Статистика. Анализ временных рядов

 

 
 

Ларионова И.А. 

 

Одобрено редакционноиздательским советом 
института 

СТАТИСТИКА 

Методические указания  
по выполнению курсовой работы 

МОСКВА 2001 

№ 231 

 
УДК 311(07) 
Л 25 

АННОТАЦИЯ 

В учебном пособии излагаются теоретические основы анализа временных рядов и описаны процедуры пакета прикладных программ STATISTICA, которые применяются для решения этой задачи. 
Пособие может быть использовано: 
 
при выполнении курсовой работы по курсу «Статистика»студентами специальностей 0608 «Экономика и управление на 
предприятии (металлургия)»; 3514 «Информационные системы в 
металлургии»; 
 
при изучении курса «Статистика» по специальности 
«Коммерция в цветной металлургии»; 
 
при изучении курса «Пакеты прикладных программ» по 
специальности 0608 «Экономика и управление на предприятии (металлургия)». 
 

 Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС) 2001 
 

СОДЕРЖАНИЕ 

Введение ........................................................................................ 4 
1. Изучение тенденции временного ряда ................................... 5 
1.1. Абсолютные и относительные показатели тенденции ... 5 
1.2. Методы выявления типа тенденции ................................ 7 
2. Изучение колеблемости временного ряда ............................ 17 
2.1. Методы выявления типа колеблемости ......................... 17 
2.2. Показатели колеблемости ............................................... 19 
2.3. Показатели устойчивости ............................................... 20 
2.4. Анализ сезонных колебаний ........................................... 21 
3. Корреляция рядов динамики ................................................. 23 
4. Основные модули пакета STATISTICA ................................. 27 
4.1. Организация системы STATISTICA .............................. 27 
4.2. Создание файла с исходными данными ........................ 28 
4.3. Стартовая панель модуля ................................................ 29 
4.4. Основные 
статистики 
и 
таблицы 
(Basic 
Statistics/Tables) ...................................................................... 31 
4.5. Линейная регрессия (Linear Regression) ........................ 38 
4.6. Нелинейное оценивание (Nonlinear Estimation) ............ 51 
4.7. Анализ временных рядов/ Прогнозирование (Time 
Series/ Forecasting) ................................................................. 53 
4.8. Сохранение результатов расчетов .................................. 67 
5. Порядок выполнения курсовой работы ................................ 69 
Приложения ................................................................................ 70 
Рекомендуемая литература ........................................................ 71 
 

ВВЕДЕНИЕ 

Одно из основных положений научной методологии – 
необходимость изучать все явления в развитии. Это относится и к 
статистике: она должна дать характеристику изменений статистических показателей во времени. Как изменяются год за годом объемы реализации отдельных видов продукции, существует ли тенденция их роста? Как возрастает или снижается заработная плата 
работников, занятых в различных отраслях? Ответ на эти и другие 
подобные вопросы дает специальная система статистических методов, предназначенная для изучения развития, изменения во времени. 
Значения показателя, относящиеся к различным промежуткам или моментам времени, называются уровнями, а их последовательность – рядом динамики (временным рядом). 
В зависимости от способа регистрации данных ряды динамики являются дискретными или непрерывными. Непрерывные 
ряды динамики получают в том случае, если происходит непрерывная запись изменения явления с помощью механических, электрических или электронных приборов. Дискретные данные получают путем регистрации данных через определенные промежутки 
времени. 
Различают три вида дискретных рядов динамики: моментные, периодические и ряды средних. Моментными рядами называются ряды статистических величин, характеризующие размеры исследуемого явления в определенные даты (моменты времени). 
Периодическими рядами называются ряды статистических 
величин, характеризующие размеры исследуемого явления за 
определенные промежутки времени. 
Ряды средних величин характеризуют изменения средних 
уровней исследуемого явления во времени. 
Анализ временных рядов заключается в рассмотрении двух 
сторон динамики: тенденции и колеблемости – а также в изучении 
взаимосвязей, проявляющихся во времени. 

1. ИЗУЧЕНИЕ ТЕНДЕНЦИИ 
ВРЕМЕННОГО РЯДА 

1.1. Абсолютные и относительные 
показатели тенденции 

К показателям, характеризующим тенденцию динамики, 
относятся: средний уровень ряда, абсолютные изменения (приросты) базисные и цепные, темпы роста и прироста базисные и цепные. 
Метод расчета среднего уровня ряда зависит от вида временного ряда. Средний уровень моментного ряда определяется как 
средняя хронологическая величина (
х
x ): 

 
)
(
х











1

2

1
2
1
1
n

i
i
n
x
x
x
n
x
, 
(1.1) 

где xi – i-й уровень ряда; 
n – число уровней ряда. 
Средний уровень периодического ряда определяется как 
средняя арифметическая величина 
аx : 

 
n

x
x

n

i
i



1
а
 
(1.2) 

Если ряд динамики состоит из показателей темпов роста 
или прироста (ki), средний уровень ряда определяется как средняя 
геометрическая величина 
гx : 

 
n
i

n

i k
x
1
г
П


 
(1.3) 

Цепной абсолютный прирост первого порядка – это разность сравниваемого и предыдущего уровня: 

 
1
)
1(
Ц




i
i
i
x
x
. 
(1.4) 

Базисный абсолютный прирост первого порядка – это разность сравниваемого уровня и уровня, принятого за базу: 

 
1
(1)
Б
x
xi
i



. 
(1.5) 

Абсолютные приросты порядка n определяются по формулам: 

 
)1
(
Ц
)
1
(
)
1
(
Ц
)
(
Ц








n
i
n
i
n
i
; 
(1.6) 

 
)
1
(
Б
)
1
(
)
1
(
Б
)
(
Б








n
i
n
i
n
i
. 
(1.7) 

Исследования многих статистических рядов экономических 
показателей позволяют утверждать, что подавляющее большинство рядов хорошо описываются полиномами не выше третьей 
степени. По характеру изменения цепного абсолютного прироста 
можно судить о форме уравнения тенденции. Если константами 
являются абсолютные приросты первого порядка, то форма тенденции - линейная. Если константами являются абсолютные приросты второго порядка, то форма тенденции – параболическая и 
т.д. 
Темпом роста называется отношение двух уровней ряда 
выраженное в процентах: 

 
100

1
рЦ




i

i
x
x
K
; 
(1.8) 

 
100

1
рБ

 x
x
K
i
. 
(1.9) 

Темпом прироста называется отношение абсолютного 
прироста к предыдущему или начальному (базисному) уровню ряда, выраженное в процентах: 

 
100

1

1
Ц
прЦ





i

i
x
K
; 
(1.10) 

 
100

1

1
Б
прБ


 x
K
i
. 
(1.11) 

Темпы роста и прироста связаны между собой следующим 
образом: 

 
Kр = Kпр + 100. 
(1.12) 

1.2. Методы выявления типа 
тенденции 

Динамический ряд может быть стационарным или иметь 
тренд. В некоторых случаях наличие тренда выявляется путем построения графика изменения показателя во времени (рис. 1.1, 1.2). 
Более точная оценка стационарности динамического ряда может 
быть получена с помощью коэффициента автокорреляции. 
 

Plot of variable: MEASUR6

Case Numbers

MEASUR6

-2

0

2

4

6

8

10

-2

0

2

4

6

8

10

0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55

 

Рис. 1.1. Пример стационарного динамического ряда 

Plot of variable: AGGRESSN
Aggression score

Case Numbers

AGGRESSN

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
 

Рис. 1.2. Пример динамического ряда, имеющего тренд 

Автокорреляция – это корреляционная зависимость между 
следующими рядами динамики: y1, y2,…,yn-L и yL+1, yL+2,…, yn, где 
L – длина временного смещения, называемая лагом. Для каждого 
ряда можно рассчитать несколько коэффициентов автокорреляции, 
характеризующих силу связи между исходным рядом динамики и 
рядом, полученным путем сдвига уровней на L временных периодов. 
Для стационарного ряда (рис. 1.1) коэффициенты автокорреляции (Corr.) близки к нулю и распределены случайно (рис. 1.3). 

Autocorrelation Function
MEASUR6
(Standard errors are white-noise estimates)

 1.96
.9621

 1.86
.9321

 1.32
.9324

  .30
.9901

  .19
.9791

  .17
.9188

  .05
.8319

  Q
p

  7 +.040
.1286

  6 +.095
.1301

  5 -.133
.1316

  4 +.043
.1330

  3 +.020
.1345

  2 -.048
.1359

  1 +.029
.1373

Lag Corr.
S.E.

-1
-0.5
0
0.5
1
 

Рис. 1.3. График выборочной автокорреляционной функции стационарного ряда 

У динамического ряда, имеющего тренд (рис. 1.2), наблюдается тенденция к затуханию автокорреляционной функции 
(рис. 1.4). 

Autocorrelation Function
AGGRESSN: Aggression score
(Standard errors are white-noise estimates)

29.62
.0001

29.40
.0001

28.19
.0000

26.29
.0000

19.73
.0002

14.23
.0008

 5.70
.0170

  Q
p

  7 +.077
.1651

  6 +.187
.1698

  5 +.240
.1745

  4 +.459
.1790

  3 +.430
.1834

  2 +.548
.1878

  1 +.458
.1920

Lag Corr.
S.E.

-1
-0.5
0
0.5
1
 

Рис. 1.4. График выборочной автокорреляционной функции динамического ряда, 
имеющего тренд 

Расчет коэффициентов автокорреляции можно выполнять в 
модуле пакета STATISTICA Анализ временных рядов / Прогнозирование (Time Series / Forecasting). Описание модуля приведено в 
разделе 4.7. 

Методы выявления типа тенденции динамики показателя: 

1. Графический метод; 
2. Укрупнение данных; 
3. Сглаживание; 
4. Проверка статистических гипотез о различных видах 
тренда. 

1. Графический метод
заключается в построении графика 
изменения показателя во времени (по оси ординат – значения исследуемого показателя, по оси абсцисс – порядковые номера периодов времени). Особенно легко визуально определить наличие монотонного тренда: логарифмического, экспоненциального, линейного, параболического и др. 

2. Укрупнение данных. 

3. Сглаживание. Наиболее распространенными методами 
сглаживания являются методы простой скользящей средней, взвешенной скользящей средней и экспоненциальное сглаживание. 

Каждая точка линии простой скользящей средней определяется по формуле: 

 
m

x
МА

m
t

t
i
i








1

, 
(1.13) 

где m – порядок скользящей средней (интервал сглаживания); 
t = 1, 2, …, n – m + 1. 

Порядок простой скользящей средней определяется исследователем. 
Взвешенная скользящая средняя отличается от простой 
скользящей средней тем, что каждому значению показателя в интервале сглаживания присваивается весовой коэффициент, обычно 
увеличивающийся ближе к текущему дню: 

 
















1

1

m
t

t
i
i

m
t

t
i
i
i

w

x
w
WMA
, 
(1.14) 

При расчете экспоненциальной средней так же, как и при 
расчете взвешенной скользящей средней, недавним значениям показателя придается больший вес: 

 
ЕМА
x
ЕМА
t
t
t
1
)
1(






α
α
, 
(1.15) 

где  – фиксированный параметр. 
Значение  выбирается исследователем из интервала 
0    1. Наиболее часто используют значения  равные 0,1 и 0,2. 
Сглаживание позволяет уменьшить колеблемость временного ряда (рис. 1.5) и осуществить контроль правильности выбора 
уравнения тренда. 

Plot of selected variables (series)

 MEASUR16 (L) 
 MEASUR16; trns. (R)
Case Numbers

MEASUR16: 

MEASUR16:8 pt.mov.aver. 

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

-2

0

2

4

6

8

10

0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55

 

Рис. 1.5. График исходного (MEASUR16(L)) и сглаженного ряда 
(MEASUR16;trns.(R)) 

Сглаживание динамического ряда можно выполнить с помощью модуля пакета STATISTICA Анализ временных рядов/ Прогнозирование (Time Series/ Forecasting). Описание модуля приведено в разделе 4.7. 
4. Проверка статистических гипотез о различных видах 
тренда. 
Наиболее часто для описания тенденции динамики применяются 
линейная 
)
~
(
t
b
a
y



, 
полиномиальная 

(
t
a
t
a
t
a
a
y
n

n 







...
~
2

2
1
0
) 
и 
экспоненциальная