди этих чисел найдется максимальное, 
ограничивающее A снизу. Если k = 0, то получаем целую часть, которая в дальнейшем отделяется запятой. При увеличении k на единицу эти числа будут возрастать не более чем на девять единиц