Математические методы в экономике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 309 

Кафедра бизнес-информатики и систем управления 
производством 

В.Е. Пятецкий 
И.З. Литвин 
В.С. Литвяк 

Математические методы
в экономике 

 

Методические указания  
к выполнению курсовой работы 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2011 

УДК 330.001.57 
 
П99 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, ст. н. с. К.С. Гинсберг 
(Институт проблем управления РАН) 

Пятецкий, В.Е. 
П99  
Математические методы в экономике : метод. указ. к выполнению курсовой работы / В.Е. Пятецкий, И.З. Литвин, 
В.С. Литвяк. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2011. – 36 с. 
 

В методических указаниях изложена методика выполнения и оформления 
курсовой работы по дисциплине «Математические методы в экономике». 
Дисциплина преподается студентам экономического профиля в весеннем семестре второго курса и является весьма трудоемкой, как в плане структуры и 
содержания лекционного материала, так и в плане состава и количества лабораторных и практических занятий и наличия курсовой работы. Курсовая 
работа как вид занятий относится в основном к самостоятельной работе, и 
важно дать обучающимся хороший методический материал, позволяющий 
им эффективно выполнить и своевременно сдать работу.  
Рассмотрены основные этапы выполнения курсовой работы и порядок ее 
оформления. Состав работы предполагает выполнение девяти тем. При этом 
акцент сделан на их практической направленности. По каждой теме предложены варианты заданий, близких по содержанию к реальным задачам экономической и управленческой практики. Большинство расчетов выполняется в 
операционной среде Microsoft Excel или специализированных пакетах. В 
приложениях приведены формы представления исходных данных и результатов решения задач. Приведена литература, которая может быть использована 
при выполнении работы.  
Предназначены для студентов бакалавриата, обучающихся по специальностям 080100 «Экономика», 080200 «Менеджмент», 080500 «Бизнесинформатика». 

УДК 330.001.57 

 
© Пятецкий В.Е., 
Литвин И.З, 
Литвяк В.С., 2011 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Общие положения.................................................................................4 
2. Порядок выполнения работы...............................................................5 
3. Порядок оформления и сдачи работы ................................................6 
4. Задания для курсовой работы..............................................................7 
Тема 1: Модель межотраслевого баланса...........................................7 
Тема 2: Оптимизация плана выпуска продукции методом 
линейного программирования...........................................................10 
Тема 3: Оптимизация размещения складов с использованием 
транспортной задачи ЛП....................................................................13 
Тема 4: Задача о назначениях............................................................15 
Тема 5: Решение задач теории игр....................................................16 
Тема 6: Исследование спроса на основе модели игры  
с природой...........................................................................................18 
Тема 7: Распределение кредитов банка методом динамического 
программирования..............................................................................20 
Тема 8: Формирование оптимального портфеля акций с 
ипользованием принципа Парето......................................................22 
Тема 9: Однофакторный дисперсионный анализ ............................25 
Рекомендуемая литература....................................................................28
Приложения ............................................................................................29 
 

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 

Студенты экономического профиля, выполняя курсовую работу, 
не только закрепляют и углубляют теоретические знания, полученные на лекциях, но и учатся приобретать практические навыки построения экономико-математических моделей, применять компьютерные технологии, овладевать умениями по постановке экономической задачи, переводу ее на математический язык и анализу полученных результатов.  
Требование хорошо разбираться в вопросах моделирования конкретных экономических и производственных ситуаций, применять 
интеллектуальные методы анализа информации при решении управленческих задач, принимать оптимальные решения – существенный 
элемент фундаментальной подготовки экономистов и менеджеров.  
В учебном пособии: В.Е. Пятецкий, И.З. Литвин, В.С. Литвяк. 
Математические методы в экономике. Моделирование и оптимизация производственно-экономических систем. М.: Изд. Дом МИСиС, 
2011, представлены основные теоретические аспекты и конкретные 
примеры решения тех задач, которые рассматриваются в курсовой 
работе. Цель курсовой работы – подготовить студента к самостоятельному проведению бизнес-операционного исследования, важными этапами которого являются постановка управленческой задачи, 
построение математической модели, ее решение и анализ практических результатов. 
Студент в курсовой работе должен представить решения задач по 
каждой из 9 тем. По каждой теме студент выбирает условия строго в 
соответствии с номером своего варианта. 

2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 

Курсовая работа по каждой из тем должна содержать следующие 
основные разделы. 

1. Содержательная постановка задачи 

Здесь должна быть приведена словесная (неформальная, или 
«производственная») постановка задачи, т.е. в чем заключается задача, что необходимо рассчитать и какие результаты получить. С использованием какой модели (метода) предполагается решать задачу. 

2. Формальная постановка задачи 

Приводится краткое описание метода (модели), с помощью которого будет решаться задача, и приводится ее постановка уже в формализованном виде, т.е. в виде выбранной математической модели. 

3. Решение задачи 

Если задача решается на компьютере с использованием какихлибо стандартных процедур (пакетов программ), приводится краткое 
описание процедуры, формата представления исходных данных, результатов решения задачи. В приложениях 1–6 приведены форматы 
представления данных и результатов решения для задач курсовой 
работы. Если для некоторых задач требуется решение вручную или 
каким-либо другим методом (например, графическим), то дополнительно приводится описание всех этапов решения задачи. 

4. Анализ результатов 

Приводятся результаты решения задачи, дается их экономическая 
интерпретация, проводится анализ в соответствии с постановкой задачи. 

3. ПОРЯДОК ОФОРМЛЕНИЯ И СДАЧИ 
РАБОТЫ 

Работа выполняется на листах формата А4. На титульном листе 
(прил. 1) печатными буквами указывается наименование университета, института, кафедры, в центре листа название курсовой работы, 
справа внизу ФИО студента, номер группы, номер варианта, должность, ФИО преподавателя. На втором листе приводится содержание 
работы. 
Все разделы (темы) работы должны быть пронумерованы. Перед 
подробным решением каждой задачи необходимо выписать ее условие с соответствующими исходными данными.  
Прием курсовой работы осуществляется по итогам подробной беседы с преподавателем по каждой теме работы. Студент, успешно 
защитивший курсовую работу, получает дифференцированный зачет 
и допуск к экзамену. 
Работа, оформленная не в соответствии с указанными требованиями, к защите не принимается и не рассматривается. 

4. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ 

ВНИМАНИЕ! В заданиях номер варианта студента обозначается 
буквой V. 

Тема 1: Модель межотраслевого баланса 

Теоретическая часть 

Для анализа и планирования производства и распределения 
продукции на различных уровнях – от экономики в целом до отдельного предприятия – применяется модель межотраслевого баланса (МОБ). 
Сущность балансовых моделей заключается во взаимной увязке 
имеющихся ресурсов и потребностей в них. Под балансовой моделью понимается система линейных уравнений, каждое из которых 
выражает требование баланса между затратами и результатом. 
Предположим, что имеется n различных отраслей O1, …, On, каждая из которых производит свой продукт. В дальнейшем отрасль Оi 
будем называть «i-я отрасль». В процессе производства своего продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Будем вести речь о некотором определенном промежутке времени [Т0, T1] (обычно таким промежутком 
служит плановый год) и введем следующие обозначения: 
хi – общий объем продукции отрасли i за данный промежуток 
времени – так называемый валовой выпуск отрасли i; 
xij – объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе производства; 
уi – объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению 
в непроизводственной сфере – объем конечного потребления. Этот 
объем составляет обычно более 75 % всей производственной продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т.д.), 
поставки на экспорт.  
Указанные величины (показатели работы отраслей) можно свести 
в табл. 1.1. 
 
 

Таблица 1.1 

Производственное потребление Конечное потребление 
Валовой выпуск 

11
12
1

21
22
2

1
2

...
...

...
...
...
...

...

n

n

n
n
mn

х
х
х

x
x
x

x
x
x

1

2
...

n

y
y

y

1

2
...

n

x
x

x

Балансовый характер этой таблицы выражается в том, что при 
любом i = l, ..., n должно выполняться соотношение 

 
xi = xi1 + xi2 +...+ xin + yi, 
(1.1) 

означающее, что валовой выпуск xi расходуется на производственное 
потребление, равное xi1 + xi2 + ... + xin, и непроизводственное потребление, равное уi. Будем называть (1.1) соотношениями баланса. Для 
выпуска любого объема хj продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве aijxj, где аij – постоянный коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции. Это допущение постулирует, 
как говорят, линейность существующей технологии: 

 
xij = aij xj(i, j = 1, ..., n). 
(1.2) 

Коэффициенты аij называют коэффициентами прямых затрат 
(коэффициент материалоемкости). 
В предположении линейности соотношения (1.1) принимают  следующий вид: 

 
x1 = a11x1 + a12x2 + … +a1n xn + y1; 
 
x2 = a21x1 + a22x2 + … +a2n xn + y2; 
 
………………………………….. 
 
xn = an1x1 + an2x2 + … +ann xn + yn, 

или, в матричной записи, 

 
 А
=
+
x
x
y , 
(1.3) 

где 

 

11
12
1
1
1

21
22
2
2
2

1
2

...
...
,
,
...
...
...
...
...
...

...

n

n

n
n
nn
n
n

а
а
а
x
y

a
a
a
x
y
А

a
a
a
x
y

⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
=
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

x
y
. 

Вектор x называется вектором валового выпуска, вектор y – вектором конечного потребления, а матрица А – матрицей прямых 
затрат. Соотношение (1.3) называется уравнением линейного 
межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией 
матрицы А и векторов x и y это соотношение называют также моделью Леонтьева. 
Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для целей планирования. В этом случае задача ставится так: для предстоящего планового периода [T0, T1] задается вектор y конечного потребления. Требуется определить вектор x валового выпуска. 
При этом нужно иметь в виду следующие особенности системы 
(1.3): 
1. Все компоненты матрицы А и вектора y неотрицательны (это 
вытекает из экономического смысла А и y). Для краткости будем говорить о неотрицательности самой матрицы А и вектора y и записывать это так: 
0,
0
А ≥
≥
y
. 
2. Все компоненты вектора x также должны быть неотрицательными: 
0
≥
x
. 
Из матричного уравнения (1.3) сразу следует: 

 
x = (E – A)–1 y. 
(1.4) 

Формула (1.4) отвечает на основной вопрос межотраслевого баланса – каким должен быть совокупный продукт каждой отрасли 
(х = ?), чтобы экономическая система в целом произвела заданный 
государством конечный продукт у. 
Правую часть формулы (1.4) удобно вычислить в среде Microsoft 
Excel: 
1. Выделить диапазон ячеек для размещения обратной матрицы. 
2. На верхней панели нажать кнопку «fx». 
3. Выбрать функцию «МОБР» в категории «Математические». 
4. Указать диапазон ячеек, в которых размещена матрица: Е – А. 
5. Нажать клавиши [CTRL] + [SHIFT] + [ENTER]. 
6. Записать результат. 
Чтобы умножить полученную обратную матрицу на вектор у 
нужно: 
1. Выделить диапазон ячеек для размещения результатов умножения. 
2. На верхней панели нажать «fx». 
3. Выбрать функцию «МУМНОЖ» в категории «Математические». 

4. Указать диапазоны ячеек, в которых размещены матрица  
(Е – А)–1 и у. 
5. Нажать клавиши [CTRL] + [SHIFT] + [ENTER]. 
Форма представления исходных данных и результатов решения 
задачи МОБ приведены в прил. 2. 

Практическое задание 

Задана таблица межотраслевого баланса (табл. 1.2) 

Таблица 1.2 

Потребляющие 
отрасли 

Производящие 
отрасли 
1 
2 
3 
4 

Валовой продукт 
x 
Конечный продукт 
y 

Металлургия 
30 
30 
50 
35 
205 
60 

Нефтехимия 
25 
50 
40 
42 
182 
25 

Оборонная  
отрасль 
30 
40 
35 
50 
190 
35 

Машиностроение 
30 
50 
50 
35 
205 
40 

Требуется: 
– составить матрицу прямых затрат; 
– проверить ее продуктивность; 
– рассчитать валовой продукт, соответствующий увеличению конечного продукта на 0,5V %. 
Расчеты выполнить в среде Microsoft Excel. 

Тема 2: Оптимизация плана выпуска продукции 
методом линейного программирования 

Теоретическая часть 

Линейное программирование (ЛП) предназначено для изучения 
методов решения экстремальных задач, которые характеризуются 
линейной зависимостью между переменными и линейным критерием 
оптимальности. 
Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение 
которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения 
в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование 
неотрицательности переменных. 
В общем виде модель записывается следующим образом: 

– целевая функция: 
 
F = c1х1 + c2х2+……cnхn → max (min); 
(2.1) 
– ограничения:  

 
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn {≤ = ≥} b1; 
 
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn {≤ = ≥} b2; 

 
………………………………. 
(2.2) 
 
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn {≤ = ≥} bm; 
– требование неотрицательности:  

 
xi ≥ 0, i = 1, n . 
(2.3) 

При этом aij, bi, cj (
1,
,
1,
i
m
j
n
=
=
) – заданные постоянные величины.  
Задача состоит в нахождении оптимального значения функции 
(2.1) при соблюдении ограничений (2.2) и (2.3). Систему ограничений (2.2) называют функциональными ограничениями задачи, а ограничения (2.3) – прямыми.  
Вектор 
1
2
(
,
,...,
)
n
x x
x
=
x
, удовлетворяющий ограничениям (2.2) и 
(2.3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного 
программирования. План 
*
*
*

1
2
(
,
,...,
)
n
x
x
x
=
x
, при котором функция 
(2.1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным. 
Матричная запись задачи ЛП имеет вид: 
Ах {≤ = ≥} в; 
х ≥ 0; 
F = c x → max (min), 
здесь А – матрица коэффициентов; х – столбец переменных; в – столбец правых частей, с – строка коэффициентов целевой функции. 
С каждой задачей линейного программирования тесно связана 
другая задача линейного программирования – двойственная задача 
(их так и называют – пара двойственных задач): 
Прямая задача: 
Двойственная задача: 
а11х1 + а12х2+ … + а1nхn ≤ в1; 
а11у1 + а21у2 + … + аm1ym ≥ c1; 
а21х1 + а22х2 + … + а2nхn ≥ в2; 
а12y1 + а22y2 + … + аm2ym ≥ c2; 
…………………………… 
………………….……,         (2.4) 
аm1х1 + аm2х2 + … + аmnхn ≤ вm; 
а1ny1 + а2ny2 + … + аmnyn ≥ cn; 
xi ≥ 0, i = 1, …, n;  
yi ≥ 0, i = 1, …, m; 
F = c1х1 + c2х2 + … + cnхn → max. G = b1y1 + b2y2+ … + bm→ min.