Элементы дифференциальной геометрии

Министерство просвещения Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Московский педагогический государственный университет»
А. Р. Рустанов, С. В. Харитонова, Е. А. Полькина
ЭЛЕМЕНТЫ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Учебное пособие
МПГУ
Москва • 2020

УДК 514.7(078.5)
ББК 22.151.6я73
 
Р897
Рецензенты:
А.И. Нижников, доктор педагогических наук, профессор, заведующий 
кафедрой технологических и информационных систем Московского 
педагогического государственного университета
О.Н. Казакова, кандидат педагогических наук, доцент кафедры геометрии 
и компьютерных наук Оренбургского государственного университета
 
Рустанов, Алигаджи Рабаданович.
Р897  
Элементы дифференциальной геометрии : учебное пособие / 
А.Р. Рустанов, С.В. Харитонова, Е.А. Полькина. – Москва : МПГУ
, 
2020. – 100 с. 
 
 
ISBN 978-5-4263-0946-3
 
 
Учебное пособие содержит краткий теоретический материал, примеры решения типовых задач, задачи для самостоятельного решения, индивидуальные 
задания для проведения контрольных работ, список используемой литературы.
 
 
Настоящее пособие предназначено для студентов, изучающих высшую математику в различных высших учебных заведениях по направлениям подготовки 
44.03.05 «Педагогическое образование», 01.03.01 «Математика», 03.03.02 «Физика», 04.03.01 «Химия», 09.03.03 «Прикладная информатика», 09.03.02 «Информационные системы и технологии». Пособие может также быть использовано для 
организации аудиторной, самостоятельной и индивидуальной работы студентов 
заочной формы обучения различных направлений и специальностей подготовки, 
в том числе для обучающихся по индивидуальным образовательным программам.
УДК 514.7(078.5)
ББК 22.151.6я73
ISBN 978-5-4263-0946-3 
© МПГУ
, 2020
 
© Рустанов А.Р., Харитонова С.В.,
 
 
Полькина Е.А., текст, 2020

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1. ВЕКТОР-ФУНКЦИИ  
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.1. Вектор-функция одного скалярного аргумента  . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
1.2. Вектор-функция двух скалярных аргументов  . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2. ЛИНИИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ  . . . . . . . . . . . . . . . . .22
2.1. Понятие линии. Гладкие линии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
2.2. Касательная к линии. Длина дуги линии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
2.3. Элементы сопровождающего трехгранника кривой. 
Формулы Френе. Кривизна и кручение. 
Натуральные уравнения  
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
3. ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ  
. . . . . . . . .52
3.1. Понятие поверхности. Гладкие поверхности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52
3.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности  . . . . . . . . . . . . . . .63
3.3. Первая квадратичная форма поверхности. 
Длина дуги линии, угол между линиями 
на поверхности, площадь поверхности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70
3.4. Кривизна кривой на поверхности. Вторая 
квадратичная форма. Главные кривизны. Полная 
и средняя кривизны поверхности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82
ИНДИВИДУ
АЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ  
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ  
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

ВВЕДЕНИЕ 
В настоящее время большую долю часов в освоении дисциплин занимает 
самостоятельная 
работа 
студентов, 
в связи 
с этим 
важно 
и актуально 
методически грамотно организовать эту учебную деятельность. Целью данного 
пособия является помощь в освоении разделов дифференциальной геометрии, 
связанных с пространственными кривыми и поверхностями.  
Пособие содержит справочный теоретический материал, примеры 
решения задач, а также набор задач, необходимый для формирования умений 
и навыков 
(компетенций) 
по 
соответствующим 
разделам 
дисциплины. 
К большинству задач для самостоятельного решения в конце каждого 
параграфа приведены ответы.   
В работе предлагаются индивидуальные задания (20 вариантов) для 
проведения контроля усвоения материала. 
В конце пособия приводится список используемой литературы. 

1. ВЕКТОР-ФУНКЦИИ 
1.1. Вектор-функция одного скалярного аргумента 
Пусть V n - n-мерное векторное пространство. Каждое из множеств: 
(t1, t2), [t1, t2], (t1, t2], [t1, t2), R (ti ∈ R, i ∈ ^1, 2`) будем называть (одномерным) 
промежутком и обозначать I.  
Если каждому значению вещественного переменного t ∈ I отвечает 
определенное значение вектора r ∈ V n, то говорят, что задана вектор-функция 
скалярного аргумента r = r(t). 
Вектор-функция r = r(t) - бесконечно малая при t → t0 тогда и только 
тогда, когда _r(t)_ - бесконечно малая скалярная функция при t ĺ t0. 
Вектор-функция r = r(t) в точке t = t0 имеет пределом вектор a, тогда 
и только тогда, когда (
)
a
r
−
)
(t
 - бесконечно малая вектор-функция при t → t0. 
Записываем 
a
r
=
→
)
(
lim
0
t
t
t
. 
Вектор-функция r = r(t) в точке t = t0 является непрерывной тогда 
и только тогда, когда 
)
(
)
(
lim
0
0
t
t
t
t
r
r
=
→
. 
Вектор-функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в каждой 
точке этого интервала. 
На множестве вектор-функций определены все операции из векторной 
алгебры: 
1)
(r ± v)(t) = r(t) ± v(t) - сумма-разность; 
2)
(fr)(t) = f(t)r(t) - произведение на скалярную функцию f(t); 
3)
(rv)(t) = r(t)v(t) - скалярное произведение; 
4)
[r; v](t) = [r(t), v(t)] - векторное произведение; 
5)
(rvw)(t) = r(t) v(t) w(t) - смешанное произведение. 
5

А.Р. Рустанов, С.В. Харитонова, Е.А. Полькина. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Вектор-функция r = r(t) в точке t = t0 является дифференцируемой тогда 
t
t
t
→
Δ
)
(
)
(
lim
0
r
r
, этот предел и называется 
и только тогда, когда существует  
t
t
Δ
−
Δ
+
производной, обозначается dt
t
d
)
(
r
 или r′(t). 
Правила дифференцирования вектор-функций: 
t
d
)
(
w
; 
t
d
)
(
v
  
dt
1) dt
d (v(t)  w(t)) = dt
t
d
)
(
v
 f(t),  f(t) - скалярная функция; 
2) dt
d (f(t) v(t)) = dt
t
df
)
(
 v(t)  dt
3) dt
d (v(t) w(t)) = dt
t
d
)
(
v
 w(t)  v(t)
dt
t
d
)
(
w
; 
4) dt
d [
]
)
(
);
(
t
t
w
v
 = 
»
¼
º
«
¬
ª
)
(
;
)
(
t
dt
t
d
w
v
  
»
¼
º
«
¬
ª
dt
t
d
t
)
(
);
(
w
v
. 
5) dt
d (v(t) w(t) u(t)) = 
¸
¹
·
¨
©
§
+
¸
¹
·
¨
©
§
+
¸
¹
·
¨
©
§
dt
t
d
t
t
t
dt
t
d
t
t
t
dt
t
d
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
u
w
v
u
w
v
u
w
v
; 
6) dt
d (v(f(t))) = 
dt
df
df
f
d
)
(
v
. 
Если вектор-функция r = r(t) имеет постоянный модуль для любого 
значения параметра t из области определения, то вектор производной r′(t) 
перпендикулярен r(t) при любом значении t из области определения (лемма 
о векторе с постоянным модулем). 
ϕ
Δ , где 
Скоростью вращения вектор-функцииr = r(t) назовем отношение 
t
Δ
Δt - приращение аргумента, Δϕ - угол между векторами r(t) и r(t  Δt). 
Скорость вращения единичной вектор-функции r(t) равна модулю ее 
производной r′(t). 
Дифференциалом вектор-функции r = r(t) называется 
dt
t
t
d
)
(

)
(
r
r
=
. 
Как и для скалярной функции, для вектор-функции определяются 
производные и дифференциалы высших порядков. 
6

1. Вектор-функции
Вектор-функция называется дифференцируемой класса Ck (
1
≥
k
), если 
существуют ее дифференциалы до k-го порядка.  
Пусть в V 3 задан ортонормированный правый базис ^i, j, k`. Рассмотрим 
вектор-функцию r = r(t). При любом фиксированном значении параметра мы 
имеем конкретный вектор в V 3, который представляется:  
 
r(t) = x(t)i  y(t)j  z(t)k. 
 
Скалярные 
функции 
x(t), 
y(t), 
z(t) 
называются 
в этом 
случае 
координатными функциями (координатами) вектор-функции r = r(t) в заданном 
базисе, при этом 
2
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
t
z
t
y
t
x
t
+
+
=
r
.  
Вектор-функция r(t) = x(t)i  y(t)j  z(t)k - бесконечно малая при t ĺ t0 
тогда и только тогда, когда x(t), y(t), z(t) - бесконечно малые при t ĺ t0.  
Вектор-функция r(t) = x(t)i  y(t)j  z(t)k имеет пределом вектор 
k
j
i
a
3
2
1
a
a
a
+
+
=
 при t ĺ t0 тогда и только тогда, когда 
1
)
(
lim
0
a
t
x
t
t
=
→
, 
2
)
(
lim
0
a
t
y
t
t
=
→
 и 
3
)
(
lim
0
a
t
z
t
t
=
→
. 
Вектор-функция r(t) = x(t)i  y(t)j  z(t)k - непрерывна при t = t0 тогда 
и только тогда, когда x(t), y(t), z(t) - непрерывны при t = t0. 
Вектор-функция r(t) = x(t)i  y(t)j  z(t)k - дифференцируема при t = t0 
тогда и только тогда, когда x(t), y(t), z(t) - дифференцируемы при t = t0, при этом 
r′(t) = x′(t)i  y′(t)j  z′(t)k. 
Дифференциал вектор-функции через координатные функции можно 
записать так: dr(t) = dx(t)i  dy(t)j  dz(t)k. 
Понятие интеграла в смысле Римана для вектор-функции вводится так же, 
как для скалярной функции. Интеграл от вектор-функции обладает обычными 
свойствами интеграла от скалярной функции. 
7

А.Р. Рустанов, С.В. Харитонова, Е.А. Полькина. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Кроме того, неопределенные и определенные интегралы от векторфункций можно вычислить покоординатно: 
(
)
(
)
(
) .
)
(
)
(
)
(
)
(
k
j
i
r
³
³
³
³
+
+
=
dt
t
z
dt
t
y
dt
t
x
dt
t
 
 
Примеры решения задач 
1. Найти сумму, скалярное и векторное произведения вектор-функций: 
b
a
f
t
t
e
e
t
−
+
=
)
(
, 
b
a
g
t
t
e
e
t
+
=
−
)
(
, где a, b ∈ V 3 - некоторые постоянные 
векторы.  
Решение. Используя свойства линейных операций над векторами, 
свойства скалярного и векторного произведения, получим: 
 
(
)
(
)
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
−
−
−
−
b
a
b
a
b
a
g
f
 
 
)
(
)
(
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
e
e
e
e
t
t
 
(
)(
)
b
a +
+
=
−
t
t
e
e
; 
(
)(
)
(
)
2
2
2
2
 
)
(
)
(
b
ab
a
b
a
b
a
g
f
+
+
+
=
+
+
=
−
−
−
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
e
e
t
t
; 
[
]
(
)[
]
b
a
b
a
b
a
g
f
;
 
]
;
[
)
(
);
(
2
2
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
e
e
t
t
+
=
+
+
=
−
−
−
. 
 
2. Проверить, является ли вектор-функция 
j
i
r
t
t
t
2
)
(
2 +
=
 непрерывной 
в каждой точке (t ∈ R). 
Решение. По определению, вектор-функция r = r(t) является непрерывной 
на промежутке тогда и только тогда, когда она непрерывна в каждой точке этого 
промежутка. Вектор-функция r = r(t) в точке t = t0 является непрерывной тогда 
и только тогда, когда 
)
(
)
(
lim
0
0
t
t
t
t
r
r
=
→
, т.е. когда 
)
(
)
(
0
t
t
r
r
−
 - бесконечно малая 
при t → t0. Действительно,  
 
)
(
)
(
0
t
t
r
r
−
=
(
) =
+
−
+
j
i
j
i
0
2
0
2
2
2
t
t
t
t
(
)
(
) =
−
+
−
j
i
0
2
0
2
2
t
t
t
t
 
(
)(
)
(
)
0
2
0
0
0
→
−
+
+
−
=
j
i
t
t
t
t
t
t
 при любом t → t0. 
8

1. Вектор-функции
В силу произвола выбора t0 функция 
j
i
r
t
t
t
2
)
(
2 +
=
 непрерывна в любой 
точке t ∈ R.  
3. Доказать, что функция 
j
i
r
t
t
t
2
)
(
2 +
=
 является дифференцируемой при 
любом t ∈ R. 
Решение. По определению, вектор-функция r = r(t) в точке t = t0 является 
→
Δ
)
(
)
(
lim
0
r
r
. 
дифференцируемой тогда и только тогда, когда существует 
t
t
t
t
t
Δ
−
Δ
+
Вычислим: 
 
2
2
t
t
j
i
j
i
r
r
2
2
lim
)
(
)
(
lim
0
0
 
→
Δ
→
Δ
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
(
)
(
)
(
) =
Δ
+
−
Δ
+
+
Δ
+
=
Δ
−
Δ
+
 
2
t
t
t
. 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
j
i
j
i
j
i
j
i
2
2
2
2
lim
2
 
2
lim
2
 
2
lim
0
0
0
+
=
+
Δ
+
=
Δ
+
Δ
+
Δ
=
Δ
Δ
+
Δ
+
Δ
=
→
Δ
→
Δ
→
Δ
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
 
Таким образом, заданная функция дифференцируема в любой точке t ∈ R, 
причем 
j
i
r
2
2
)
(

+
= t
t
. 
4. Найдем первую и вторую производные вектор-функции, заданной в V 2: 
а) 
j
i
f
t
t
t
2
)
(
2 +
=
; б) 
(
)
t
t
t
ln
;
cos
5
)
(
−
=
f
. 
Решение 
 
а) 
( )
( )
j
i
j
i
f
2
2

 
2

 
)
(

2
+
=
+
=
t
t
t
t
;  
( )
( )
i
j
i
f
2

 
2

 
2
)
(


=
+
=
t
t
; 
б) 
¸
¹
·
¨
©
§
=
t
t
t
1
;
sin
5
)
(

f
; 
¸
¹
·
¨
©
§
−
=
2
1
;
cos
5
)
(


t
t
t
f
. 
 
5. Найдем производные r′, r′′ вектор-функции 
a
r
t
t
ln
)
(
=
  arctg tb, где a, 
b - некоторые постоянные векторы V 3.  
9

А.Р. Рустанов, С.В. Харитонова, Е.А. Полькина. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Решение 
 
(
)
(
)
b
a
b
a
r
2
1
1
2
1
 
arctg
ln
)
(

t
t
t
t
t
+
+
=
′
+
′
=
. 
2
2
1
1
1
2
1
)
(


t
t
t
t
t
t
+
−
−
=
′
¸
¹
·
¨
©
§
+
+
′
¸
¹
·
¨
©
§
=
. 
b
a
b
a
r
2
2
2
2
1
(
)
 
6. Пусть r(t) - дифференцируемая вектор-функция. Доказать, что векторфункции r′ и r′′ коллинеарны между собой тогда и только тогда, когда 
b
a
r
+
=
)
(
)
(
t
F
t
, где a, b - некоторые постоянные векторы V 3. 
Решение. Пусть 
b
a
r
+
=
)
(
)
(
t
F
t
, тогда 
a
r
)
(

)
(

t
F
t =
, 
a
r
)
(


)
(


t
F
t =
, т.е. 
)
(

)
(

)
(


)
(


t
t
F
t
F
t
r
r
=
, а значит, вектор-функции r′ и r′′ коллинеарны между собой. 
Обратно, пусть вектор-функции r′ и r′′ коллинеарны между собой, 
значит, 
)
(

)
(
)
(


t
t
k
t
r
r
=
. Обозначим через x(t), y(t), z(t) координаты векторфункции r(t). Следовательно, x′′(t) = k(t)x′(t), y′′(t) = k(t)y′(t), z′′(t) = k(t)z′(t). 
Отсюда 
 
³
³
=
dt
t
k
dt
t
x
t
x
)
(
)
(

)
(


, 
³
³
=
dt
t
k
dt
t
y
t
y
)
(
)
(

)
(


, 
³
³
=
dt
t
k
dt
t
z
t
z
)
(
)
(

)
(


. 
 
Первообразные функций 
)
(

)
(


t
x
t
x
, 
)
(

)
(


t
y
t
y
, 
)
(

)
(


t
z
t
z
 имеют вид 
)

ln(x , 
)

ln( y , 
)

ln(z . Обозначим через 
)
(t
f
 первообразную 
)
(t
k
. Получим 
1
)
(
)

ln(
c
t
f
x
+
=
, 
2
)
(
)

ln(
c
t
f
y
+
=
, 
3
)
(
)

ln(
c
t
f
z
+
=
, где с1, с2, с3 - произвольные постоянные 
числа. 
Таким 
образом, 
)
(
1

t
f
c e
e
x =
, 
)
(
2

t
f
c e
e
y =
, 
)
(
3

t
f
c e
e
z =
. 
Введем 
обозначения: 
1
1
c
e
a =
, 
2
2
c
e
a =
, 
3
3
c
e
a =
, 
)
(
)
(
t
f
e
t
F
=
. Тогда 
1
1
)
(
b
t
F
a
x
+
=
, 
2
2
)
(
b
t
F
a
y
+
=
, 
3
3
)
(
b
t
F
a
z
+
=
, где ai, bi - постоянные числа (i = 1, 2, 3). 
Положим 
(
)
3
2
1
,
,
a
a
a
=
a
, 
(
)
3
2
1
,
,
b
b
b
=
b
, тогда 
b
a
r
+
=
)
(
)
(
t
F
t
. Что и требовалось 
доказать. 
 
10